ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Орлова И.В. Экономико-мататематические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. 2000

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ

ПОИСКА РЕШЕНИЙ В СРЕДЕ EXCEL

2.1. ОБЩАЯ ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ. ПРИМЕРЫ ЗАДА Ч ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

В экономике оптимизационные задачи возникают в связи с много­ численностью возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соот­ ветствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, мак­ симум продукции).

Рассмотрим несколько примеров задач линейного программирова­ ния (ЗЛП).

Задача о размещении средств1

Пусть собственные средства банка вместе с депозитами в сумме со­ ставляют 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, так как в случае непредвиденной потребности в налич­ ности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги, особенно государственные. Их можно

влюбой момент продагь, получив некоторую прибыль или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определенной про­ порции ликвидные активы - ценные бумаги, чтобы компенсировать не­ ликвидность кредитов. В нашем примере ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных

вкредитах и ценных бумагах.

Пример заимствован из книги Дж Синки «Управление финансами в коммер­ ческом банке».

42

Обозначим через Xt средства (млн долл.), размещенные в кредитах, через Xi - средства, вложенные в ценные бумаги. Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бу­ маг: f(x) = С\ Х\ + Сг Хп, где С, - доходность кредитов, С? - доходность ценных бумаг.

Целевая функция - это выражение, которое необходимо максими­ зировать: /(JC) = 9 X] + 6 Х2.

Имеем следующую систему линейных ограничений:

1.Xi + Хп < 100 - балансовое ограничение;

2.Xi > 35 - кредитное ограничение;

3.Хо > 0.3(Х] + Х2) - ликвидное ограничение;

4.X, > 0, Х2 > 0.

Задача оптимального использования ресурсов

Фабрика имеет в своем распоряжении определенное количество ре­ сурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т.п. Допустим, например, ресурсы трех видов: рабочая сила, сы­ рье и оборудование - имеются в количестве соответственно 80 (челУдней), 480 (кг) и 130 (станко/ч). Фабрика может выпускать ковры четырех ви­ дов. Информация о количестве единиц каждого ресурса, необходимых для производства одного ковра каждого вида, и доходах, получаемых предприятием от единицы каждого вида товаров, приведена в таблице.

Требуется найги такой план выпуска продукции, при котором будет максимальной общая стоимость продукции.

Обозначим через Х],Х2, Х3, Х4 количество ковров каждого типа.

43

Экономико-математическая модель задачи.

Целевая функция - это выражение, которое необходимо максими­ зировать: j{x) = ЪХ\ + АХ2 + ЗХз + ХА.

Ограничения по ресурсам

1ХХ + 2Х2 + 2Х3 + 6Л'4 < 80, 5ДГ1 + 8Х2 + 4ДС, + ЪХА < 480,

2Xi + 4Х2 + Х3 + 8Х4 < 130,

Х\, Л2, Х-$, Хц ~2. 0.

Задача о размещении производственных заказов

Необходимо в планируемом периоде обеспечить производство 300 тыс. однородных новых изделий, которые могут выпускаться на че­ тырех филиалах предприятия. Для освоения этого нового вида изделий нужны определенные капитальные вложения. Разработанные для каждого филиала предприятия проекты освоения нового вида изделия характеризу­ ются величинами удельных капитальных вложений и себестоимостью еди­ ницы продукции в соответствии с таблицей.

Себестоимость производства и удельные капиталовложения для каждого из филиалов условно приняты постоянными, т.е. потребность в капитальных вложениях и общие издержки будут изменяться пропор­ ционально изменению объемов производства изделий.

Предположим, что на все филиалы предприятие для освоения 300 тыс. новых изделий может выделить 18 млн руб. Необходимо найти такой вариант распределения объемов производства продукции и капи­ тальных вложений по филиалам, при котором суммарная стоимость из­ делий будет минимальной.

Модель задачи.

Введем следующие обозначения:

44

i - номер филиала (i = 1, ..., п; и - 4);

X, - объем выпускаемой продукции на i-м филиале предприятия; Г - суммарная потребность в изделиях (Т= 300 тыс. шт.); К - выделяемые капиталовложения (К= 18 млн руб.);

С, - себестоимость производства продукции на i-м филиале предприятия;

к, - удельные капитальные вложения на единицу продукции на i-м филиале.

Экономико-математическая модель задачи в символах будет иметь вид:

п

/(х) = ХС,-X,->min;

7 = 1

£х,>Г;

i=i

j^krX,<K;

;=1

Z,>0; i = 1 и.

С учетом имеющихся данных модель задачи примет вид:

/(x) = 83-X,+89-X2+95-X3+98-X4-*min,

ограничения

Хх + Хг + Хъ + Х4 > 300 (тыс. шт.), 120Х, + 80Х2 + 50Х, + 40Х4 < 18 (млн руб.),

^1,2,3,4 S 0.

2.2. ТЕХНОЛОГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДА ЧЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ

ПОИСКА РЕШЕНИЙ

Поиск решения - это надстройка EXCEL, которая позволяет ре­ шать оптимизационные задачи. Если в меню Сервис отсутствует команда Поиск решения, значит, необходимо загрузить эту надстройку. Выберите команду Сервисе Надстройки и активизируйте надстройку Поиск ре­ шения. Если же этой надстройки нет в диалоговом окне Надстройки, то

45

решений. Можно выбрать поиск наименьшего или наибольшего значения для целевой ячейки или же установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск решения - это параметр Изменяя ячейки. Изменяемые ячейки - это те ячейки, значения в кото­ рых будут изменяться для того, чтобы оптимизировать результат в целе­ вой ячейке. Для поиска решения можно указать до 200 изменяемых яче­ ек. К изменяемым ячейкам предъявляется два основных требования: они не должны содержать формул, и изменение их значений должно отра­ жаться на изменении результата в целевой ячейке. Другими словами, целевая ячейка зависима от изменяемых ячеек.

Третий параметр, который нужно вводить для Поиска решения - это Ограничения.

6. Назначение целевой функции (установить целевую ячейку).

• Курсор в поле «Установить целевую ячейку».

• Ввести адрес $F$4.

• Ввести направление целевой функции: Максимальному значению. Ввести адреса искомых переменных:

• Курсор в поле «Изменяя ячейки».

• Ввести адреса В$3:Е$3. 7. Ввод ограничений.

•Курсор в поле «Добавить». Появится диалоговое окно Добавле­ ние ограничения (рис. 2.2.4).

•В поле «Ссылка на ячейку» ввести адрес $F$7.

•Ввести знак ограничения <.

•Курсор в правое окно.

•Ввести адрес $Н$7.

•Добавить. На экране опять диалоговое окноДобавление ограничения.

•Ввести остальные ограничения.

•После ввода последнего ограничения ввести ОК.

На экране появится диалоговое окно Поиск решения с введенными условиями (рис. 2.2.5).

8.Ввод параметров для решения ЗЛП (рис. 2.2.6).

•Открыть окно Параметры поиска решения.

•Установить флажок Линейная модель, что обеспечивает приме­ нение симплекс-метода.

•Установить флажок Неотрицательные значения.

49