Глава 6

Теплоотдача тел, омываемых внешним вынужденным потоком жидкости

Математическое описание процесса теплоотдачи тел при вынужденной конвекции включает систему дифференциальных уравнений.

§ 6.1. Дифференциальные уравнения конвективного тепломассообмена

Уравнение движения:

или

- уравнение Нaвье-Стокса.

В этом уравнении проекция на x (аналогично на y и z) представляет собой проекцию полного дифференциала величины:

.

Уравнение неразрывности потока:

и или .

Уравнение массообмена:

.

Уравнение теплоотдачи представляет собой уравнение Фурье для конвективного теплообмена:

,

где при q = (t_c  t_ж) и q = grad t,

.

Уравнение состояния:

,

где p_i - парциальные давления в смеси газов.

Поскольку общего аналитического решения этой системы уравнений получить невозможно, то обращаются к методу подобия, используя следующие методы и соображения:

1) рассмотрим стационарный случай конвективной теплоотдачи при вынужденной конвекции;

2) рассмотрим моносреду (жидкость) как сплошную среду, обладающую вязкостью;

3) найдем систему определяющих параметров и перейдем к безразмерным величинам методом анализа размерностей.

Подставив t = f₃ в , получим уравнение, связывающее n определяющих параметров:

,

где ; l_F - уравнение поверхности.

Используя , применим метод анализа размерностей:

- безразмерные;

градус;

;

.

Переписав рассматриваемое уравнение, получим

;

;

;

;

- число Пекле;

- число Прандтля.

По -теореме n = (6 + m) - размерные величины, k = 3, тогда

(n  k) = 6 + m  3 = 3 + m.

Здесь k - количество групп величин, имеющих независимые размерности.

.

Таким образом, получены безразмерные критерии, имеющие следующий физический смысл:

1) - числа геометрического подобия;

2) - мера отношения сил инерции к силам вязкости, число кинематического подобия при вынужденной конвекции;

3) - число теплового подобия - мера отношения переноса тепла конвекцией к переносу тепла теплопроводностью;

4) - число Прандтля - мера отношения молекулярного переноса импульса к переносу тепла;

5) - число Нуссельта - градиент безразмерной температуры жидкости на поверхности тела.

Эксперимент дает значение функции F: , где ламинарный и турбулентный режимы отличаются константой С, степенями n, m, p_i, т.е. расчетные формулы для этих режимов различны.

Расчет коэффициента теплоотдачи  начинается с определения Re, сравнения его с Re_кр, таким образом, определяется режим (ламинарный, турбулентный). Далее выбирают соответствующие формулы (из справочного пособия) и ведут расчет правой части формулы, определяют число Nu и переходят к :

.

Число Прандтля для различных веществ

Для различных веществ , т.е. Pr зависит от давления, температуры и среды.

Для газов , т.е. зависит от состава молекулы:

- oдноатомный - Pr  0,7;

- двухатомный - Pr  0,8;

- трехатомный - Pr  0,9;

- четырехатомный - Pr  1,0.

Если в справочной литературе не приведены значения Pr, то его можно рассчитать по формуле

.

Д

Рис.6.1.

ля жидких веществ числа Прандтля имеют порядок: для масел Pr = 10² - 10³, для жидких металлов Pr = 10^-2 << 1.

Вещества с не встречаются, вода имеет сложную зависимость Pr от температуры насыщения (рис.6.1).

§ 6.2. Пограничный слой

Как указывалось в § 5.2, пограничные слои подразделяются на три типа:

- гидродинамический;

- тепловой;

-

Рис.6.2.

диффузионный (рис.6.2).

Тепловой пограничный слой - это такой слой вблизи поверхности, в котором происходит полное или почти полное изменение температуры от t_c до температуры в потоке t_ж.

Его толщина , т.е. зависит от числа Pr и толщины гидродинамического пограничного слоя. Возможны несколько случаев, когда толщина теплового слоя k отличается от толщины гидродинамического пограничного слоя :

1 случай: Pr  1,   k,

;

2 случай: Pr  1,   4k,

.

В

Рис.6.3.

случае же, когда Pr = 1, k =  - т.е. толщины двух слоев одинаковы. Это показано на диаграмме рис.6.3.

Таким образом, сначала можно рассчитать толщину гидродинамического пограничного слоя, используя формулы § 5.2. Затем, применяя изложенные выше зависимости, найти значения толщины теплового слоя, т.е. представить распределение температуры вблизи поверхности.

Введем точное определение теплового пограничного слоя. Тепловым пограничным слоем называют такую область потока жидкости, которая обладает следующими свойствами:

1) область непосредственно прилегает к поверхности нагрева;

2) в ней имеет место полное или почти полное изменение температуры от t_c до t_ж;

3) толщина этой области мала по сравнению с расстоянием от входной кромки поверхности нагрева (k << x);

4) внутри этого слоя интенсивность переноса тепла посредством теплопроводности (молекулярным путем) и конвекцией (молярным путем) имеет одинаковый порядок.

Контрольные вопросы

1. Что общего и каковы различия между ламинарным и турбулентным гидродинамическими и тепловыми пограничными слоями?

2. Какова связь теплового, гидродинамического и диффузионного пограничных слоев, методы управления их толщиной? Каким образом можно управлять их толщиной, изменять толщину?

3. Как получить зависимость толщины гидродинамического пограничного слоя от числа Re, используя методы теории подобия и эксперимент?

Задача 6.1.1. Тонкая пластина l = 500 мм обтекается продольным потоком среды. Температура потока t_ж = 20 С.

Вычислить предельную толщину пограничного слоя _п max, и _погр при x = 0,1l; 0,2l; 0,5l; l. Построить графики (x) и _x = f(x). Расчет провести для двух случаев сред: а) воздух, W₀ = 10 м/с; б) вода, W₀ = 2 м/с. Принять температуру среды для случая а) t_c = 1000 C и для случая б) t_c = 300 C.

Ответ: толщина пограничного слоя находится в пределах нескольких миллиметров, _вода  4000  7000 Вт/м²С, _воздух   10  30 Вт/м²С.

Указания к решению: определить, где наступает переход от ламинарного к турбулентному режиму: Re_кр = 510⁵.

, отсюда .

Согласно справочнику: _{(воздух, t = 20 C)} = 15,610^–6 м²/c; _{(воды, t = 20 C)} = = 1,0110^–6 м²/c; x_воздух = 0,78 - ламинарный режим; x_вода = 0,25 - режим ламинарный и турбулентный в пределах пластины.

Строится зависимость (x):

, .

Подстановка значений скорости и вязкости, дает:

для воздуха: _л = 5,810^–3 ;

для воды: _л = 3,310^–3 , _т = 210^–2 .

	0,1l	0,2l	0,5l	l
(x)воздух, м (x)вода, м	1,310–3 0,7410–3	1,8310–3 1,0410–3	2,910–3 1,65/6,610–3	4,110–3 1110–3

Строится зависимость _x.

Ламинарный режим:

;

; .

	0,1l	0,2l	0,5l	l
Reвоздух Reвода	3,2104 1105	6,4104 2103	1,6105 5105	3,2105 1106

Из таблиц: Pr_{(t = 20 C, воздух)} = 0,703; Pr_{(t = 20 C, вода)} = 7,02; Pr_{(t = 1000 C, воздух)} = 0,714; Pr_{(t = 300 C, вода)} = 0,97; _воздух = 2,5910^–2; _вода = 59,910^–2.

Тогда

; .

Турбулентный режим:

;

.

	0,1l	0,2l	0,5l	l
x воздух, Вт/м2С x вода, Вт/м2С	26,8 3931	18,9 2772	12 1753/7247	8,48 6309