8. Квазичастицы в полупроводниках. Понятие дырки

Как показано выше, в кристалле учёт поля решётки может быть осуществлён заменой уравнения Шредингера на уравнение (1). В случае зоны проводимости вблизи минимума энергия может быть разложена в ряд Тейлора. Первые два слагаемых этого разложения дают выражение

Тогда из (1) получаем

В случае валентной зоны мы имеем максимум и, как показали выше,

Тогда из (1) получаем

В этом случае, чтобы записать в привычном виде уравнение Шредингера, преобразуем это уравнение следующим образом

Как видно знак у U изменился. Поэтому удобно говорить о положительной массе и положительном заряде электрона. Такая квазичастица называется дыркой. Она имеет положительные массу и заряд. Её квазиимпульс p=ћk, а энергия . Причём энергия отсчитывается от потолка валентной зоны вниз по энергии.

Как мы уже говорили, валентная зона соответствует p-состоянию в атоме и трёхкратно вырождена. Это приводит к тому, что есть три зависимости) и, соответственно, три типа дырок: тяжелые – m_hh, легкие – m_lh и спин-отщеплённой зоны – m_soh. Минимумы зоны проводимости в Ge находятся на границах зоны Бриллюэна в направлениях [111] и всего имеется 8 эквивалентных минимумов. В Si – в направлениях [100] и их 6. В GaAs Г-минимум находится в центре зоны Бриллюэна. L-минимумы зоны проводимости находятся на границах зоны Бриллюэна в направлениях [100] и всего имеется 6 эквивалентных минимумов. X-минимумы – в направлениях [111] и их 8. Тогда для каждого из минимумов зоны проводимости выполняется соотношение ,M_c – число эквивалентных минимумов. Для центра зоны Бриллюэна 1=cM. Для направления [100] M_c=6*½=3. Для направления [111] M_c=8*1/8=1. Причём для каждого из минимумов зоны проводимости эффективные массы разные. Статистика дырок. Как говорилось выше, при T=0 K движение электронов в валентной зоне невозможно, так как зона полностью заполнена. Чтобы мог возникнуть ток, необходимо наличие свободных состояний, т. е. должны появиться дырки. Вероятность этого процесса равна

(21)

Концентрация для каждого типа дырок вычисляется аналогично концентрации электронов и равна

, (22)

где – плотность состояний в валентной зоне для данного типа дырок.

9. Концентрация электронов и дырок в собственном полупроводнике

Напомним, что полупроводник называется собственным, если в нем отсутствуют донорные и акцепторные примеси. В этом случае электроны появляются в зоне проводимости только за счет теплового заброса из валентной зоны, тогда n = p (рис. 1.5).

При отсутствии внешних воздействий (освещение, электрическое поле и т.д.) будем обозначать концентрации свободных электронов и дырок с индексом нуль, то естьn₀ и p₀ соответственно. При n₀ = p₀ из (1.14) получаем:

(1.15)

Напомним, что значком n_i принято обозначать концентрацию собственных носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне. Для расчета N_C и N_V используется формула (1.11). Как следует из соотношения (1.15), концентрация собственных носителей определяется в основном температурой и шириной запрещенной зоны полупроводника. На рисунке 1.6 представлена зависимость концентрации собственных носителей от температуры для наиболее распространенных полупроводников – кремния, германия, арсенида и фосфида галлия. Видно, что при изменении ширины запрещенной зоны в диапазоне от 0,6 эВ для германия до 2,8 эВ для фосфида галлия собственная концентрация n_i при комнатной температуре изменяется от значения 10¹³ см^-3 до 10¹ см^-3.

Рис. 1.6. Зависимость концентрации собственных носителей от температуры для наиболее распространенных полупроводников – кремния, германия, арсенида и фосфида галлия [2, 5]

Концентрация электронов и дырок в примесном полупроводнике

Уравнение (1.14) справедливо только для равновесных носителей заряда, то есть в отсутствие внешних воздействий. В наших обозначениях . (1.16)

Пусть полупроводник легирован донорами с концентрацией N_D. При комнатной температуре в большинстве полупроводников все доноры ионизованы, так как энергии активации доноров составляют всего несколько сотых электронвольта. Тогда для донорного полупроводника (рис. 1.7) . (1.17)

Концентрацию дырок в донорном полупроводнике найдем из (1.16):. (1.18)

На рисунке 1.7 приведена зонная диаграмма полупроводника n-типа, показывающая положение энергетических уровней донорной примеси E_D и схематическое соотношение концентраций основных n₀ и неосновных p₀ носителей.

Рис. 1.7. Зонная диаграмма полупроводникаn-типа

Соответственно если полупроводник легирован акцепторами с концентрацией N_A, то концентрации основныхp₀и неосновныхn₀носителей будути.(1.19)

На рисунке 1.8 приведена зонная диаграмма полупроводникаp-типа, показывающая положение энергетических уровней акцепторной примеси E_A и схематическое соотношение концентраций основных p₀ и неосновных n₀ носителей.

Рис. 1.8. Зонная диаграмма полупроводника p-типа