5. Обратная решётка. Зоны Бриллюэна

В идеальном кристалле определенные структурные единицы (ато­мы, группы атомов, молекулы, ионы) периодически повторяются в про­странстве. Положение каждой структурной единицы задается математи­ческой точкой, называемой узлом. Система периодически повторяю­щихся узлов образует пространственную решетку. При анализе пространственных решеток кристаллов используется фундаментальное понятие решетки Браве. Трехмерная решетка Браве является множеством точек, образованных концами век­торов вида: , где , , - три некомпланарных вектора; , , - все возможные целые числа. Любой из векторов называется вектором трансляции решетки, а векторы , , - основными векторами трансляции. Смещение решетки в направлении вектора на расстояние l при­водит к ее самосовмещению. Это основное свойство любой пространст­венной решетки называется трансляционной симметрией. Но кри­сталлы и их решетки могут обладать и другими элементами симметрии: осями симметрии, плоскостями симметрии, центром инверсии. В кри­сталлографии показывается, что всего существует 14 различных реше­ток Браве, каждая из которых определяется своим набором элементов симметрии. Пространственная решетка является математической абстракцией. В реальном кристалле около каждого узла расположена группа атомов, называемая базисом. Пространственная решетка вместе с базисом обра­зуют кристаллическую структуру. Разные кристаллы могут иметь одинаковые решетки. Так, кристаллы германия, кремния и арсенида галлия обладают гранецентрированной ку­бической решеткой Браве, в то время как германий и кремний имеют структуру алмаза, а арсенид галлия - структуру цинковой обманки. Параллелепипед, построенный на основных векторах трансляции, называется элементарной ячейкой решетки. Элементарная ячейка лю­бой решетки Браве является примитивной или простой, на нее приходится один узел решетки. Объем элементарной ячейки определяется смешанным произведением основных векторов трансляции: . Выбор основных векторов трансляции неоднозначен, поэтому не­однозначен и выбор элементарной ячейки, построенной на этих векто­рах. Однако существует элементарная ячейка, которая для заданной ре­шетки оказывается единственной – ячейка Вигнера -Зейтца. Элементарная ячейка Вигнера - Зейтца простая, и ее трансляцией можно построить весь кристалл. Объем ячейки Вигнера – Зейтца равен объему элементарной ячей­ки решетки Браве.

Найдем для основных векто­ров трансляции , , такие три вектора , , , которые обладают следующим свойством: скалярное произведение вектора на вектор (i, j = 1,2,3) равно Таким свойством обладают векторы: , , . Размерность векторов , , - обратная длина, т.е. эти векторы заданы в так называемом обратном пространстве.

Решетка, построенная на векторах , , – обратная решетка кристалла. Произвольный вектор трансляции обратной решетки имеет вид , где , , - целые числа. Для кубического кристалла = = = , и векторы , , взаимно перпендикулярны. Поэтому для кубического кристалла обрат­ная решетка является тоже кубической, причем . Для объемно-центрированной решетки обрат­ной является гранецентрированная, для гранецентрированной - объем­но-центрированная. Объемно-центрированную обратную решетку имеют кристаллы германия, кремния и арсенида галлия.

Обратное пространство и обратная решетка не являются отвлечен­ными абстрактными понятиями, они имеют вполне реальное физиче­ское содержание и играют фундаментальную роль при анализе волно­вых процессов в кристаллах. Дело в том, что волновые векторы любых волн, распространяющихся в кристаллах, задаются в обратном пространстве. При этом каждому вектору обратной решетки соответствует волна с периодом, равным некоторому вектору трансляции прямой решетки.

2. Зоны Бриллюэна. Вектор имеет смысл волнового вектора, но он отличается от волнового вектора свободного электрона тем, что в кристалле вектор определяется неоднозначно. Если взять два вектора и ’, отличающиеся друг от друга на величину вектора обратной решетки ’= + , то , т.е. векторы и + описывают одинаковые квантовые состояния электрона. Поэтому вектор правильнее называть квазиволновым вектором, а величину - квазиимпульсом. Поскольку векторы и + описывают одинаковые квантовые состояния, то и энергия в этих состояниях одна и та же: . Т.е. энергия э лектрона является периодической функцией в пространстве обратной решетки. В силу периодичности для определения спектра энергии электрона в кристалле, т.е. разрешенных значений энергии Е, нет необ­ходимости рассматривать все -пространство, достаточно ограничить­ся одним периодом функции , т.е. одной элементарной ячейкой об­ратной решетки. Разумно выбрать элементарную ячейку так, чтобы величины всех физически различных значений были минимальными. Лучше всего этому удовлетворяет ячейка Вигнера - Зейтца. Элементарная ячейка Вигнера - Зейтца обратной решетки, постро­енная около начала координат, называется 1-й зоной Бриллюэна. Для одномерной решетки с параметром а обратная решетка одно­мерна и строится на векторах (рис.2.3). Число физически различных значений к в 1-й зоне Бриллюэна, а также и число раз­решенных уровней энергии электрона в кристалле можно найти, разделив объем зоны Бриллюэна на объем, приходящийся на один вол­новой вектор , равный .

Для простой кубической решетки объем 1-й зоны Бриллюэна равен , где - объем элементарной ячейки прямой решетки. Число разрешенных уровней энергии, таким образом, равно . Если на элементарную ячейку приходится один атом, то - числу атомов в кристалле. В то же время число разре­шенных состояний с учетом спина в два раза больше - 2N.

Полученный вывод сделан для простой кубической решетки. Но он остается справедливым и для других решеток.