Конспекты. Blackboard / Тема 1. Вычислительный эксперимент и погрешности
.pdf§ 1 Вычислительный эксперимент
Вычислительный эксперимент представляет собой исследование естественно-научной проблемы средствами вычислительной математики и состоит из следующих этапов:
1.Научная проблема описывается на языке той науки,
которой принадлежит проблема. В ходе описания делаются какие-либо предположения, упрощения,
решается: учитывать или нет те или иные факторы,
влияющие на результат и выводы задачи
2. Производится подбор математической модели.
На этом этапе выполняются исследования методами классической математики.
3.Построение приближенного численного метода решения задачи, сформулированной и исследованной на предыдущем этапе.
4.Программирование вычислительного алгоритма
5.Проведение расчетов, вычислений, анализ результатов.
|
модель1 |
|
|
объект |
|
вычислительные |
|
исследова |
модель 2 |
||
|
|||
ния |
|
||
|
методы |
||
|
модель 3 |
|
|
|
контроль |
программирование |
|
|
анализ |
вычислительного |
|
|
алгоритма |
||
|
|
||
|
Вычислительный эксперимент - |
«колесо»
естественно-научной и научно-технической деятельности
§2 Погрешности
•Погрешности можно классифицировать следующим образом:
1.неустранимые погрешности;
2.погрешности метода;
3.вычислительные погрешности.
•При использовании компьютерных вычислений необходимо оценивать получающуюся погрешность.
•Если x* - точное значение некоторой величины,
•а х - вычисленное приближение к точному значению, то
•абсолютной погрешностью приближения х называется
Δ(х), лишь бы только
xx* (x).
•Относительной погрешностью называют величину δ(х),
если
x x * ( x). x
•Числа Δ(х) и δ(х) называют оценками или границами абсолютной и относительной погрешностей соответственно.
Пусть х* = 0.000345, х = 0.000486, ε = 0.001.
Тогда Δ(х) = 0.000141 < ε,
но ни одной значащей цифры в х не совпадает с точным результатом х*.
Но вот |
x |
0.000141 0.29 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.000486 |
Пусть х* = 3456.789, х = 3456.782, ε = 0.001. Тогда Δ(х)=0.007 > ε ,
а |
0.007 |
|
|
|
x |
|
|
0.000002 . |
|
|
3456.782 |
|
Поставим вопрос о грубом оценивании погрешности результата при вычислении значения
u f x1 , x2 ,..., xn
дифференцируемой функции приближенных аргументов
x1 , x2 ,..., xn
если известны границы их абсолютных погрешностей
x1 , x2 ,..., xn
В этом случае точные значения аргументов лежат соответственно на отрезках
x1 x1 , x1 x1 , x2 x2 , x2 x2 ,..., xn xn , xn xn
точная абсолютная погрешность результата есть
u f x 1, x 2 ,...,x n f x1, x2 ,...,xn
-модуль полного приращения функции.
Главной, т.е. линейной частью этого приращения является, как известно, полный дифференциал du .
Таким образом, имеем
u du |
u dxi |
|
u |
|
|
xi xi |
|
u |
|
xi , |
||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
x |
i 1 |
|
x |
|
|
|
i 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
u |
u |
|
xi . |
|
n |
|
|
|
|
i 1 |
|
xi |
|
|
Отсюда легко получается формула приближенной оценки относительной погрешности значения u:
u |
u |
|
u |
|
xi |
|
|
u |
|
xi |
|
ln u |
|
xi . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
u |
|
i 1 |
|
|
x |
|
|
|
u |
|
|
i 1 |
|
|
u x |
|
|
i 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
Как частные случаи последних двух формул можно получить правила оценивания погрешностей результатов арифметических действий
Абсолютная погрешность суммирования
Пусть |
u x1 |
x2 |
... xn . |
|
Тогда
u 1xi
и
|
x |
|
n |
1 x |
|
n |
x |
|
|
|
|
||||||||
|
i |
|
i |
|
i |
|
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|