Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Конспекты. Blackboard / Тема 1. Вычислительный эксперимент и погрешности

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
25.04.2015
Размер:
320.2 Кб
Скачать

§ 1 Вычислительный эксперимент

Вычислительный эксперимент представляет собой исследование естественно-научной проблемы средствами вычислительной математики и состоит из следующих этапов:

1.Научная проблема описывается на языке той науки,

которой принадлежит проблема. В ходе описания делаются какие-либо предположения, упрощения,

решается: учитывать или нет те или иные факторы,

влияющие на результат и выводы задачи

2. Производится подбор математической модели.

На этом этапе выполняются исследования методами классической математики.

3.Построение приближенного численного метода решения задачи, сформулированной и исследованной на предыдущем этапе.

4.Программирование вычислительного алгоритма

5.Проведение расчетов, вычислений, анализ результатов.

 

модель1

 

объект

 

вычислительные

исследова

модель 2

 

ния

 

 

методы

 

модель 3

 

 

контроль

программирование

 

анализ

вычислительного

 

алгоритма

 

 

 

Вычислительный эксперимент -

«колесо»

естественно-научной и научно-технической деятельности

§2 Погрешности

Погрешности можно классифицировать следующим образом:

1.неустранимые погрешности;

2.погрешности метода;

3.вычислительные погрешности.

При использовании компьютерных вычислений необходимо оценивать получающуюся погрешность.

Если x* - точное значение некоторой величины,

а х - вычисленное приближение к точному значению, то

абсолютной погрешностью приближения х называется

Δ(х), лишь бы только

xx* (x).

Относительной погрешностью называют величину δ(х),

если

x x * ( x). x

Числа Δ(х) и δ(х) называют оценками или границами абсолютной и относительной погрешностей соответственно.

Пусть х* = 0.000345, х = 0.000486, ε = 0.001.

Тогда Δ(х) = 0.000141 < ε,

но ни одной значащей цифры в х не совпадает с точным результатом х*.

Но вот

x

0.000141 0.29 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.000486

Пусть х* = 3456.789, х = 3456.782, ε = 0.001. Тогда Δ(х)=0.007 > ε ,

а

0.007

 

 

x

 

 

0.000002 .

 

3456.782

 

Поставим вопрос о грубом оценивании погрешности результата при вычислении значения

u f x1 , x2 ,..., xn

дифференцируемой функции приближенных аргументов

x1 , x2 ,..., xn

если известны границы их абсолютных погрешностей

x1 , x2 ,..., xn

В этом случае точные значения аргументов лежат соответственно на отрезках

x1 x1 , x1 x1 , x2 x2 , x2 x2 ,..., xn xn , xn xn

точная абсолютная погрешность результата есть

u f x 1, x 2 ,...,x n f x1, x2 ,...,xn

-модуль полного приращения функции.

Главной, т.е. линейной частью этого приращения является, как известно, полный дифференциал du .

Таким образом, имеем

u du

u dxi

 

u

 

 

xi xi

 

u

 

xi ,

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

x

i 1

 

x

 

 

 

i 1

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

i

 

 

u

u

 

xi .

n

 

 

 

 

i 1

 

xi

 

 

Отсюда легко получается формула приближенной оценки относительной погрешности значения u:

u

u

 

u

 

xi

 

 

u

 

xi

 

ln u

 

xi .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

u

 

i 1

 

 

x

 

 

 

u

 

 

i 1

 

 

u x

 

 

i 1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

i

 

 

Как частные случаи последних двух формул можно получить правила оценивания погрешностей результатов арифметических действий

Абсолютная погрешность суммирования

Пусть

u x1

x2

... xn .

 

Тогда

u 1xi

и

 

x

 

n

1 x

 

n

x

 

 

 

 

i

 

i

 

i

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1