Доказательство.
Пусть х (a, b). Доопределим функции f(x) и g(x) в точке а, положив
f(а) = g(а) = 0. Тогда доопределенные таким образом функции непрерывны на отрезке [а, х] и для них выполнены условия теоремы
Коши, то есть |
|
f (x) |
|
|
f (x) f (a) |
|
f '( ) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
(a, x). |
|||||
|
|
|
|
g(x) g(a) |
g'( ) |
|||||
|
|
g(x) |
||||||||
a |
ξ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если х а + 0, то
lim |
|
f '( ) |
А. |
|
|
|
|
||
x а 0 g'( ) |
|
|||
Поэтому существует и |
|
f (х) |
|
|
lim |
|
А. |
||
|
|
|
||
x а 0 g(х) |
|
|||
g(x) дифференцируемы при х > а ,
f (x) 0, lim g(x) 0,
x
g'(x) 0 для всех х > а (где А – число или бесконечность)
lim |
f '(x) |
A. |
|
|
|
||
x g'(x) |
|
|
|
Тогда существует |
y |
|
|
|
|
f(x) |
|
lim f (х) |
A. |
g(x) |
x g(х) |
|
0 |
a |
x |
|
Доказательство.
Можно считать, что a > 0. Положим x = 1/t. Эта функция отображает интервал (а, +∞) на интервал (0, 1/а).
|
f (х) |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
lim |
|
lim |
f (t ) |
по |
теореме 1 |
lim |
f (t ) ( t |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|||||||||
|
1 |
|
|
||||||||
x g(х) |
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
g(t ) |
|
|
t 0 g (t ) ( t 2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
lim f '(x) .
x g'(x)
ЗАМЕЧАНИЕ 1.
Правило Лопиталя справедливо также в случае неопределенности
•при х → а – 0,
•при х → а,
•при х → – ∞,
•при х → ∞
0
0
Неопределенность вида
ТЕОРЕМА 3.
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на интервале (a, b),
lim f (x) , |
lim g(x) , |
x a 0 |
x a 0 |
g'(x) 0 для всех х (a, b) и существует (где А – число или бесконечность)
|
lim |
f '(x) |
A. |
y |
|
|
|
|
x а 0 g'(x) |
|
|
|
f(x) |
|
|
Тогда существует |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
f (х) |
|
|
|
|
|
g(x) |
lim |
A. |
|
|
|
|
|
|
x a 0 g(х) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
b |
x |
ЗАМЕЧАНИЕ 2.
Правило Лопиталя справедливо также в случае неопределенности
•при х → а – 0,
•при х → а,
•при х → – ∞,
•при х → + ∞,
•при х → ∞.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.
Чтобы применить правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0·∞ и ∞ – ∞, их следует привести к виду 0/0
или ∞/∞.
Неопределенности вида 00, ∞0, 1∞ можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующие функции.
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x arctgx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x arctgx |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
(1 x |
2 |
) |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
lim |
ln(x / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
ln(x |
/ 2) |
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
0 |
|
lim |
|
2cos x sin x |
0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
x / 2 |
|
|
|
0 |
x |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
x cos x |
|
|
|
|
0 |
|
lim sin x |
|
x cos x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
x |
ctgx |
|
|
lim |
|
|
x sin x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos x cos x x sin x |
lim |
sin x |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
2x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim xx |
00 |
|
|
|
|
lim x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
|
ex 0 |
|
|
|
e0 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim x ln x 0 |
|
lim |
ln x |
|
|
|
lim |
|
ln x |
|
|
|
|
lim |
|
|
1/ x |
|
lim x 0. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. Найдем |
lim |
x |
, 0, 0. |
|
|||
|
x e x |
|
|
Пусть k = [α]+1. Тогда α – k < 0. Применяя правило Лопиталя k раз, получаем
lim |
x |
|
|
|
lim x |
1 |
|
lim ( 1)...( k 1)x |
k |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
... |
0. |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x e |
|
|
|
|
|
|
x e x |
|
|
|
x |
k e x |
|
|||||||||||||||
6. Найдем |
|
lim |
ln x |
, |
0, 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||
Пусть lnx = t. Тогда |
lim |
lim |
|
0. |
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
t e t |
|
|
|
|
||||||||
7. Покажем, что |
|
lim |
x cos x |
|
|
|
|
не может быть найден по правилу Лопиталя. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
cos x |
|
|
|
|
1 |
cos x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Заметим, что |
|
lim |
lim |
|
x |
|
1, |
т.е. предел существует. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
cos x |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
Однако |
|
|
lim |
|
lim |
1 sin x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
cos x |
|
не существует, так как, взяв две ЧП |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
1 sin x |
|
||||||||||||||||||||
xn |
(1) n , |
xn(2) 2 n , |
n , получим |
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
sin( |
|
2 n) |
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
sin( n) |
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
1, |
lim |
2 |
|
0. |
|||||||
|
|
sin( n) |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
n 1 |
|
n |
1 |
sin( |
2 n) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
Спасибо за
внимание!
misis.r