Конспекты. Blackboard / Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи
.pdfСуммируя по n=0; j; приходим к оценке решения задачи (4)
j |
|
X |
|
kvj+1kC kv0kC + k'nkC : |
(34) |
n=0
Схема с весами является монотонной при условии (33). Чисто неявная схема ( = 1) монотонна при любых h и . Схема Кранка-Николсона ( = 0:5) монотонна при условии h2, а явная схема
-ïðè 0:5h2 .
8.Метод энергетических неравенств. Одним из весьма общих и весьма эффективных спо-
собов получения априорных оценок является метод энергетических неравенств. Используем его для исследования устойчивости схемы с весами (4).
Пользуясь тождествами [11, 12]
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|||
v= |
|
(^v + v) |
|
vt; v^= |
|
(^v + v) + |
|
vt; |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||
v^ + (1 )v=( 0; 5) vt + 0; 5(^v + v); |
|
||||||||
перепишем (4) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vt ( 0; 5) vt 0; 5 (^v + v)='; |
(35) |
||||||||
|
|
v(x; 0)=0; |
v(0; t)=v(1; t)=0: |
|
|
|
Умножим уравнение (35) на 2 vt=2(^v v) и просуммируем полученное равенство по внутренним узлам xm=mh сетки !h:
2 kvt k2 2( 0; 5) 2 ( vt; vt) (^v + v); v^ v =2 ('; vt ): |
(36) |
Пользуясь разностной формулой Грина (см. с.29)
( V; W )=(Vxx; W )= (Vx; Wx]; V0=W0=0; VM =WM =0;
ïðè V =vt; W =vt è V =^v + v, W =^v v соответственно, учитывая затем, что v0=vM =0, будем иметь
( vt; vt)= kvtx]j2; |
|
||||||
( (^v + v); v^ v)= (^vx + vx; v^x vx]= (kv^x]j2 kvx]j2): |
|
||||||
Подставив это выражение в (36), получим энергетическое тождество |
|
||||||
2 kvtk2 + ( 0; 5) kvtx ]j2 |
+ kv^x]j2=kvx]j2 + 2 ('; vt ): |
(37) |
|||||
Оно справедливо при любых . Предположим, что 0. Рассмотрим выражение |
|
||||||
J =kW k2 + ( 0; 5) kWx ]j2; |
ãäå W = vt: |
|
|||||
Тогда с учетом оценки (см. с. 32) |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kvx]j2 |
|
kvk2 |
|
|
|
(38) |
|
h2 |
|
|
|
||||
имеем |
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
J =kW k2 + ( 0) kWx]j2 + ( 0 0; 5) kWx ]j2 kW k2 |
|
kWx]j2 0 |
|
||||
4 |
|
||||||
в силу (38). Отсюда и из (37) следует энергетическое неравенство |
|
||||||
kv^x]j2 kvx]j2 + 2 ('; vt ) |
ïðè 0: |
|
41
Åñëè '=0; v решение задачи (13), то kvxn+1]j : : : kvx0 ]j; т. е. схема (12) при 0 устойчива по
o
начальным данным в норме kvx]j, являющейся сеточным аналогом нормы W21:
Далее выясняем условия устойчивости по правой части. Пусть
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
= |
1 |
|
|
(1 ")h2 |
|
; |
0<" |
|
1: |
|
|
|
|
(39) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
" |
|
" |
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Покажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J "kW k |
ïðè ": |
|
|
|
|
|
|
|
|
(40) |
|||||||||||||||
В самом деле, |
J =kW k2 + ( ") kWx]j2 + ( " 0; 5) kWx]j2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
k |
W |
k |
2 |
(1 ")h2 |
k |
W |
] |
|
2 |
k |
W |
k |
2 |
|
(1 |
|
") |
k |
W ] |
2 =" |
W |
k |
2 |
: |
||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
x |
j |
|
|
|
|
|
|
j |
k |
|
|
|
|||||||||||||
Подставляя (40) в (37), получим энергетическое неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 "kvt k2 + kv^x]j2 kvx]j2 + 2 ('; vt ); |
|
": |
|
|
|
(41) |
Воспользуемся теперь неравенство Коши-Буняковского и "-неравенством:
|
|
|
|
|
|
2 ('; vt ) 2 k'k kvtk 2 "kvt k2 + |
|
k'k2 : |
(42) |
||
2" |
|||||
После подстановки (42) в (41) будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kvxn+1]j2 kvxn]j2 + |
|
k'nk2: |
|
|
|
2" |
|
|
|
Просуммируем по n=0; j и учтем, что v0=0:
j
kvxj+1]j2 21" X k'nk2:
n=0
Òàê êàê kvkC 0; 5kvx ]j , òî
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
vj+1 |
k |
C |
|
1 |
j |
|
'n |
2; |
|
": |
|||
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
2p2" un=0 |
k |
k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
uX |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
Применим эту оценку к задаче для функции z:
|
j+1 |
|
n |
|
T |
|
|
kz |
kC c 0 n j k |
k; c= |
2p2" |
; ": |
|||
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует равномерная сходимость схемы с весами
kvj uj kC |
8 |
M (h2 + ) ïðè >0; 5; u 2 C24; |
|||
M (h2 + 2) |
ïðè =0; 5; u 2 C34; |
||||
|
< |
M (h4 + 2) |
ïðè = ; u |
2 |
C36: |
|
: |
|
|
|
Для явной схемы ( =0) из (39) не следует равномерная сходимость при условии h2=2: Однако
для нее можно непосредственно получить оценку
j 1
X
kvj kC kv0kC + k'nkC ; h2=2;
n=0
42
j
òàê ÷òî kzj+1kC P k'nkC : Отсюда и следует равномерная сходимость явной схемы со скоростью
n=0
O( + h2):
9. Исследование устойчивости методом гармоник. Познакомимся с еще одним распространенным приемом исследования разностных схем с постоянными коэффициентами, называемый методом гармоник. Хотя данный метод не является достаточно обоснованным, в частности, не учи-
тывает влияния граничных условий и правых частей, он позволяет легко найти необходимые условия устойчивости и сходимости разностных схем.
Метод гармоник рассмотрим на примере схемы с весами [10, 12] |
|
vt= v( v^ + (1 )v); v(0; t)=v(1; t)=0; v(x; 0)=u0(x): |
(43) |
Частные решения уравнения (43) ищем в виде |
|
vmn (')=qneimh'; |
(44) |
ãäå i мнимая единица, ' любое действительное число и q число, подлежащее определению. Подставляя (44) в уравнение (43) и сокращая на eimh', получим
|
q 1 |
=[q + (1 |
|
)] |
eih' |
|
2 + e ih' |
; |
||||
|
|
|
|
|
h2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
h' |
|
|
|
|
|
1 4 (1 ) sin2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
q= |
2 |
|
; = =h2: |
|
|||||||
|
|
h' |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 + 4 sin2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Начальные условия vm0 (') = eimh', соответствующие решениям вида (44) (их называют гармониками), ограничены. Если для некоторого ' множитель q станет по модулю больше единицы, то решение вида (44) будет неограничено возрастать при n ! 1. В этом случае разностное уравнение (43) называется неустойчивым, поскольку нарушается непрерывная зависимость его решения от на- чальных данных. Если же jqj 1 для всех действительных ', то все решения вида (44) ограничены при любом n и разностное уравнение устойчиво. jqj 1 для всех действительных '; åñëè
|
1 |
|
h2 |
(45) |
|
|
|
|
|
: |
|
2 |
4 |
Отсюда видно, что все схемы с 12 абсолютно устойчивы. Схема повышенного порядка ап-
проксимации ( = ) также абсолютно устойчива. Явная схема условно устойчива при <0; 5h2 .
10. Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности. Одной из первых схем, применявшихся для численного решения уравнения теплопроводности была явная трехслойная схема Ричардсона [11, 12, 13]
|
vn+1 vn 1 |
= vn |
èëè vo = v; |
|
|
|
(46) |
||
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
ãäå |
v^ v |
|
|
|
|
|
|
|
|
vo = |
; v^=vn+1 |
; v=vn; v=vn 1; v=vxx: |
|
||||||
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по |
è h ( |
= u ut |
=O( |
2 |
2 |
)): Однако она явля- |
|||
|
+h |
||||||||
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
ется абсолютно неустойчивой (т. е. неустойчивой при любом законе стремления h è ê íóëþ).
Уравнение можно переписать в виде
vmn+1 vmn 1 |
= |
vmn 1 2vmn + vmn +1 |
: |
(47) |
|
2 |
h2 |
||||
|
|
|
43
Если в правой части уравнения (47) заменить 2vmn суммой vmn+1 + vmn 1, то получим трехслойную
схему "ромб"(схему Дюфорта и Франкеля)
vn+1 vn 1 |
= |
vmn 1 vmn+1 vmn 1 + vmn +1 |
; |
(48) |
|
h2 |
|||||
2 |
|
|
|
которая остается явной относительно vmn+1 и является абсолютно устойчивой. Она может быть за-
писана в виде
vo + |
2 |
v = v; |
v = |
vmn+1 2vmn + vmn 1 |
: |
(49) |
|
||||||
t |
h2 |
tt |
tt |
2 |
|
|
|
|
|
|
Схема "ромб"получается из схемы Ричарсона добавлением к левой части (48) члена 2=h2v , îáåñ- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tt |
печивающего устойчивость. Погрешность аппроксимации схемы есть |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
@2u @u 2 @2u |
2 |
|
2 |
|
2 @2u |
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||
= u ut |
|
utt = |
|
|
|
|
|
|
|
+O( |
+ h |
)= |
|
|
|
+O( |
+ h |
): |
||||
h2 |
@x2 |
@t |
h2 |
|
@t2 |
|
|
h2 |
|
@t2 |
|
|
||||||||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда видно, что схема "ромб"обладает условной аппроксимацией |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
=O( 2 + h2 + 2=h2)=O(h2) |
ïðè =O(h2): |
|
|
|
|
|
Если взять = h(1 + O(h)); ãäå =const, то, очевидно, что схема (49) аппроксимирует уравнение
âèäà @u=@t + 2@2u=@t2=@2u=@x2: |
|
|
|
|
Обычно для уравнения (3) используются неявные трехслойные схемы с весами: |
|
|||
а) симметричные схемы |
= ( v^ + (1 2 )v + v) + '; |
|
||
vt |
(50) |
|||
o |
|
|
|
|
б) несимметричные схемы |
|
|
|
|
|
v |
t |
+ v = v + ': |
(51) |
|
|
tt |
|
Уравнения (50) и (51) содержат три слоя (tn 1; tn; tn+1). Значение v(x; 0) известно, значение v(x; ) надо задавать дополнительно; например, можно положить
v(x; )=v(x; 0) + (u000 (x) + f (x; 0)):
Тогда v(x; ) u(x; )=O( 2):
Òàê êàê u^ + (1 2 )u + u= u + 2utt= u + O( 2); то симметричная схема (50) при любом имеет второй порядок аппроксимации по и h: Выражение погрешности аппроксимации для схемы
(51) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= u^+' (ut + utt)=Lu^+' |
@u^ |
@2u^ |
|
@2u^ |
+O( 2+h2)= |
(52) |
|||||||
|
0; 5 |
|
|
+ |
|
||||||||
@t |
@t2 |
@t2 |
|||||||||||
|
@u^ |
|
|
|
|
|
@2u^ |
|
|
|
|
||
= Lu^+f^ |
|
+(' f^) ( 0; 5) |
|
+O( 2+h2): |
|
||||||||
@t |
@t2 |
|
|||||||||||
Отсюда видно, что и для схемы (51) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
=O(h2 |
+ ) |
ïðè = 0; 5; '=f:^ |
|
|
|||||||||
=O(h |
|
+ ) |
ïðè =0; 5; '=f ; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
Выписывая в (52) члены O(h2) и учитывая уравнение @u=@t= @2u=@x2+f; можно убедиться в том, что схема (51) имеет аппроксимацию O(h4+ 2) ïðè
|
|
|
h |
2 |
|
2 ^ |
|
^ |
||
2 |
|
^ |
|
|
@ f |
|
|
@f |
|
|
=0; 5 + h |
=(12 ); |
'=f + |
12 |
( |
@x2 |
+ |
@t |
): |
44
Для определения v^ из (50) и (51) получаем трехточечные уравнения |
|
Av^m 1 Bv^m + Cv^m+1= Fm |
(53) |
с правой частью Fm; зависящей от v; v; ' с обычными краевыми условиями при m=0; m=M: Ýòà
задача решается методом прогонки.
Достаточные условия устойчивости имеют вид
>1=4 для симметричной схемы (50);
0 для несимметричной схемы (51):
4.2Уравнение колебаний струны
1. Постановка задачи. Вычисление погрешности аппроксимации. Рассмотрим уравнение колебаний струны в виде [12]
|
@u2 |
= |
@2u |
+ f (x; t); |
0<x<1; |
0<t T; |
(1) |
||||
|
@t2 |
@x2 |
|
||||||||
удовлетворяющее начальным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
||||
u(x; 0) = u0(x); |
@u(x; 0) |
= u0 |
; |
0 x 1 |
(2) |
||||||
|
|
||||||||||
@t |
|
(начальное отклонение u0(x) и начальная скорость u0(x)): Концы струны движутся по заданным
законам
u(0; t)= 1(t); u(1; t)= 2(t); 0 t T: |
(3) |
Введем в области G=(0 x 1; 0 t T ) прямоугольную сетку
!h =!h ! =f(mh; n ); m=0; M ; n=0; N g
с шагами h=1=M è =T =N: Так как уравнение (1) содержит вторую производную по t, число слоев
не может быть меньше трех. Воспользуемся следующие обозначения
v=vn; v^=vn+1; v=vn 1; v |
= |
v^ v |
; v = |
v v |
; v=v |
xx |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
v = |
vt vt |
= |
v^ 2v + v |
; vo = |
vt + vt |
= |
v^ v |
: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
tt |
|
2 |
|
t |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Рассмотрим семейство схем с весами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
vtt= ( v^ + (1 2 )v + v) + '; |
|
'=f (x; tn); |
|
(4) |
|||||||||||||||||
v0= 1(t); vM = 2(t); |
v(x; 0)=u0(x); |
|
vt(x; 0)=~u0(x); |
||||||||||||||||||
ãäå u~0(x) определим ниже. |
|
@2u @2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дифференциальный оператор Lu= |
был заменен разностным оператором Lh , исполь- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
@t2 |
@x2 |
зующий значения сеточной функции в три момента времени t ; t; t + : Минимальным является
|
2x |
x |
x3 |
|
x |
x |
x |
пятиточечный шаблон |
x |
ïðè = 0, максимальным - девятиточечный шаблон |
2x x x3 |
||||
ïðè = 0. |
4 |
x |
5 |
|
4x |
x |
x5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
45
Вычислим погрешность аппроксимации схемы (4) при '=f (x; tn): Пусть v - решение задачи (4), u = u(x; t) - решение задачи (1). Вводим погрешность решения z=v u: Подставляя v=z + u â (4),
получим |
|
|
ztt= ( z^ + (1 2 )z + z) + ; |
(5) |
|
z0=zn=0; |
z(x; 0)=0 zt(x; 0)= (x); |
|
ãäå = ( u^ + (1 2 )u + u) + ' utt |
погрешность аппроксимации для схемы (4) на решении |
u=u(x; t), =~u0(x) ut(x; 0) погрешность аппроксимации для второго начального условия vt=~u0(x): Краевые условия и первое начальное условие u(x; 0)=u0(x) на сетке !h удовлетворяются точно.
Выберем u~0(x) так, чтобы = 0( 2). Из формулы |
|
|
|
||||||
ut(x; 0)= |
@u(x; 0) |
+ |
@2u(x; 0) |
+O( 2) = u0 |
(x) + 0; 5 |
u000(x) + f (x; 0) + O( 2) |
|
||
@t |
2 |
|
@t2 |
|
|||||
видно, что u~(x) ut(x; 0)=O( 2); если положить |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
u~(x)=u0(x) + 0; 5 (u000(x) + f (x; 0)): |
(6) |
|||
Определим порядок аппроксимации . |
|
|
|
||||||
Пользуясь формулами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u^=u + ut; u=u ut; u^ + (1 2 )u + u=u + 2utt; |
|
|||||||
перепишем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( u^ + (1 2 )u + u) + ' utt = u+ 2 utt+' utt: |
(7) |
|||||||
Подставляя сюда выражения |
|
|
|
|
|
|
|
@u 2 @2u 3 @3u |
+ O( 4); |
|
||||||||||||
|
|
u^ = u + |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 @t2 |
3 @t3 |
|
|||||||||||
|
|
|
@t |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
@u 2 @2u 3 @3u |
+ O( 4); |
|
||||||||||||
|
|
u = u |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
@t |
|
2 @t2 |
3 @t3 |
|
|||||||||||
|
@2u |
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
@2u |
|
||||
u = |
|
+ 0( 2 ); u=Lu + |
|
|
L2u + O(h4); Lu= |
|
; L2u = |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
tt |
@t2 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@4u @x4 ;
получим |
|
|
|
|
@2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
@2u |
h2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= (Lu |
|
+ f ) + (' f ) + 2L |
|
|
+ |
|
L2u + O( 2 + h4): |
|
|
|||||||||||||
|
@t2 |
@t2 |
12 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
@2u |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@2u |
|
||
Отсюда видно, что |
= 2L |
|
+ |
|
|
L2u + O( 2 + h4) ïðè ' = f , òàê êàê |
|
= Lu + f . |
|||||||||||||||
@t2 |
12 |
@t2 |
|||||||||||||||||||||
|
@2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Учитывая, что L |
= L2u + Lf , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
@t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= (' f )+( 2 + |
|
|
)L2u+ 2Lf + O( 2+h4): |
|
(8) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
|||||||||||||||||
Отсюда видно, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
1) |
=O( 2 + h4) |
ïðè |
= |
|
+ ; ' = f 2 f; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
12 2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1) |
=O( 2 + h2) |
ïðè ' = f; 6= : |
|
|
|
|
Здесь - постоянная, не зависящая от и h, которая должна выбираться так, чтобы схема была устойчивой (достаточно потребовать 0).
46
2. Устойчивость по начальным данным. Метод разделения переменных. Решение задачи
vtt= ( v^ + (1 2 )v + v)= v( ) ; |
(9) |
v0=vM =0; v(x; 0)=u0; ut(x; 0)=~u0(x)
будем искать методом разделения переменных.
Будем искать решение уравнения (9) в виде произведения функций, одна из которых зависит только от t а вторая только от x, полагая v(x; t)=X(x)T (t): Подставим это выражение в (9) и
учтем, что
|
|
|
|
|
v=vxx=T X; vtt = XTtt: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
tt |
|
= : |
|
|
|
|
|
(10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
T ( ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда и из краевых условий v0=vM =0 получаем для X(x) задачу на собственные значения |
||||||||||||||||||||||||||||
X + X=0; |
x 2 !h; |
|
X(0)=X(1)=0; X(x) 60: |
|||||||||||||||||||||||||
Она имеет решения (см. с. 31) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
2 kh |
|
|
(k) |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k = |
h2 |
sin |
|
2 |
|
; X |
|
|
(x)= 2 sin kx; k = 1; M 1: |
|||||||||||||||||||
Собственные функции fX (k)g образуют ортонормированную систему. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Èç (10) äëÿ Tk (t) получим разностное уравнение второго порядка |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(T ) |
+ |
T |
( ) |
=0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k tt |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
èëè |
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k ]Tk + (1 + |
2 |
|
|
||||||||
|
|
k )Tk 2[1 + ( 0; 5) |
|
|
|
k )Tk =0; |
||||||||||||||||||||||
которое перепишем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; 5 2 k |
|
|
(11) |
|||
|
|
Tk 2(1 k )Tk + Tk =0; |
|
k = |
1 + 2 k |
: |
Решение этого уравнения ищем в виде Tk =Tk (tn)=qn. Äëÿ q из (11) найдем квадратное уравнение
k p
q2 2(1 )q+1=0 (индекс временно опускаем). Его корни равны q1;2=1 2 2 . Åñëè 0< <2;
p
то корни q1;2=1 i (2 ) комплексные и jq1;2j=1. Введем новую переменную 'k ; полагая
p
cos 'k =1 k ; sin 'k = k (2 k ):
Тогда получим q1= cos 'k +i sin 'k =ei'k , q2= cos 'k i sin 'k =e i'k , (Tk )1=q1n=ein'k , (Tk )2=e in'k . Îá-
щее решение квадратного уравнения (11) имеет вид
Tk (tn)=Ck(Tk )1 + Dk (Tk )2=Ak cos n'k + Bk sin n'k ;
ãäå Ak è Bk произвольные постоянные.
Решение задачи (9) ищем в виде суммы частных решений
M 1 |
|
X |
|
vn= (Ak cos n'k + Bk sin n'k )X(k)(x): |
(12) |
k=1
47
Пусть u0k ; u~0k коэффициенты разложений u0(x) è u~0(x)
M 1 |
M 1 |
|
X |
X |
|
u0(x)= u0k X(k)(x); u~0(x)= |
u~0k X(k)(x): |
(13) |
k=1 |
k=1 |
|
Потребуем, чтобы сумма (12) удовлетворяла начальным условиям v0=u0, vt0 = (v1 v0)= =~u0(x): Тогда для определения Ak è Bk получим:
Ak =u0k ; |
Ak |
cos 'k 1 |
+ Bk |
sin 'k |
=~u0k : |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда находим |
|
|
|
|
1 cos 'k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ak |
=u0k ; |
Bk= |
u0k + |
|
|
u~0k : |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
sin 'k |
|
|
|
|
|
sin 'k |
||||||
Подставив Ak è Bk в (12), после преобразований имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||
M 1 |
|
cos(n 0; 5)'k |
|
|
|
|
|
sin n'k |
|
|
|
|
|||||
vn= |
u |
0k |
+ |
u~ |
|
X(k)(x): |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
k=1 |
cos 0; 5'k |
|
|
|
sin 'k |
|
0k |
||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потребуем, чтобы k удовлетворяло соотношению
k |
2 |
; k=1; M 1: |
1 + " |
Âэтом случае параметр удовлетворяет условию
1 + " h2
4 4 2 :
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 0; 5'k =p1 k =2 |
r |
1 + " |
: |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = |
|
|
k cos 0; 5'k |
|
|
k r |
1 + " |
; |
||||||||||||||||||
|
sin ' 2 sin 0; 5' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin 0; 5' |
|
|
" |
|
||||||||||||
è, òàê êàê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin 0; 5' |
|
|
|
2(1 |
|
|
cos ' |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
p |
|
|
k |
|
= |
|
|
k |
= p k ; |
|||||||||||||
то справедлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin ' |
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
p k |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ " |
|
|
|
|
|
|
|
Из (15) следует неравенство
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
vn |
M 1 |
cos(n 0; 5)'k u |
|
X(k) |
+ |
M 1 |
sin n'k u~ |
|
X(k) ; |
||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
k |
k k |
cos 0; 5'k |
0k |
k |
k |
k=1 |
sin 'k |
0k |
k |
||
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
подставляя в которое оценки (17) и (18), имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ v |
M 1 |
|
|
|
|
k |
vn |
k r |
1 + " |
|
|
k |
u0 |
k |
(~u0k )2 |
|
|
: |
|||
" |
|
|
k |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
u |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
48
Выражение
v
uM 1 2
u X (~u0k )
t
k=1 k
есть "негативная"норма (норма в HA 1 ):
ku~0kA 1 =(A 1u~0; u~0)1=2;
ãäå Av= v= vxx
Действительно,
и, следовательно,
в пространстве функций v, заданных на сетке !h и равных нулю при x=0; x=1:
M 1 |
|
M 1 u~0k |
|
||
X |
|
X |
|
||
A 1u~0= u~0k A 1X(k)= |
|
|
k |
X(k); |
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|||
M 1 |
(~u0k )2 |
|
|||
X |
|
|
|
|
|
(A 1u~0; u~0)= |
|
|
: |
|
|
k=1 |
|
k |
|
||
|
|
|
|
|
Итак, если выполнено условие (16), то для схемы (9) справедлива оценка
r
kvnk 1 |
+ " |
ku0k + ku~0kA 1 ): |
(19) |
" |
4.3Задача Дирихле для уравнения Пуассона
1.Исходная задача. Рассмотрим уравнение Пуассона
|
@2u |
|
@2u |
(1) |
||
u = |
|
|
+ |
|
= f (x; y); (x; y) 2 G: |
|
@x2 |
@y2 |
|||||
Будем искать его решение, непрерывное в прямоугольнике |
|
|||||
G = G [ = f(x; y) : 0 x l1; 0 y l2g |
|
|||||
и принимающее на границе заданные значения |
|
|||||
|
|
|
|
uj = (x; y): |
(2) |
Покроем данную двумерную область |
|
|
|
|
|
|
|
G сеткой узлов (xi; yj ), образованных пересечениями пря- |
|||||||
ìûõ x = xi è y = yj , ãäå |
|
1 |
|
|
|||
xi = ih; |
h = |
; |
i = 0; 1; :::; M; |
||||
|
|
|
|||||
|
M |
||||||
yj = il; |
l = |
1 |
; |
|
j = 0; 1; :::; N; |
||
|
|
||||||
N |
|
(h è l - шаги сетки ïî îñÿì Ox è Oy соответственно). Будем называть узлы (xi; yj ): внутренними, когда i 2 f1; 2; :::; M 1g, j 2 f1; 2; :::; N 1g è граничными, когда i = 0 èëè i = M , à j 2 f1; 2; :::; N
1g, и когда j = 0 èëè j = N , à i 2 f1; 2; :::; M 1g. Множество внутренних узлов сетки обозначим !hl, граничных узлов hl, всех узлов (внутренних и граничных) - !hl. Заметим, что узлы (x0; y0),
(xM ; y0), (x0; yN ), (xM ; yN ), соответствующие вершинам прямоугольника |
|
, при использовании |
||||
G |
||||||
шаблона типа "крест"и не относятся ни к внутренним, ни к граничным узлам [3]. |
||||||
Начнем с построения разностного аналога оператора Лапласа |
|
|
||||
|
@2u |
@2u |
|
|
||
u = L1u + L2u; L1 = |
|
; L2u = |
|
: |
|
|
@x2 |
@y2 |
|
|
49
Для каждого внутреннего узла (xi; yj ) каждый из операторов L1u = |
@2u |
èëè L2u = |
|
@2u |
àï- |
|||||||||
@x2 |
|
|
@y2 |
|||||||||||
проксимируем трехточечным оператором 1 èëè 2: [9, 10] |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
||
L1u 1uij = uxx;ij |
= |
|
|
|
(ui+1;j |
2uij + ui 1;j ); |
|
|
|
|
|
|
||
h2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
||
L2u 2uij = uyy;ij |
= |
|
|
(ui;j+1 2uij + ui;j 1); |
|
|
|
|
|
|
||||
l2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
где принято обозначение uij = u(xi; yj ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя (3) и (4), заменим оператор Лапласа (2) разностным оператором |
|
|
|
|
|
|||||||||
v = 1v + 2v = vxx |
+ vyy ; |
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||
который определен на пятиточечном шаблоне "крест"2 |
|
3 ; состоящем из узлов (xi |
|
|
h; yj ), |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
(xi; yj ), (xi; yj l). |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Задаче Дирихле сопоставим следующую разностную схему
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
vij = vxx;ij + vyy;ij |
= fij ; i = 1; M 1; j = 1; N 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
(7) |
|||
vi;0 = (xi; 0); vi;N = (xi; 1); i = 1; M 1; |
||||||||
|
|
|
|
(8) |
||||
v0;j = (0; yj ); |
vM;j = (1; yj ); j = 1; N 1: |
Не вызывает затруднений формальная аппроксимация разностной схемы со вторым порядком точности на той же сетке с тем же шаблоном "крест"более общего уравнения
|
@2u |
+ C@2u@y2 |
|
@u |
@u |
|||
A |
|
|
+ D |
|
+ E |
|
+ gu = F: |
|
@x2 |
|
|
||||||
|
|
|
@x |
@y |
Аппроксимируем первые производные на шаблоне "крест"по симметричным формулам
@u |
|
= |
u(xi+1; yj ) u(xi 1; yj ) |
+ 0(h2 ); |
|||||
@x jxi ;yj |
|
2h |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
|
@u |
|
|
u(xi; yj+1) u(xi; yj 1) |
|
2 |
|
||
|
@y |
jxi ;yj |
= |
|
2h |
+ 0(l |
|
): |
Тогда фиксируя в уравнении точку ((x; y) = (xi; yj ), после отбрасывания остаточных членов,
получаем соответствующее сеточное уравнение
Aij |
ui+1;j 2uij + ui 1;j |
+Cij |
ui;j+1 2uij + ui;j 1 |
+Dij |
ui+1;j ui 1;j |
+Eij |
ui;j+1 ui;j 1 |
+gij vij = Fij : |
|
h2 |
l2 |
2h |
2h |
||||||
|
|
|
|
|
Легко видеть, что данное уравнение не имеет принципиальных отличий от уравнения (6) в том плане, что также представляет собой пятиточечное разностное уравнение и при всевозможных зна- чениях i 2 f1; 2; :::; M 1g, j 2 f1; 2; :::; N 1g - это система линейных алгебраических уравнений с
числом уравнений, совпадающих с числом неизвестных, если дополнить ее сеточными граничными условиями (7), (8), и с аналогичной структурой матрицы коэффициентов.
2.Аппроксимация. Введем погрешность решения zij = vij u(xi; yj ). Подставляя vij = zij + uij
âуравнения (1) (2), получим, что погрешность удовлетворяет уравнению
zxx;ij + zyy;ij = ij ; (xi; yj ) 2 !hl; |
(9) |
zij = 0; (xi; yj ) 2 hl; |
(10) |
50