Глава 3 Простейшие нестационарные процессы теплопроводности § 3.1. Нестационарный процесс теплопроводности в тонкой пластине и длинном цилиндре для граничных условий 3-го рода

Задача. Определить нестационарное поле температуры в тонкой пластине, которая имела температуру t₀, а затем в начальный момент времени ₀ была помещена в жидкость с t_ж > t₀ (рис.3.1).

Задано: , a, , , t_ж, t₀ = const; q_v = 0.

Найти: t = t(x, , , , a, , t_ж, t₀).

Рис.3.1.

[м²/с].

Исходное уравнение преобразуется:

;

;

, .

Временные условия: , .

Граничные условия: .

Условие симметрии: .

Введем V = t_ж - t, тогда уравнение с граничными и временными условиями примет вид

;

.

Решаем методом разделения переменных:

,

в результате уравнение примет вид

или .

Решая получившиеся два уравнения: и и используя условие , условие симметрии и граничное условие 3-го рода, получаем решение в виде

,

где n_k находим из уравнения , вытекающего из граничного условия, а С₅ - из временного условия.

Таким образом, данная задача имеет множество решений, так как получаемое решение есть частное решение (рис.3.2) трансцедентного уравнения . Общее же решение можно представить суммой всех частных решений: , что в конечном счете дает

Рис.3.2.

или в безразмерной форме , где ; ; (число Фурье).

Рис.3.3.

В справочной литературе по теплообмену представлены в виде графических номограмм ₀ и ₁ семейства кривых, по которым можно вести расчеты (рис.3.3). Они основаны на расчетном уравнении нестационарной теплопроводности, которое связывает четыре безразмерных величины вместо восьми размерных:

, .

Во многих практических расчетах необходимо определить:

1) либо температуру на поверхности пластины

;

2) либо температуру в центре пластины

.

Пользуясь графиком ₀ и ₁, можно выполнить расчеты трех типов.

1. Заданы: продолжительность нагревания (охлаждения) пластины, т.е. число Fо, и интенсивность теплоотдачи на ее поверхности, т.е. число Bi.

Определить: температуру на поверхности и в центре ₀ и ₁.

2. Заданы: температуры ₁ или ₀ и число Bi.

Определить: продолжительность нагрева (охлаждения) до этих температур, т.е. число Fо.

3. Заданы: продолжительность нагрева (охлаждения, т.е. число Fо) до температуры и ₁ (или ₀).

Определить: потребную интенсивность теплоотдачи на поверхности пластины, т.е. число Bi.

Для бесконечно длинного цилиндра место х занимает r: ,  - то же, что и в плоской пластине. В справочной литературе имеются аналогичные расчетные номограммы ₁ и ₀, конечно, численно отличные от тонкой пластины.

Контрольные вопросы

1. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности тонкого плоского подложкодержателя в различные моменты времени при его внесении в зону реактора с протоком горячего газа?

2. Как рассчитать температуру в центре и на поверхности длинного цилиндрического подложкодержателя в различные моменты времени при его охлаждении на воздухе после его извлечения его из реактора?

3. Объяснить физический смысл чисел Био и Фурье. Что дает их использование в нестационарной теплопроводности?

Задача 3.1.1. Лист резины толщиной 20 мм после обработки в автоклаве при температуре t₀ = 140 С вынут на воздух. Температура воздуха t_ж = 15 C.

Определить температуру в середине и на поверхности пластины через время ₁ = 20 мин после начала охлаждения. Коэффициент теплоотдачи  = 65 Вт/м²C.

Ответ: ; .

Указания к решению: из справочника выбрать теплопроводность резины  = 0,175 Вт/мC и коэффициент температуропроводности a = 0,833  10^–7 м²/с, рассчитать числа Bi, Fo и, по графикам для бесконечно длинной пластины: ­_x = 0 = f₁(Bi, Fo) и _x = 1 = f₂(Bi, Fo), найти безразмерные температуры, от которых перейти к истинным температурам t­_x = 0 и t­_x = .

Задача 3.1.2. Стальной вал диаметром d = 120 мм помещен в закалочную печь с температурой t_ж = 820 С. Определить время, необходимое для его нагрева. Нагрев считать законченным при температуре t = 800 C.

Определить температуру на поверхности вала в конце нагрева.

Ответ:  = 51 мм; t_r = r0 = 804 C.

Указания к решению: коэффициенты теплопроводности и температуропроводности стали, взятые из справочника, равны  = 21 Вт/мC, a = 6,1  10^–6 м²/с. Аналогично задаче 3.1.1, но по графику для бесконечно длинного цилиндра ­_r = 0 = f₁(Bi, Fo), исходя из безразмерной температуры и числа Bi, найти число . Принять начальную температуру t₀ = 20 С, а r₀ = 0,5d. Из безразмерного числа Фурье найти время , после чего, используя другой график _r = r0 = f₂(Bi, Fo), рассчитать температуру на поверхности.