Конспекты. Blackboard / Тема 4. Численное интегрирование

погрешность составных формул

R f

J I

n 1

Rn1 f ab f x dx f xi xi 1 xi

n 1

xi 1

i 0

n 1

f x dx f xi

1

f

x

hi 1 R0i

i 0

i

i 0

xi 1

R1 f

( f x f

x )dx

0i

i

xi

раскладываем в ряд Тейлора подынтегральную функцию

xi 1

f

1

f

2

( f

x

x

x

x

x

x

x

...

f

x

)dx

i

i

i

2

i

i

i

xi

Задание: выяснить порядок погрешности формулы правых

прямоугольников и центральных прямоугольников.

Составная формула трапеций

f x

I 4

f a

f b b a

f b

2

f xi 1

n 1 f x

f

x

f xi

4

In

i

i 1

hi 1

2

f a

i 0

In4

b a

f

f

n 1

n

0

2

n fi

i 1

0

a ... xi xi 1 ...

b

x

n1

f xi1

n 1

Rn4 f

ab

f x dx

f xi

hi 1 R14i

f

i0

2

i 0

f xi f

xi 1

R14i f

xi 1

( f x

)dx

xi

2

раскладываем в ряд Тейлора подынтегральную функцию

f

x , f

xi , f

xi 1

i 12

xi 1

x

в точке

x

,

обозначим

2

xi 1

1

4

2

R1i

( f

x f x x x

f

x x x

...

xi

2

1

2

f x f

x

f

xi

x

...

1

x xi

2

x

)dx

2

f x f x

x

x

1

f

x

x

x

2

...

1

i 1

2

i

Подъинтегральную функцию заменяем многочленом Лагранжа

L

x f x

x

xi 1

f

x

x xi

x x

x