Глава 3 Простейшие нестационарные процессы теплопроводности § 3.1. Нестационарный процесс теплопроводности в тонкой пластине и длинном цилиндре для граничных условий 3-го рода

Задача. Определить нестационарное поле температуры в тонкой пластине, которая имела температуруt₀, а затем в начальный момент времени₀была помещена в жидкость сt_ж >t₀(рис.3.1).

Задано: , a, , , t_ж, t₀ = const; q_v = 0.

Найти: t = t(x, , , , a, , t_ж, t₀).

Рис.3.1.

[м²/с].

Исходное уравнение преобразуется:

;

;

,.

Временные условия:,.

Граничные условия:.

Условие симметрии:.

Введем V = t_ж-t, тогда уравнение с граничными и временными условиями примет вид

;

.

Решаем методом разделения переменных:

,

в результате уравнение примет вид

или.

Решая получившиеся два уравнения: ии используя условие, условие симметрии и граничное условие 3-го рода, получаем решение в виде

,

где n_kнаходим из уравнения, вытекающего из граничного условия, аС₅- из временного условия.

Таким образом, данная задача имеет множество решений, так как получаемое решение есть частное решение (рис.3.2) трансцедентного уравнения . Общее же решение можно представить суммой всех частных решений:, что в конечном счете дает

Рис.3.2.

или в безразмерной форме, где;;(число Фурье).

Рис.3.3.

В справочной литературе по теплообмену представлены в виде графических номограмм₀и₁семейства кривых, по которым можно вести расчеты (рис.3.3). Они основаны на расчетном уравнении нестационарной теплопроводности, которое связывает четыре безразмерных величины вместо восьми размерных:

,.

Во многих практических расчетах необходимо определить:

1) либо температуру на поверхности пластины

;

2) либо температуру в центре пластины

.

Пользуясь графиком ₀и₁, можно выполнить расчеты трех типов.

1. Заданы: продолжительность нагревания (охлаждения) пластины, т.е. число Fо, и интенсивность теплоотдачи на ее поверхности, т.е. число Bi.

Определить: температуру на поверхности и в центре₀и₁.

2. Заданы: температуры₁или₀и число Bi.

Определить: продолжительность нагрева (охлаждения) до этих температур, т.е. число Fо.

3. Заданы: продолжительность нагрева (охлаждения, т.е. число Fо) до температуры и₁(или₀).

Определить: потребную интенсивность теплоотдачи на поверхности пластины, т.е. число Bi.

Для бесконечно длинного цилиндра место хзанимаетr:, - то же, что и в плоской пластине. В справочной литературе имеются аналогичные расчетные номограммы₁и₀, конечно, численно отличные от тонкой пластины.

Контрольные вопросы

1. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности тонкого плоского подложкодержателя в различные моменты времени при его внесении в зону реактора с протоком горячего газа?

2. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности длинного цилиндрического подложкодержателя в различные моменты времени при его охлаждении на воздухе после его извлечения его из реактора?

3. Объяснить физический смысл чисел Био и Фурье. Что дает их использование в нестационарной теплопроводности?

Задача 3.1.1.Лист резины толщиной 20 мм после обработки в автоклаве при температуреt₀= 140С вынут на воздух. Температура воздухаt_ж= 15C.

Определить температуру в середине и на поверхности пластины через время ₁= 20 мин после начала охлаждения. Коэффициент теплоотдачи= 65 Вт/м²C.

Ответ:;.

Указания к решению:из справочника выбрать теплопроводность резины= 0,175 Вт/мC и коэффициент температуропроводностиa= 0,83310^–7м²/с, рассчитать числа Bi, Fo и, по графикам для бесконечно длинной пластины:­_x = 0=f₁(Bi, Fo) и_x = 1=f₂(Bi, Fo), найти безразмерные температуры, от которых перейти к истинным температурамt­_x = 0иt­_x = .

Задача 3.1.2.Стальной вал диаметромd= 120 мм помещен в закалочную печь с температуройt_ж= 820С. Определить время, необходимое для его нагрева. Нагрев считать законченным при температуреt= 800C.

Определить температуру на поверхности вала в конце нагрева.

Ответ: = 51 мм;t_r = r0= 804C.

Указания к решению:коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали, взятые из справочника, равны= 21 Вт/мC,a= 6,110^–6м²/с. Аналогично задаче 3.1.1, но по графику для бесконечно длинного цилиндра­_r = 0=f₁(Bi, Fo), исходя из безразмерной температуры и числа Bi, найти число. Принять начальную температуруt₀= 20С, аr₀= 0,5d. Из безразмерного числа Фурье найти время, после чего, используя другой график_r = r0=f₂(Bi, Fo), рассчитать температуру на поверхности.