Конспекты. Blackboard / Тема 9.2 Учебное пособие по конечно-разностным методам решения краевой задачи
.pdfТак как левая часть неравенства (12) при qi > 0 и малых h > 0 (малость h нужна из требований
аппроксимации) меньше 2, то на устойчивость прогонки можно рассчитывать лишь в случае, когда q(x) < 0. При этом имеет место
j2 h2qij = 2 h2qi > 2 8h:
Чтобы в таком случае неравенство (12) выполнялось при любых p(x), для правой его части допу-
стимым является только значение 2. Отсюда получаем ограничение
jhpij 2;
означающее, что устойчивость прогонки можно гарантировать при условии, что шаг дискретизации h удовлетворяет неравенству
2 |
|
h jpij |
8i 2 f1; 2; :::; M 1g: |
Усиливая это неравенство и используя утверждение "Аппроксимация плюс устойчивость дает сходимость", приходим к заключению, что если в дифференциальном уравнении (1)
q(x) < 0 8x 2 [0; 1]; |
(13) |
||||
а в определяющем МКР разностном уравнении (7) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
; |
|
max |
p(x) |
|
|
||
|
x2[0;1] j |
|
j |
|
то МКР сходится (по крайней мере, к решению первой краевой задачи).
Наличие ограничения на шаг h в методе конечных разностей второго порядка (7) характеризует
его как условно устойчивый метод. Если отказаться от аппроксимации всех производных с порядком O(h2) и использовать в роли u0(x) правые или левые разностные отношения первого порядка точности, связывая их выбор со знаком pi, а именно, рассматривая вместо (6) разностное уравнение
v |
i+1 |
2v |
+ v |
|
|
vi+1 vi |
; |
åñëè pi > 0 |
|
|
||
|
i |
|
i 1 |
+ pi 2 vi |
hvi 1 |
|
|
3 |
+ qivi = fi: |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
4 |
|
h |
; |
åñëè pi < 05 |
|
|
||
ïðè i = 1; 2; :::; M 1, придем к конечноразностному методу |
|
|
||||||||||
vi 1 (2 + hpi h2qi)vi + (1 + hpi)vi+1 |
= h2fi; |
åñëè pi > 0; |
(14) |
|||||||||
(1 hpi)vi 1 (2 hpi h2qi)vi + vi+1 |
= h2fi; |
åñëè pi < 0; |
|
имеющему первый порядок точности независимо от точности аппроксимации краевых условий. Видно, что при условии (13) диагональное преобладание в методе (14) будет при любой величине
øàãà h > 0. Отсюда следует его безусловная устойчивость. Конечноразностный метод (14) широко
используется при решении задач динамики жидкости и газов и называется противопотоковым методом.
3.2Монотонные разноcтные cхемы
Противопотоковый метод относится к классу монотонных разностных схем. Познакомимся с этим классом схем на примере первой краевой задачу для дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной
Lu "(x)u00+pu0+qu= f (x); 0<x<1; |
(1) |
21
u(0)= 1; u(1)= 2:
Предполагается, что функции "(x), p(x), q(x) , f (x) обладают необходимой гладкостью. При q(x) 0 задача имеет единственное решение. Наличие малого параметра " (0<" 1) при cтаршей производной приводит к оcобенноcтям в решении, извеcтным под названием пограничных cлоев. На небольшом участке порядка " решение задачи резко возрастает. Учесть эту особенность поведения
решения возможно с помощью монотонных схем.
Зададим число M и на отрезке [0, 1] введем неравномерную сетку
!^ = fxi; 0 = x0 < x1 < x2 < ::: < xM = 1g
Напишем разностную схему с неизвестными коэффициентами |
|
||
|
|
|
(2) |
Lhvi = aivi 1 + bivi + civi+1 = fi; i = 1; M1; v0 = 1; vM = 2; |
|||
ãäå |
|
|
|
ai > 0; ci > 0; di = bi + ai + ci 0: |
(3) |
Такие схемы называются монотонными. Это название объясняется тем, что решение задачи (2) при di = 0, fi = 0, ai > 0, ci > 0 является монотонной функцией на всем отрезке 0 < x < 1, ò. å. ëèáî vi vi+1, ëèáî vi vi+1 äëÿ âñåõ i = 0; 1; :::; M [11, 12, 13].
Для этой разностной схемы справедлив принцип максимума при любом шаге сетки.
Принцип максимума. Теорема 1 (принцип максимума). Пусть выполнены условия (3). Тогда, если
Lvi 0; (Lvi 0) |
(4) |
äëÿ âñåõ i = 1; 2; :::; M 1 (во внутренних узлах ), òî vi функция, отличная от константы, не может принимать наибольшего положительного (наименьшего отрицательного) значения во внутренних узлах.
Доказательство. Пусть Lvi 0; i = 1; M 1. Пусть vk наибольшее положительное число из v1; :::; vm 1 такое, что по крайней мере одно из чисел vk 1 èëè vk+1 меньше vk . Такое число найдется, так как сеточная функция отлична от константы. Запишем теперь выражение Lvi â âèäå
Lvi = ci(vi+1 vi) ai(vi vi 1) + (bi + ai + ci)vi:
В точке xk в силу условий (3) выполняется неравенство
Lvk ck (vk+1 vk ) ak (vk vk 1) < 0;
òàê êàê vk vk+1, vk > vk 1, ck > 0, ak > 0. Но это противоречит условию теоремы.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично (достаточно заменить vi íà vi и воспользо-
ваться доказанным выше утверждением). Следствие 1. Если выполнены условия (3) è
Lvi 0; i = 1; M 1; v0 0; vM 0;
то функция vi неотрицательна, vi 0, i = 0; M . Åñëè Lvi 0, v0 0, vM 0, òî vi 0 ïðè
i= 0; M .
Âсамом деле, пусть Lvi 0 è vi < 0 хотя бы в одной точке k = i, 0 < i < M ; тогда vi
должна достигать наименьшее отрицательного значения во внутренней точке, что в силу теоремы 1 невозможно.
Следствие 2. Если выполнены условия (3), то единственным решением задачи
|
|
|
(5) |
Lvi = 0; i = 1; M 1; v0 = 0; vM = 0 |
22
является vi 0, и, таким образом, задача (2) однозначно разрешима при любых fi; 1; 2. Теорема 2 (теорема сравнения). Пусть выполнены условия (3) è vi есть решение задачи (2), à
wi решение задачи
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lwi = fi; i = 1; M 1; w0 = 1; wM = 2 |
|
||||||||||
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|
|
|
i = 1; M 1; |
j 1j 1; j 2j 2: |
||||||||||
|
|
jfij fi; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тогда справедлива оценка jvij wi; |
i = 0; M . |
|
|
|
|
|||||||
|
Доказательство. В силу следствия 1 имеем wi 0, i = 0; M , òàê êàê Lwi = fi |
0, w0 0, |
|||||||||||
wM 0. Функции Yi |
= wi vi è Zi |
= wi + vi удовлетворяют уравнению (2) с правыми частями |
|||||||||||
|
|
0 и граничными значениями Y0 = 1 1 0, YM = 2 |
2 0 è |
||||||||||
fi |
fi 0 è fi + fi |
||||||||||||
Z0 = 1 + 1 0, ZM = 2 + 2 0 соответственно. Применив следствие 1, получим |
|
||||||||||||
|
|
Yi 0; Zi 0 |
èëè wi |
vi wi; ò. å. jvij wi: |
|
||||||||
|
Функцию w называют мажорантой для решения задачи (2). |
|
|||||||||||
|
Аппроксимация разностной задачи. Запишем невязку для уравнения (2), учитывая, что |
||||||||||||
Lu f =0 [7]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=(Lhui fi) (Lu f )i = aiui 1 + biui + ciui+1 (qiui + piui0 + "iui00): |
|
|||||||||||
Разложим ui+1 = u(xi + hi+1) è ui 1 |
= u(xi hi) по формуле Тейлора в окрестности точки xi, |
предполагая, что функция u имеет непрерывные производные до четвертого порядка включительно:
0 |
|
|
|
|
hi2 |
00 |
|
|
|
hi3 |
000 |
|
|
hi4 |
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ui 1 = ui hiui |
+ |
|
|
|
ui |
|
|
|
|
ui |
|
+ |
|
|
|
u |
|
( ); 2 [xi 1; xi] |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
6 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
h2 |
00 |
|
|
|
h3 |
|
|
|
000 |
|
|
|
h4 |
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
i+1 |
|
|
|
|
|
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ui+1 = ui + hi+1ui + |
|
|
|
|
ui |
+ |
|
|
|
|
|
ui |
+ |
|
|
|
|
|
u |
|
|
( ) 2 [xi; xi+1]: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Учитывая эти разложения, будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
hi2+1 |
|
|
|
|
h2 |
|
00 |
|
|
|
|
||||||
i = (ai + bi + ci qi)ui + [hi+1ci hiai pi]ui + h |
|
|
|
ci |
+ |
|
i |
ai "i)iui + |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
hi3+1 |
hi3 |
000 |
|
|
|
|
hi4+1 |
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
hi4 |
|
|
|
IV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
+( |
|
ci |
|
|
ai)]ui |
|
+ |
|
|
|
ciu |
|
|
|
( ) + |
|
|
aiu |
|
( ): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6 |
6 |
|
|
24 |
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Введя обозначения = ai + bi + ci qi, =hi+1ci hiai |
pi; =(hi2+1ci + hi2ai)=2 "i, перепишем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
невязку следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i = ui + ui0 + ui00 + (hi3+1ci hi3ai)=6 + [hi4+1ciuIV ( ) + hi4aiuIV ( )]=24: |
|
|
(7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Необходимым условием аппроксимации |
|
i!0 ïðè h = |
|
max h |
i |
! |
0 является |
! |
0, |
! |
0; |
! |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ïðè h!0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ïðè =0; =0 найдем выражения для коэффициентов разностного уравнения: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ai= |
2( + "i) pihi+1 |
; |
ci= |
2( + "i) + pihi |
; |
|
|
bi + (ai + ci) = qi: |
|
|
|
|
|
(8) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
hi+1(hi + hi+1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
hi(hi + hi+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Для выполнения условия монотонности необходимо,чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ "i>pihi+1=2 (ai > 0); |
+ "i> pihi=2 (ci > 0): |
|
|
|
|
|
(9) |
23
Введем аппроксимационную вязкость =1 + ="i è обобщенное число Рейнольдса
r=[h |
i |
+ h |
i+1 |
+ |
j |
h |
i+1 |
|
h |
ij |
] |
jpij |
: |
(10) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4"i |
|
||||||||
Условия(9) равносильны условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
hi+1pi |
; > |
hipi |
|
|
|
|
||||||||||
|
2"i |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2"i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и будут заведомо выполнены, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
='(r); |
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
где непрерывная функция '(r) удовлетворяет условиям
'(r)>r; '(0)=1: |
(12) |
Первое из условий обеспечивает монотонность, а второе аппроксимацию при h ! 0:
Широкий класс алгебраических аппроксимационных вязкостей был предложен В.А. Оняновым:
s(r)=1 + |
|
|
rs |
|
; s 1: |
(13) |
|
1 + r + |
|
+ rs 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Если аппроксимационная вязкость при r ! 0 допускает представление |
|
|||||
|
s(r)=1 + 0(rs); |
(14) |
òî ïðè s=1 имеет место аппроксимация первого порядка, а при s 2 аппроксимация второго
порядка.
Противопотоковый метод получается из (13) при s=1; 1(r)=1 + r: Широкое использование получила схема А.И. Ильина (r)=r cth(r):
Замечание. "Классическая"разностная схема ( (r)=1) обеспечивает монотонность лишь при
r<1:
3. Устойчивость разностной схемы. Для исследования устойчивости разностной схемы (2) применим теорему сравнения. Построим мажорантную сеточную функцию в виде
wi = max jfijg(xi) + max j(j 1j; j 2j);
i
ãäå g(x) > 0 - некоторая функция. Условия (6) теоремы сравнения w0;M max(j 1j; j 2j) выполнены.
Проверим выполнение первого условия (6) Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
max f |
(a g |
|
+ b g |
|
+ c g |
|
|
) |
|
max( |
|
|
; |
|
2j |
)(a |
+ bi + c |
) |
|
||||||||||||
Lhwi= i j ij |
i |
i 1 |
|
|
|
i |
|
i |
|
i |
i+1 |
|
|
|
|
j |
|
1j j |
|
|
i |
|
i |
|
|||||||
[ai(gi gi 1) + ci(gi |
g |
|
|
|
)] max f |
ij |
(a |
+ b |
i + ci) |
max f |
ij |
|
|
||||||||||||||||||
|
i+1 |
|
i |
j |
|
i |
|
|
|
i |
j |
|
|
||||||||||||||||||
[ai(gi |
g |
|
|
|
) + c |
(g |
i |
g |
|
|
|
)] max f |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
i 1 |
|
|
i |
|
|
|
i+1 |
|
|
i |
|
j ij |
|
|
|
|
|
|
|
то достаточно потребовать
ai(gi gi 1) + ci(gi gi+1) 1:
Ищем функцию g(x) â âèäå
g(x)=e e x
и попытаемся подобрать постоянную >0: Имеем
ai(e xi 1 e xi ) + ci(e xi+1 e xi ) e xi ;
24
ãäå
|
xi |
= [ai(e hi 1) + ci(e hi+1 1)]: |
|
|
|
|
|
Òàê êàê e |
1, поэтому для выполнения условия Lwi |
max |
f |
|
достаточно потребовать |
||
|
i |
j |
|
ij |
|
1:
Если коэффициенты уравнения (1) и аппроксимационная вязкость (r) непрерывные функции своих аргументов, то с помощью (8) легко показать, что также непрерывна по всем своим аргументам в области H [7]:
[
f0 hi; hi+1 h ; xi 2 G g
при любых 0 < 1; в частности, имеет место представление
= "i [ 2 + O( 3h)] + pi( + O( 2h2)]; h = max(hi; hi+1):
Òàê êàê = 0 ïðè = 0 è ! 1 ïðè ! 1, уравнение = 1 имеет по крайней мере один положительный корень. Вид зависимости от показывает, что таких корней может быть лишь конечное число, поэтому наибольший положительный корень (xi; hi; hi+1 ) является непрерывной функцией своих аргументов в области H. Положим
= max :
Y
Тогда на основании теоремы сравнения получаем равномерную оценку
jvij wi= max jfij[e 1] + max(j 1j; j 2 j);
i
которая означает устойчивость схемы. По известной теореме теории разностных схем из аппроксимации и устойчивости следует сходимость разностной задачи (2) к точному решению дифференциальной задачи (1) при h ! 0.
3.3Интегро-интерполяционный метод (метод баланса)
Сущность интегро-интерполяционного метода cоcтоит в том, что разностные уравнения строятся на оcнове интегральных соотношений, выражающих законы сохранения для элементарной ячейки cетки. При этом на cетке вводится определенная интерполяция иcкомого решения и коэффициентов уравнения, изменяя которые можно получить различные разностные cхемы. Этот метод был
предложен Cамарcким А.А и Тихоновым А.Н. в начале 50-х годов [11, 12, 13].
1. Построение разностной схемы. Рассмотрим метод на примере третьей краевой задачи для стационарного уравнения теплопроводности [12, 13]
Lu (k(x)u0(x))0 q(x)u(x)= f (x); ku0= 1u 1;
ku0= 2u 2;
0<x<1; |
(1) |
x=0; |
(2) |
x=1: |
(3) |
Задача имеет единственное решение, еcли k(x) c>0; q 0; 1 0; 2 0; k(x); q(x); f (x) - заданные
достаточно гладкие функции.
На отрезке [0,1] введем cетку !h = fx=ih; i=0; M g c шагом h=1=M . Запишем уравнение баланса тепла на отрезке xi 1=2 x xi+1=2:
|
xi+1=2 |
|
xi+1=2 |
|
|
Wi 1=2 Wi+1=2+x |
Z |
f (x)dx=x |
Z |
q(x)u(x)dx; W = ku0; |
(4) |
|
i 1=2 |
|
i 1=2 |
|
|
25
ãäå W (x) поток тепла, q(x)u(x) мощность cтоков (при q<0 источников) тепла, пропорциональных температуре, f (x) плотность распределения внешних источников (cтоков) тепла.
Сток тепла происходит за счет теплообмена с внешней средой, происходящего на боковой поверхности стержня. Величина Wi 1=2 дает количество тепла, втекающее через сечение x = xi 1=2 на отрезок xi 1=2 x xi+1=2, Wi+1=2 - количество вытекающего через сечение x = xi+1=2 тепла; третье слагаемое в левой части (4) дает количество тепла, выделяющегося на отрезке xi 1=2 x xi+1=2 за счет распределенных с плотностью f (x) источников тепла, интеграл в правой части (4) есть
количество тепла, отдаваемой внешней среде за счет теплообмена на боковой поверхности.
Чтобы получить из (4) разностное уравнение, заменим W и интеграл, содержащий u, линейными комбинациями значений u в узлах сетки. Для этого воспользуемся интерполяциями в окрестности узла xi. Возьмем простейшую интерполяцию
u = const = ui ïðè xi 1=2 x xi+1=2;
|
xi+1=2 |
|
|
|
|
xi+1=2 |
|
|
|
Z |
|
1 |
|
Z |
|
(5) |
|
|
q(x)u(x)dx hdiui; |
di= |
|
x |
q(x)dx; |
|||
x |
h |
|||||||
|
i 1=2 |
|
|
|
|
i 1=2 |
|
|
ãäå di есть среднее значение q(x) на отрезке xi 1=2 x xi+1=2 длины h. Проинтегрируем равенство u0= W=k на отрезке xi 1 x xi:
xi |
W (x) |
|
|
ui 1 ui= Z |
dx: |
||
|
|||
k(x) |
|||
xi 1 |
|
|
Предполагая, что W (x) = Wi 1=2 = const ïðè xi 1 x xi, имеем
|
|
|
|
xi |
dx |
|
|
|
|
|
|
ui 1 ui Wi 1=2 |
Z |
|
: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
k(x) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда находим приближенное значение Wi 1=2 потока |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
u |
|
|
1 |
xi |
dx |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|||||||
Wi 1=2 = ai |
|
i h i 1 |
= aiux;i |
; ai = |
|
Z |
|
i |
: |
||
|
h |
k(x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
h |
|
|
xi 1 |
|
|
Подставляя (5) и (6) в (4) и обозначая через vi искомую функцию, получим уравнение
1 |
[a |
|
vi+1 vi |
|
a |
|
vi vi 1 |
] |
|
d v |
= |
|
' |
; |
h |
|
h |
|
h |
||||||||||
|
i+1 |
|
i |
|
i i |
|
i |
|
ãäå
|
|
1 |
xi |
dx 1 |
|
0 |
|
|
|
Z |
|
Z |
|||
ai |
= |
|
|
i |
= |
||
h |
k(x) |
||||||
|
h |
|
xi 1 |
|
h 1 |
||
|
0:5 |
|
|
|
|
|
|
di = Z |
q(xi + sh)ds; |
'i |
= |
ds i 1
k(xi + sh)
;
0:5
Z
f (xi + sh)ds:
0:5 |
0:5 |
(6)
(7)
(8)
Разностное уравнение (7) записано в фиксированном узле x = xi. Записывая уравнение во всех точках сетки, где оно определено, т. е. при i = 1; 2, :::, M 1, получим систему из M 1 линейных алгебраических уравнений относительно M + 1 неизвестных v0; v1; :::; vM . Два недостающихся
26
уравнения получаются путем аппроксимации граничных условий (2) - (3). Запишем разностную аппроксимацию для краевого условия третьего рода (ku0)o = 1uo 1 ïðè x = 0. Для этого используем уравнением баланса при 0 x x1=2 = h=2.
|
|
|
|
|
x1=2 |
|
|
|
|
x1=2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
W1=2 Wo Z0 |
qudx= Z0 |
|
f (x)dx: |
|
|||||||||||||
Подставляя сюда |
|
W1=2 = a1ux;1; Wo = (ku0)o = 1uo 1; |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
x1=2 |
|
|
|
x1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
qudx douo |
h |
; |
Z0 |
f (x)dx 'o |
h |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||
и заменяя всюду u íà v, получим разностное краевое условие |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
a1vx;1 1vo + 1 0; 5hdo vo = 0; 5h'o ; |
|
||||||||||||||||
которое можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
a1vx;1 = 1vo 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ãäå |
1= 1 + 0; 5h'0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1= 1 + 0; 5hd0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Разностное уравнение при x=1 имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
aM vx;M |
|
|
2; |
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||
|
|
|
|
= 2vM |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ãäå |
|
2= 2 + 0; 5h'M ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2= 2 + 0; 5hdM ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
xM |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xM |
|
|||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|||
|
|
dM = |
|
q(x)dx; |
'M = |
|
|
|
|
|
f (x)dx: |
|
||||||||
|
|
0; 5h |
0; 5h |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
xM 0;5h |
|
|
|
|
|
|
|
|
xM 0;5h |
|
||||||
|
Разностная cхема для задачи (1)-(3), построенная интегро-интерполяционным методом (методом |
|||||||||||||||||||
баланcа), имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (avx)x;i divi + 'i=0; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
i=1; M 1; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1; |
(11) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a1vx;o= 1vo |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aM vx;M |
|
|
|
2: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 2vM |
|
||||||||||||
|
2. Аппрокcимация дифференциального уравнения. Рассмотрим погрешность решения |
|||||||||||||||||||
zi = vi u(xi). Подставляя vi = zi + ui в (11), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
z = (azx)x dz= |
|
(x); |
|
x2!h; |
(12) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= M ; |
(13) |
|||||
|
|
a1zx;o + 1zo= o; |
|
aM zx;M + 2zM |
||||||||||||||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) = (aux)x + du + '; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
+ 1; |
|
M = aM ux;M |
|
|
: |
||||||||||
|
|
0 = a1ux;0 1u0 |
|
2uM + 2 |
Функция (x) есть погрешность аппроксимации дифференциального уравнения (1) разностным уравнением (7) на решении u(x), а величины o; M погрешности аппроксимации граничных условий (2)-(3) разностными краевыми условиями на решении u(x).
27
Вычислим погрешность аппроксимации уравнения (11):
=( u + ') (Lu + f ) = ( u Lu) + (' f ) =
=[ h1 (bux aux) (ku0)0] (d q)u + (' f );
где обозначено bi = ai+1: Используем формулу Тейлора:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
h3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
u(x h) = u(x) hu0(x) + |
|
|
|
u00(x) |
|
|
u000(x) + O(h4) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
|
|
h |
00 |
|
|
|
|
|
000 |
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
h |
|
00 |
|
|
|
|
|
000 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ux=u |
+ |
|
u |
|
+ |
|
|
|
u |
|
|
+O(h |
); ux=u |
|
|
|
u |
|
|
+ |
|
|
|
u |
|
|
+ O(h |
): |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
6 |
|
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставим эти выражения для ux è ux в формулу для |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
b a |
|
k0)u0+( |
b + a |
|
|
k)u00+ |
h(b a) |
u000+(' |
|
f ) (d |
|
|
q)u+O(h2): |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отcюда видно, что =O(h2); еcли выполнены уcловия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a(x + h) a(x) |
= k0(x) + O(h2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(x + h) + a(x) |
= k(x) + O(h2 ); |
(14) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
d(x) = q(x) + O(h2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'(x) = f (x) + O(h2): |
(15) |
||||||||||||||||||||||||||
Проверим выполнение уcловий (14). Вводя p(x)=1=k(x); получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
p(x)dx=pi 1=2 + |
|
|
p00i 1=2 + O(h4); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ai |
h |
12 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 p00i 1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 p00i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
ai=ki 1=2 |
|
|
|
|
|
+ 0(h |
)=ki 1=2 |
|
|
|
|
+ 0(h |
): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
12 p2 |
|
12 |
p2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 p00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai+1=ki+1=2 |
|
|
|
|
|
+ 0(h |
|
): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отcюда получаем уcловия (14). Уcловия (15) выполнены в cилу того, что замена интегралов di; 'i значениями qi; fi соответствует приближенному вычислению этих интегралов по формуле прямо-
угольников c узлом в cередине отрезка интегрирования.
3. Аппроксимация граничного условия. Далее оценим на решении u = u(x) дифференци-
альной задачи величину невязки
|
|
|
|
|
|
|
0=a1ux;0 1u0 + 1: |
|
|
||
Используя разложения a1=k1=2 +0(h2 )=k0+0; 5hk00 |
+0(h2), ux;o = (u1 uo)=h=uo0 + huo00=2 + O(h2), |
||||
получим |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
) = |
|
o = (ku |
)o + 0; 5h(ku |
)o |
1uo + 1 |
+ 0(h |
=[(ku0)o 1uo + 1] + 0; 5[(ku0)0 qu + f ]o + 0(h2 ) = O(h2);
т. е. разностное краевое условие третьего рода (9) аппроксимирует условие (ku0)o= 1uo 1 ïðè
x=0 с погрешностью второго порядка o=O(h2). Аналогичным образом получим M =O(h2):
4. Разностные тождества и неравенства. Для доказательства сходимости разностной схемы, нам потребуются некоторые разностные тождества и неравенства [13].
28
Будем рассматривать сеточные функции, заданные на сетке
!h = fxi = ih; i = 0; M ; hM = lg:
Обозначим ui=u(xi), xi 2 !h, ux;i=(ui+1 ui)=h, ux;i |
|
|
|
M 1 |
M |
|||||||
=(ui ui 1)=h, (u; v)= |
uivih, (u; v]= |
uivih. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
=1 |
Справедливо следующее разностное тождество: |
|
|
|
|
P |
iP |
||||||
|
|
|
|
(u; vx) = uM vM u0v1 (ux; v]: |
|
|
|
(16) |
||||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 1 |
hu |
|
vi+1 vi = |
M 1 |
|
M |
u v |
|
M 1 |
|
|
(u; v ) = |
|
u (v |
v ) = |
|
u v = |
|
||||||
|
X |
|
|
|
|
X |
i+1 i |
X |
i 1 i |
X |
|
|
x |
i=1 |
|
i |
h |
i |
i=2 |
i i |
|
||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
||
M |
|
|
|
M |
|
M |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|
= ui 1vi u0v1 uivi + uM vm = vi(ui ui 1) u0v1 + uM vM ; |
|
|||||||||||
i=1 |
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
что и требовалось доказать. Тождество (16) называется формулой суммирования по частям. Подставляя в (16) вместо v выражение ayx и вместо u функцию z, получаем первую разностную
формулу Грина |
|
|
(z; (ayx)x)= (zx; ayx] + aM yx;M |
zM a1yx;ozo: |
(17) |
Подставив в (16) u = y, v = azx, получим |
|
|
(y; (azx)x)= (zx; ayx] + aM zx;M |
yM a1zx;oyo: |
(18) |
Вычитая теперь (18) из (17), приходим к разностному аналогу второй формулы Грина |
|
|
(z; (ayx)x) (y; (azx)x) = aM (zyx yzx)M a1(yxz zxy)0: |
(19) |
|
Обозначим |
|
|
M |
|
|
X |
|
|
kzx]j = (zx;i)2h |
|
|
i=1 |
|
|
и докажем, что для любой сеточной функции zi, удовлетворяющей условию zM = 0, справедлива неравенство
|
|
|
kzkC2 |
(!h ) lkzx]j2: |
|
|
(20) |
|||||||
Для доказательства воспользуемся тождеством |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
M |
|
|
M p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
j X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zi = |
hzx;j = |
|
|
h( hzx;j ); |
i = 0; M 1; |
||||||||
|
|
j=i+1 |
|
|
=i+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
и применим неравенство Коши Буняковского |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
M |
|
M |
|
|
M |
|
|
|
|
||
|
|
j X |
|
X |
|
|
X |
|
|
|
|
|||
|
|
j |
aibij2 |
( |
aj2)( |
bj2): |
|
|
||||||
|
|
|
=i+1 |
|
j=i+1 |
|
|
j=i+1 |
|
|
|
|
||
Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
M |
|
jzij2 |
( |
X |
X |
) = (l xi) |
X |
|
|
j X |
||||||
h)( |
hzx;j2 |
|
hzx;j2 l |
hzx;j2 ; |
||||||||||
|
|
j=i+1 j=i+1 |
|
|
|
|
|
j=i+1 |
|
|
=i+1 |
29
откуда сразу следует неравенство (20).
5. Доказательство сходимости. Получим тождество, которому удовлетворяет погрешность zi=vi ui.
Умножим уравнение (12) на hzi и просуммируем по i îò 1 äî M 1. Тогда получим
((azx)x; z) (d; z2 )= ( ; z):
Применим разностную формулу Грина (с. 29)
(a; zx2 ] aM zx;M zM + a1zx;0z0 + (d; z2 )=( ; z)
и учтя (13), запишем тождество
2 |
2 |
2 |
2 |
)=( ; z) + 1z0 |
+ 2zN : |
(21) |
(a; zx |
] + 1zo |
+ 2zN + (d; z |
Òàê êàê k(x) c1>0; q 0; 1 0; 2 0; то коэффициенты разностной схемы удовлетворяют
неравенствам |
|
|
|
|
|
0; |
|
0: |
(22) |
ai c1>0; di 0; 1 |
2 |
Воспользовавшись (22), оценим слагаемые, входящие в левую часть тождества (21) следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
M |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
X |
2 |
h c1 |
X |
2 |
h=c1kzx |
2 |
: |
|
|
(d; z |
) 0; 1z0 0; 2zM 0; (a; zx]= |
i=1 |
aizx;i |
i=1 |
zx;i |
]j |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В результате получим неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
c1kzx]j2 j( |
; z)j + j |
oj jzoj + j |
|
|
|
|
M 1 |
hj ij + j oj + j |
M j : |
(23) |
|||||
|
M j jzM j kzkC(!) i=1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
Учитывая неравенство (20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
kzkC2 (!h ) kzx]j2; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
имеем |
|
|
|
|
|
M 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kzkC(!h ) |
c1 |
( j ijh + j oj + j M j): |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку k kC(!h ) = O(h2); j |
o j=0(h2); j |
M j=0(h2 ), то погрешность zi = vi ui |
также является |
||||||||||||
величиной O(h2) ïðè h ! 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Справедливо следующее утверждение.
Пусть k(x) -непрерывно дифференцируемая и q(x), f (x) - непрерывные функции при x2[0; 1], решение задачи (1)-(3) обладает непрерывными четвертыми производными. Пусть коэффициенты разностной схемы (11) удовлетворяют условиям (14), (15), (22). Тогда решение разностной задачи (11) сходится при h ! 0 к решению исходной дифференциальной задачи (1)-(3) со вторым порядком по h, так что выполняется оценка
kv ukC(!h ) Ch2;
ãäå C - постоянная, не зависящая от h:
30