Вопрос 12. Диффузионный и дрейфовый токи.

Рассмотрим теперь неоднородный полупроводник, в котором концентрации электронов n(r) и дырок р(r) изменяются от точки к точке. По этой причине в неоднородном полупроводнике должен возникнуть диффузионный ток электронов и дырок, который будет определяться диффузией носителей заряда из областей, где их концентрация больше, в области с меньшей концентрацией.

Предположим, что в полупроводнике концентрация носителей заряда возрастает в направлении осих, как это изображено на рис. 8.2.

Проведем, через точку х плоскость, перпендикулярную оси х, и. рассмотрим движение носителей заряда в слоях 1 и 2 толщиной dx, расположенных справа и слева от этой плоскости. В .результате хаотического движения носители заряда уйдут из слоя 1, но поскольку каждый электрон может с равной вероятностью двигаться вправо и влево, половина их_г уйдет из слоя 1 в слой 2. Однако за это время в слой 1 придут носители заряда из слоя 2. Так как их количество в слое 2 больше, чем в 1, то обратный поток электронов будет больше прямого. Если n(x-dx/2) - средняя концентрация электронов в слое 1, а (x+dx/2) - в слое 2, то разность концентраций электронов в этих слоях будет равна: n(x-dx/2)-n(x+dx/2)=-dn/dx*dx (1)

Согласно (1) разность концентраций электронов пропорциональна градиенту их концентрации, поэтому и поток электронов I_n возникающий в результате их диффузии в направлении х, будет пропорционален градиенту концентрации электронов в этом направлении. Его можно записать

I_n=-D_ndn/dx (2), где D_n коэффициент диффузии электронов.

Аналогично диффузионный поток дырок I_n=-D_pdp/dx (3), где Dp, — коэффициент диффузии дырок.

Потоки электронов и дырок, как следует из уравнений (2) (3), текут в сторону меньших концентраций носителей заряда. Диффузионным потоком носителей заряда соответствуют диффузионные токи электронов J_nдиф и дырок J_pдиф: J_nдиф=eD_ndn/dx (5) J_pдиф=-eD_pdp/dx (6)

В том случае, если п и р являются функциями координат (х, у, z) диффузионный ток в векторной форме имеет вид для электронов J_nдиф=eD_ngradn(r) (5) J_pдиф=-eD_pgradp(r) (6)

Диффузионный ток, возникший из-за наличия градиента концентрации носителей заряда, приведет к пространственному разделению зарядов, что вызовет появление статического электрического поля, которое создаст дрейфовые токи электронов и дырок. При термодинамическом равновесии в каждой точке полупроводника дрейфовый ток будет уравновешивать диффузионный ток, поэтому суммарный ток будет равен нулю.

Допустим, что неоднородный полупроводник находится во внешнем постоянном электрическом поле напряженностью ε. Под действием этого поля электроны и дырки приобретут направленное движение, в результате чего появятся электронные и дырочные токи проводимости. Если внешнее электрическое поле слабое и не изменяет характера движения носителей заряда, то дрейфовые составляющие плотности тока запишутся на основании закона Ома в виде J_nдр=enμ_nε (7) J_pдр=enμ_pε (8)

Полный ток будет складываться из диффузионного и дрейфового токов. Для электронов и дырок он будет равен:J_n=J_nдр+J_pдиф=J_nдр=enμ_nε+eD_ndn/dx J_p=J_pдр+J_pдиф=J_pдр=epμ_pε-eD_pdp/dx

Таким образом, плотность общего тока в любой точке не однородного полупроводника в любой момент времени будет определяться уравнением J= J_n+J_p= e(nμ_n+pμ_p)ε+e(D_ndn/dx-D_pdp/dx)

Необходимо отметить, что диффузионный ток существен только в полупроводниках. Это происходит потому, что в полупроводниках концентрации электронов и дырок могут изменяться в широких пределах при постоянной суммарной концентрации зарядов. В металлах концентрации электронов практически постоянна.

СООТНОШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА В неоднородном полупроводнике при термодинамическом равновесии ток равен нулю, т.е. J=J_n+J_p=0. В этом случае токи проводимости уравновешивают диффузионные токи и на основании (9) для электронов можно записать: nμ_nε_ст=-D_ndn/dx (12)

Поскольку в полупроводнике имеется статическое электрическое поле ε_ст, то электроны, находящиеся в этом поле, будут обладать потенциальной энергией U=-eφ. Поэтому при отсутствии вырождения концентрация электронов в зоне проводимости будет удовлетворять соотношению Больцмана вида

n=N_ce^-(Ec+U-F)/kT=n₀^eφ/kT (13) где n₀= N_ce^-(Ec-F)/kT - равновесная концентрация электронов; φ - электростатический потенциал. Учитывая, что ε_ст=-dφ/dx и подставляя значения n и dn/dx в уравнение (12), получаем:

-μ_nn₀e^eφ/kTdφ/dx=-D_ne^eφ/kTdφ/dx (14) откуда для электронов: μ_n/D_n=e/kT (15)

Аналогично для дырок Μ_p/D_p=e/kT (16) Уравнение, связывающее коэффициент диффузии носителей заряда, подчиняющихся статистике Максвелла, с их дрейфовой подвижностью в условиях термодинамического равновесия носит название соотношения Эйнштейна.

Как показал эксперимент соотношение Эйнштейна применимо и к неравновесным зарядам. Это вполне закономерно, так как рановесные носители заряда за малое время, намного меньше их времени жизни, обмениваясь энергией с решеткой, приходит в тепловое равновесие с решеткой, и их распределение по энергиям при отсутствии вырождения не отличается от распределения равновесных носителей заряда.