Глава 4

Основы теории размерностей и подобия. Моделирование явлений переноса

Явления природы не зависят от выбора системы единиц измерения и размеров единиц. Такими же свойствами обладают и уравнения математической физики, если они верно выражают свойства явлений.

Это основное положение, используемое при приведении зависимостей к безразмерному виду, и основная аксиома теории подобия.

§ 4.1. Понятие о физическом подобии

Два физических процесса называют подобными, если:

1) два процесса имеют качественно одинаковые условия однозначности;

2) сходственные величины обоих процессов связаны друг с другом преобразованием подобия;

3) математические описания обоих процессов также связаны преобразованием подобия.

Качественно одинаковыми называются процессы, имеющие одинаковую физическую природу и одинаковые математические описания. Эти описания совпадают друг с другом во всем, кроме численных значений физических величин, входящих в условия однозначности.

Преобразованием подобия называют линейное соотношение, которое связывает сходственные величины

j₁ = C_j j₂.

Величины j₁ и j₂ называют сходственными, если они имеют:

а) одинаковый физический смысл;

б) характеризуют процессы 1 и 2 в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени.

В одинаковой системе отсчета сходственные точки пространства имеют пропорциональные друг другу координаты

x ₁ = С_l x₂

y₁ = С_l y₂ , l₁ = C_ll₂.

z₁ = C_l z₂

Сходственные моменты времени имеют одинаковое начало отсчета, они пропорциональны друг другу: ₁ = С_₂.

Коэффициент с называют константой подобия. По определению константы обладают следующими свойствами:

а) они безразмерны;

б) конечны и положительны;

в) не зависят ни от координат, ни от времени, ни от направления;

г) одинаковы для однородных величин и, вообще говоря, различны для величин неоднородных.

Пример физического подобия: нестационарная теплопроводность (гл.3), два процесса в двух тонких пластинах:

f(x₁, ₁, V₁, t₁, ₁, ₁, a₁, ₁) = 0;

f(x₂, ₂, V₂, t₂, ₂, ₂, a₂, ₂) = 0;

x₁ = c_l x₂; V₁ = C_tV₂;

₁ = c_l ₂; t₁ = C_t t₂ и т.д.

§ 4.2. Теоремы подобия Прямая теорема подобия

Если физические процессы подобны, то их одноименные критерии подобия имеют одинаковую величину: ₁ = idem, _i . . ., _п-к = idem.

Эта теорема устанавливает признаки сходства подобных явлений.

Обратная теорема подобия

Для того, чтобы физические процессы были подобны друг другу, достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, а их одноименные определяющие критерии подобия имели одинаковую величину. Эта теорема устанавливает достаточные условия для подобия явлений и является базой для физического моделирования.

-теорема

Если уравнение f(а₁а₂...а_п) = 0 содержит n размерных величин с независимыми друг от друга единицами измерения, то это уравнение приводится к безразмерному виду F(₁₂..._п-к) = 0, которое содержит n-к безразмерных величин . Данная теорема является базовой для приведения размерных зависимостей к обобщающему безразмерному виду и позволяет проверить правильность такого преобразования.

Пример использования -теоремы. Нестационарная температура в тонкой пластине, описываемая зависимостью из восьми размерных величин (n = 8):

f(x, , V, t, , , a, ) = 0.

Здесь количество групп размерных величин с независимыми размерностями равно четырем (k = 4). Тогда уравнение приводится к виду:

F(, X, Fо, Bi) = 0,

где число безразмерных величин равно четырем (n – k) = 4.

Пример тепловой модели (использования обратной теоремы).

Нагретый стальной шар погружают в закалочную масляную ванну. Необходимо промоделировать поле температуры при нестационарной теплопроводности в этом шаре на модели, выполненной из бетона и охлаждаемой воздухом.

Образец (сталь)	Модель (бетон)
1 = 4,0 c1 = 0,1 1 = 7900 d01 = 200 мм 1 = 500 tж1 = 200 0C t01 = 600 0C	2 = 1,1 c2 = 0,27 2 = 2300 d02 = 276 мм 2 = 10 tж2 = 10 0С t02 = 100 0C

Так как процесс нестационарной теплопроводности, то безразмерные критерии связаны соотношением

;

.

Используем обратную теорему подобия: Bi₁ = Bi₂,

;

, т.е. С_l = 0,725.

Тогда из Fo₁ = Fo₂

, так как ;

, t₁ = 5t₂ + 100.

И змеряем на модели r₂ t₂ t₁ при соответствующем значении r₁.

Контрольные вопросы

1. Объяснить различия между прямой и обратной основными теоремами теории подобия.

2. Привести примеры констант подобия из тепловой модели закаливаемого в масляной ванне шара.

3. Как используется -теорема при приведении уравнения к безразмерному виду?

Задача 4.1.1. Рассчитать распределение температуры в длинном стальном валу диаметром 400 мм через время  = 2,5 ч после загрузки его в печь. Заданы коэффициенты a = 1,18  10^–5 м²/с и  = 116 Вт/м²·С. Провести измерение температуры на валу не представляется возможным. Исследование решено проводить в меньшей печи на физической модели вала при более низких температурах.

Определить диаметр модели d­_м  и время _м , через которое необходимо производить измерение, соответствующее времени . Выбрать материал модели и рассчитать коэффициент для перерасчета измерений температуры в реальную температуру на валу.

Ответ: d_­м = 118 мм, _м = 0,42 ч, t = 5t_м .

Указания к решению: взять из справочника ­_стали = 42 Вт/м·С. Основное условие при моделировании - физическое подобие процесса, т.е. для оригинала и модели определяющие критерии должны быть равны. В данном случае - нестационарном процессе теплопроводности - такими критериями будут числа Bi и Fo:

; .

Выбрать материал модели с меньшим ­_м = 16 Вт/м·С (легированная сталь), a_м = 1,18  10^–5 м²/с, задать условия теплообмена в меньшей печи _м = 150 Вт/м²·С. Из условия Bi = Bi_м определить размеры модели, а из условия Fo = Fo_м - время измерения на модели. Коэффициент для пересчета температуры на модели в реальную температуру на валу получается из условия  = _м .

Задача 4.1.2. Шары из легированной стали, диаметром d = 100 мм, нагретые до температуры t₀ = 600 C, погружают в закалочную масляную ванну с температурой t_ж = 200 C. Смоделировать этот процесс на увеличенной модели, охлаждаемой воздухом t_жм = 20 C, для определения времени , необходимого для закалки шаров.

Определить материал и диаметр модели, если конечная температура на поверхности шара t_к = 300 C.

Ответ: d_м = 40 мм.

Указания к решению: найти коэффициенты  = 16 Вт/м·С, a = 0,53  10^–5 м²/с,  = 100 Вт/м²·С. Выбрать материал модели и определить условия ее охлаждения _м = 1,28 Вт/м·С (бетон), С_м = 0,31 кДж/кгС, _м = 10 Вт/м²·С. Решение проводится аналогично решению задачи 4.1.1.