
Математический анализ за 1 и 2 семестр / МатемАнализ3
.docГлава 3. Применения производной.
§1.Вычисление значений функций. Вычисление пределов.
Пример 1. Найти значение числа “”
с точностью, равной
.
Как запрограммирован для этой цели
калькулятор?
Решение. Можно попытаться использовать доказанную ранее двустороннюю оценку
.
К сожалению, длина интервала
и для достижения нужной точности
потребовалось бы взять слишком большое
значение
.
Формула Маклорена с остаточным членом
в форме Лагранжа дает
,
где
заключено между нулем и
.
Если взять
,
то получим
,
.
Так как
,
а
,
то можно взять
,
Поэтому
Пример 2. С помощью правила
Лопиталя-Бернулли вычислить
.
Решение. Мы имеем здесь возможность несколько раз применить правило Л-Б. Это дает
.
Пример 3. Вычислить тот же предел
с помощью формулы Маклорена.
Решение. Запишем формулу Маклорена
с остаточным членом в форме Пеано для
функций
и
:
.
Это дает сразу
.
Заметим, что здесь было достаточно воспользоваться формулой Маклорена-Тейлора пятого порядка.
§2.Возрастание, убывание и экстремумы функции.
Теорема 1. Для того, чтобы функция
была постоянной на интервале
необходимо и достаточно, чтобы было
на этом интервале.
Доказательство. Необходимость
условия уже известна. Пусть теперь
на интервале
и пусть
.
По теореме Лагранжа
,
где
.
Так как
,
то
.
Поэтому
на интервале
.
Теорема 2. (Признак возрастания и
убывания функции). Пусть
.
В таком случае, если
на интервале
,
то
строго возрастает на отрезке
.
Точно так же, если
на интервале
,
то
строго убывает на отрезке
.
Доказательство. Пусть известно, что
.
В таком случае по теореме Лагранжа о
конечном приращении,
,
то для некоторого значения
будет
.
Следовательно, если
,
то
,
т.е.
строго возрастает на отрезке
.
Пример 1. Доказать, что
.
Доказательство. Обозначим
.
Тогда будет
,
.
В таком случае
строго возрастает в первой четверти, а
так как
,
то
.
Но тогда и
строго возрастает в первой четверти,
следовательно
.
Таким образом,
.
Ч и т. д.
Примеры
и
показывают, что необходимое условие
экстремума не является достаточным.
Теорема 3. (Достаточное условие
экстремума). Пусть
в левой полуокрестности точки
,
в её правой полуокрестности и пусть
функция
непрерывна в самой этой точке. Тогда
− точка строгого максимума
.
Наоборот, если в точке непрерывности
функции
её производная
меняет знак
,
то
− точка строгого минимума функции
.
Доказательство. В первом случае
строго возрастает слева от точки
,
поэтому
в левой полуокрестности. А так как
строго убывает слева от точки
,
то
.
Поэтому
− точка строго максимума функции
.
Второй случай разбирается точно так
же.
Теорема 4. (Достаточное условие
экстремума, использующее старшие
производные). Пусть
.
Если
− четное, то
− точка максимума функции
.
Если же
− нечетное, то в точке
нет экстремума.
Доказательство.
.
По условию теоремы
когда
.
При значениях
,
близких к числу
,
знак величины
совпадает со знаком производной
.
Поэтому если
четное число, то разность
сохраняет свой знак в окрестности точки
и, следовательно,
имеет в этой точке экстремум. Именно,
если
,
то
− точка максимума
,
если же
,
то
− точка минимума
.
Пусть теперь
− число нечетное. В этом случае разность
меняет знак при прохождении
через точку
,
поэтому
не является точкой экстремума.
Частный случай. Пусть
− стационарная точка функции
(то есть
).
Тогда, если
,
− точка максимума
,
если же
,
− точка минимума
.
Для запоминания можно использовать так
называемое “правило воды”.
Пример 2. Исследовать на экстремум
функцию
в точке
.
Решение. Имеем:
;
;
;
.
Поэтому
− точка минимума рассматриваемой
функции.
Bbb
|
§3 Задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти все её критические точки (т.е. точки, где производная этой функции рана нулю или не существует), присоединить к ним концы промежутка, вычислить значения функции во всех отобранных точках и отобрать среди этих значений самое большое и самое маленькое.
Пример. Найти наибольший объём
конуса с заданной боковой поверхностью
.
Чему равен центральный угол его развёртки?
Решение. Обозначим
образующую конуса,
его высоту,
радиус основания и
объём, Тогда будет
,
и
.
Поэтому можно выразить объём
через радиус
непосредственно:
=
,
где
,
.
Для того, чтобы решить поставленную
задачу, достаточно найти наибольшее
значение функции
при условии, что
.
Так как
,
то стационарное значение функции
равно
.
Мы видим, что
.
Поэтому
,
а
.
Осталось вычислить центральный угол
сектора, представляющего собой развёртку
найденного конуса. Так как
,
то
.
§4. Направление выпуклости и точки перегиба функции.
Определение 1. Функция
называется выпуклой вниз на отрезке
,
если на этом отрезке любая дуга ее
графика лежит ниже хорды (мы будем
это записывать с помощью значка
),
Аналогично определяется выпуклость
вверх (
).
Для получения аналитического условия выпуклости нам понадобятся 2 леммы.
Лемма 1. Если существует
,
то
.
Доказательство. По формуле Тейлора
.
Складывая, получаем
и т. д.
Лемма 2. Если
и
− уравнение хорды графика этой функции
на участке
,
то найдется число
такое, что
.
Доказательство. Введем в рассмотрение
функцию
.
Легко при фиксированном значении
подобрать параметр
так, чтобы было
;
именно
.
Так как функция
обращается в нуль в точках
,
то применяя дважды теорему Ролля, видим,
что в при некотором
будет
.
Но
.
Поэтому
или
.
Подставляя
вместо
в выражение для
,
получаем
.
Теорема 1. Если
то
на отрезке
тогда и только тогда, когда
на отрезке
.
Доказательство. Если
,
то
,
.
Из леммы 1 следует, что
.
Наоборот, пусть
на интервале
.
Применим лемму 2 к отрезку
,
где
.
Тогда мы имеем
,
т. е.
.
Для запоминания можно использовать “правило воды”.
Добавление. Можно в определении
выпуклости заменить хорду графика
касательной. Легко доказать, что
функция
выпукла вниз на отрезке
тогда и только тогда, когда на этом
участке любая дуга графика лежит выше
касательной, проведенной к графику
в промежуточной точке.
Определение 2. Пусть производная
непрерывна
.
Точка
называется точкой перегиба функции
,
если в левой и правой полуокрестностях
имеет противоположное направление
выпуклости.
Теорема 2. (Необходимое условие перегиба в точке). В точке перегиба функции её вторая производная равна нулю или не существует.
Доказательство. По теореме 1 в точке
перегиба функции
ее производная
имеет экстремум. Поэтому там
рана нулю или не существует.
Это условие не является достаточным.
Контрпримером может служить, функция
.
Теорема 3. (Достаточное условие
перегиба, использующее только
).
Пусть производная
непрерывна в точке
и
сохраняет знак в полуокрестностях этой
точки. Если эти знаки противоположны
то
− точка перегиба, если одинаковые, то
− перегиба нет.
(Следует из определения точки перегиба и теоремы 1.)
Теорема 4. (Достаточное условие
перегиба, использующее старшие
производные). Пусть
,
.
В таком случае, если
− четное число, то
не является точкой перегиба функции
,
если же
нечетное, то
− точка перегиба.
Доказательство. Из условия следует,
что
.
Если здесь
четное, то знак
сохраняется в окрестности точки
и перегиба здесь нет. Если
нечетное, то знак
разный справа и слева от точки
и
− точка перегиба функции
.
§5.Асимптоты графика функции.
Определение. Прямая
называется асимптотой графика
функции
,
если при неограниченном удалении точки
от начала координат вдоль прямой
расстояние этой точки от графика функции
стремится к нулю.
График функции
имеет наклонную асимптоту
тогда и только тогда, когда существуют
конечные пределы
и
.Действительно,
пусть
− расстояние точки графика
от прямой
,
тогда
.
Поэтому
.
График
имеет горизонтальную асимптоту с
уравнением
,
если
.
График имеет вертикальную асимптоту
,
если
− точка бесконечного разрыва функции
.
§6. Схема полного исследования функции. Построение графика.
-
Область определения функции.
-
Симметрия графика, периодичность.
-
Точки разрыва функции.
-
Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства.
-
Асимптоты и подходы к ним.
-
Интервалы монотонности и точки экстремума функции.
-
Интервалы выпуклости и точки перегиба функции.
-
Нахождение дополнительных точек графика.
-
Построение графика функции.
Пример. Провести исследование
функции
и построить ее график
-
Область определения функции
-
Функция непериодическая, ни чётная, ни нечетная (функция общего вида).
-
− точка бесконечного разрыва функции.
-
− единственная точка пересечения с осями координат.
,
.
-
Вертикальная асимптота:
. Подходы к асимптоте:
. Наклонная асимптота:
.
,
. Подходы к асимптоте:
. Пересечения с асимптотой −
.