ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Орлова И.В. Экономико-мататематические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. 2000

2.5. ПРИМЕНЕНИЕ ПОИСКА РЕШЕНИЙ ДЛЯ ЗАДА ЧИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЕЙ ЦЕННЫХ БУМАГ

Портфель - это совокупность различных инвестиционных инстру­ ментов, которые собраны воедино для достижения конкретной инвести­ ционной цели вкладчика. В портфель могут входить бумаги только од­ ного типа, например акции или облигации, или различные инвестицион­ ные ценности, такие как акции, облигации, депозитные и сберегательные сертификаты, недвижимость и т.д.

Главная цель в формировании портфеля состоит в достижении оп­ тимального сочетания между риском и доходом для инвестора, т.е. соот­ ветствующий набор инвестиционных инструментов призван снизить до минимума риск его потерь и одновременно максимизировать его доход.

Основы теории выбора портфеля впервые были разработаны Нобе­ левским лауреатом Гарри Марковичем в статье «Выбор портфеля», опубликованной в 1952 г. В этой статье впервые была предложена мате­ матическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и были приведены методы построения таких портфелей при определен­ ных условиях. С вычислительной точки зрения получающаяся оптими­ зационная задача относится к классу задач квадратическои оптимизации при линейных ограничениях. К настоящему времени вместе с задачами линейного программирования это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое число дос­ таточно эффективных алгоритмов.

Уменьшение риска достигается за счет диверсификации портфеля. Диверсификация уменьшает риск за счет того, что возможные невысо­ кие доходы по одной бумаге будут компенсироваться высокой прибы­ лью по другим бумагам. Минимизация риска достигается за счет вклю­ чения в портфель бумаг широкого круга отраслей, не связанных тесно между собой, чтобы избежать синхронности циклических колебаний их деловой активности. Современные исследования западных ученых пока­ зали, что большая часть риска портфеля устраняется, если в него входят ог 8 до 20 различных бумаг. Дальнейшее увеличение их количества уже незначительно уменьшает риск. Говоря о риске, следует подчеркнуть, что портфель может уменьшить только диверсифицируемый или специ-

72

фический риск, т.е. конкретный риск для каждого предприятия, не зави­ сящий от общего состояния экономики. Рыночный риск, обусловленный хозяйственной конъюнктурой страны, не поддается диверсификации.

Недиверсифицируемый (систематический, рыночный) риск возника­ ет из внешних событий, влияющих на рынок в целом: это война, инфля­ ция, экономический спад, высокая ставка процента и др. На систематиче­ ский риск приходится от 25 до 50% общего риска по любой инвестиции, и поскольку в такой ситуации затрагиваются все компании, совершенно очевидно, что систематический риск нельзя устранить диверсификацией.

Для получения количественных характеристик портфеля могут ис­ пользоваться следующие характеристики:

1. тр - доходность (эффективность) портфеля ценных бумаг. Дан­ ный параметр рассчитывается как взвешенная средняя из ожидаемых доходов по каждому из компонентов:

где х, - доли инвестиций, помещенных в каждый из видов активов (эти доли называют портфельными весами) Хт = (JC;, х2, ..., х„);

т, - ожидаемая ставка дохода по каждому виду активов.

2. <зр - стандартное отклонение ставок дохода по портфелю (риск портфеля). Стандартное отклонение дохода представляет собой квад­ ратный корень из дисперсии портфельного дохода (дисперсию доходно­ сти портфеля называют его вариацией Vp), которая определяется по формуле:

где COV- ковариационная матрица порядка п.

Ковариация - это мера того, какова зависимость между случайными величинами (в данном случае это доход по ценным бумагам), как эти величины '"соизменяются". Ковариация может быть выражена как про­ изведение коэффициента корреляции г„ и двух стандартных отклонений:

73

COVv =ay =ry -a,-aj,

где а, - стандартное отклонение дохода по i-му активу,

rtl - коэффициент корреляции доходов между ;'-м иу'-м активом.

При расчете данного параметра учитывается факт, что доходы обычно взаимно компенсируют друг друга. Эта компенсация проявляет­ ся в наличии положительной либо отрицательной корреляции между доходами по двум конкретным видам активов.

Заметим, что с увеличением числа бумаг в портфеле возрастает роль слагаемых, содержащих ковариации. Для двух бумаг число слагае­ мых с ковариациями и дисперсиями равно (по два слагаемых). Но в портфеле, содержащем много бумаг, число ковариации намного больше числа дисперсий. Таким образом, изменчивость диверсифицированного портфеля почти полностью отражают ковариации.

При наличии совершенной отрицательной корреляции, когда при уменьшении дохода по одной акции на один пункт происходит увеличе­ ние на один пункт по другой, инвестор получает возможность умень­ шить стандартное отклонение дохода по этим двум активам вместе до нуля, т.е. свести риск к минимуму. Это объясняет возможность примене­ ния операций с опционами и срочными контрактами (считающимися вы­ соко рискованными операциями) в сочетании с активами, на которых они базируются, для реального уменьшения риска.

Наличие совершенной положительной корреляции наблюдается, например, при приобретении двух видов обычных акций одной корпора­ ции, выпущенных на одинаковых условиях. Стандартное отклонение ставок дохода по портфелю в этом случае рассчитывается как средне­ взвешенная из стандартных отклонений доходов, входящих в состав портфеля активов.

На практике обычно корреляция не является совершенной, и стан­ дартное отклонение ставок дохода будет несколько другим. Масштаб этого отклонения будет определяться характерами корреляционных за­ висимостей движения доходов по различным ценным бумагам.

Варьируя портфельные веса применяемых в составе портфеля акти­ вов, можно добиться оптимального, с точки зрения применяемого типа, портфеля.

74

Постановка задачи об оптимальном портфеле

В литературе [10, 11] описаны подходы к формированию опти­ мального портфеля с помощью моделей Блека, Марковица. Тобина. За­ дача оптимизации заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвесторов. Например, целевой функцией может быть минимизация риска при заданной доходности, или максимизация дохода при риске не выше заданного. При этом на компоненты вектора X, представляющего портфель, могут накладываться различные ограничения, зависящие от вида сделки, типа участвующих активов, величины открываемых пози­ ций и т.д. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, назы­ ваются допустимыми.

1. В модели Блека допустимыми являются любые портфели. Это значит, что вектор X удовлетворяет лишь основному ограничению:

п

I

Наличие коротких позиций (отсутствие условия неотрицательно­ сти) позволяет реализовать любую, сколь угодно большую доходность, естественно, за счет большого риска.

2. В модели Марковица допустимыми являются только стандарт­ ные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на вектор X на-

п

кладываются два ограничения: основное ^х, =1 и неотрицательности

х, > 0 для всех i.

Портфель называют стандартным, если инвестор по каждому акти­ ву находится в длинной (long) позиции. Длинная позиция - это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие по­ зиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повыше­ ния цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи. Допустим, что относительно некоторого актива инвестор уве­ рен в обратном, т.е. в понижении его стоимости. В этом случае он может

75

совершить сделку, которая называется короткой продажей (short sale) Для этого он берет данный актив взаймы у другого инвестора (кредитора), сразу же продает его, а впоследствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает своему кредитору При этом он обязан выплатить кре­ дитору текущий доход по активу за время сделки и некоторый процент за предоставление самой возможности сделки (за кредит) На большинстве фондовых бирж короткие продажи вполне допустимы и часто использу­ ются, но ввиду их особой рискованности биржи могут вводить ограниче­ ния на общую величину коротких позиций в сделках

Особенностью модели Марковица является то, что доходность лю­ бого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности ак­ тивов, из которых он построен

3 В модели Тобина-Шарпа-Литнера предполагается наличие так называемых безрисковых активов, доходность которых не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение.

Пример 2.5.1. Сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг - APT с эффективностью 12% и риском 21 1 и ВЕРМ с эффективностью 5 1% и риском 8 3 при условии, что обеспечи­ вается доходность портфеля тр = ^х1т, не менее 8 9% Коэффициент

корреляции равен 0 18 Решение Модель Марковица может быть сформулирована сле­

дующим образом

Необходимо найти вектор X - (Х\, Х2), минимизирующий риск портфеля ар

Х\ - доля в портфеле ценных бумаг APT, Х2 - доля в портфеле ценных бумаг ВЕРМ,

ср = У1ХТ COV X - yjcj + х\ + 2x\x20\G2r\ 2 + вгЛ = ^ Т 2 1 2 ^ ? + 2 * 1 ^ 2 1 2 8 3 018 + 832Х2 -> mm,

ХиХ2>0

76

Пример 2.5.2. Найти оптимальный портфель максимальной эффектив­ ности для трех ценных бумаг REXX, SNS и LIKX с доходностью и риском:

Верхняя граница риска задана равной 18.

Решение. Модель может быть сформулирована следующим образом.

Для решения задачи следует воспользоваться надстройкой EXCEL Поиск решения1 . В результате решения получена максимально возмож­ ная доходность портфеля 11.29 при значениях вектора X, записанных в ячейки $G1:$I1 (рис. 2.5.2 и 2.5.3).

Поиск решения позволяет решать задачи с нелинейными ограничениями и це­ левыми функциями

78

ГЛАВА 3. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА

ИПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

ВСРЕДЕ EXCEL

3.1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Всовременной экономике, в бизнесе без прогноза не обойтись. Любое серьезное решение, в особенности связанное с вложением денег, требует прогноза, предвидения развития экономической ситуации.

Для того чтобы предвидеть будущее, надо хорошо знать прошлое и присущие ему закономерности.

Если в течение достаточно продолжительного времени регулярно фиксировать курсы валют, акций, цены на товары и т.д., то такие данные образуют временные ряды. Временными рядами являются также данные о выпуске или потреблении различных товаров и услуг по месяцам, кварталам, годам. В производстве временные ряды возникают при изме­ рении количества изделий, выпускаемых подразделениями предприятия за час, смену, декаду, при оценках количества брака за те же периоды, при наблюдении за изменениями запасов на складах.

В экономике и бизнесе данные типы временных рядов появляются очень часто.

Во временном ряде содержится информация об особенностях и зако­ номерностях протекания процесса, а статистический анализ позволяет вы­ явить и использовать их для оценки характеристик процесса в будущем, т.е. для прогнозирования.

Временной ряд - набор чисел, привязанный к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Числа, составляющие ряд и получающиеся как результат наблюдения за ходом некоторого про­ цесса, называются элементами, а промежуток времени между наблю­ дениями - шагом квантования по времени (или короче - шагом по времени). Элементы ряда нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому этот элемент относится (т.е. обозначают их как

Y\,Y2, ...,Y„).

Формально задача прогнозирования сводится к получению оценок значений ряда на некотором периоде будущего, т.е. к получению значе-

80