ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Орлова И.В. Экономико-мататематические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. 2000

Решением системы линейных уравнений называется совокупность п чисел а ь а2, ..., а„, таких, что при подстановке их вместо неизвестных каждое уравнение обращается в тождество.

Система линейных уравнений называется совместной, если сущест­ вует хотя бы одно ее решение. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Совместные системы подразделяются на определенные, имеющие единственное решение, и неопределенные, имеющие бесконечное мно­ жество решений.

Каждой системе линейных уравнений поставим в соответствие мат­

Вопрос о совместности системы линейных уравнений решается теоремой Кронекера-Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы А равен рангу матрицы А, т.е. когда г(А) = г (А).

На основании теоремы Кронекера-Капелли имеем:

1.Если г( А) Ф г (А), то система несовместна.

2.Если г( А) = г (А), то система совместна.

Вэтом случае г уравнений системы линейно независимы, осталь­ ные т - г уравнений являются их линейной комбинацией. Поэтому в системе оставляем лишь г уравнений, коэффициенты при неизвестных которых составляют базисный минор.

Врезультате получим г линейных уравнений с г неизвестными. Если г = п, то система имеет единственное решение.

Если г < и, то система имеет бесконечное множество решений, т.е.

является неопределенной. Число свободных переменных равно п-г. Метод ЖорданаТаусса применяется для решения системы т ли­

нейных уравнений с п неизвестными вида:

21

Над строками расширенной матрицы А осуществляем следующие преобразования:

•перестановка любых двух уравнений;

•умножение обеих частей одного из уравнений на любое отлич­ ное от нуля число;

•прибавление к обеим частям одного уравнения соответствую­ щих частей другого, умноженных на любое число, отличное от нуля;

•вычеркивание нулевой строки (уравнения с нулевыми коэффи­ циентами и свободным членом, равным 0).

Можно показать, что элементарные преобразования переводят дан­ ную систему уравнений в эквивалентную систему. Две системы линей­ ных уравнений называются эквивалентными, или равносильными, если каждое решение первой системы (если они существуют) является реше­ нием второй, и наоборот. Соответствующие расширенные матрицы так­ же называются эквивалентными.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса последовательно над строками матрицы А выполняют элементарные преобразования, так что некоторое неизвестное исключа­ ется из всех уравнений, кроме одного, т.е. в составе расширенной мат­ рицы формируется единичная матрица.

Впроцессе решения могут встретиться следующие случаи.

1.Будет получена матрица А, эквивалентная матрице А, в левой части некоторой строки ее стоят нули, а в правой — число, отличное от нуля, что соответствует уравнению:

О • Хх + 0 • Хг + ... + 0 • Хп = Ь, ф,*0).

Это признак несовместности системы (1.3.1), т.е. система не имеет решений.

2. В результате преобразований получилась матрица вида:

22

В этом случае система (1.3.1) - совместная, определенная и имеет единственное решение: Х\ = Ь\, Х2 = Ь2, ..., Х„ = bh.

3. На некотором этапе получилась расширенная матрица вида

Придавая каждой из стоящих в правых частях равенств переменных Xr+i, Хг+2, ..., Х„ произвольные значения, будем получать частные реше­ ния системы.

Неизвестные Х\, Х2, ..., X, называются базисными, или основными, они соответствуют линейно-независимым векторам^, ...,АГ.

Таким образом, любые г переменных называются базисными (ос­ новными), если определитель матрицы коэффициентов при них отличен от нуля, а остальные (и - г) переменных называются свободными, или неосновными. Базисным решением системы уравнений называется част­ ное решение, в котором неосновные переменные имеют нулевые значе­ ния. Каждому разбиению на основные и неосновные переменные соот­ ветствует одно базисное решение, а количество способов разбиения не превышает величины

/и! (и — /и)!

Если все компоненты базисного решения неотрицательны, то такое решение называется опорным.

23

Пример 1.3.1. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:

Xi+X2 + 2X3 = -l, 2Х\-Х2 + 2Хт, = -4, АХх+Х2 + АХъ = -2.

Решение. Составим расширенную матрицу

/ Итерация.

В качестве направляющего элемента выбираем элемент а\^ - 1. Пре­ образуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей стро­ кам прибавляем первую строку, соответственно умноженную на - 2 и - 4. Получим матрицу:

2 Итерация.

Выбираем направляющий элемент а^ = - 3 . Так как а\{ * 1 , то де­ лим вторую строку на -3. Затем умножаем вторую строку на 1 и 3 и скла­ дываем соответственно с первой и третьей строками. Получим матрицу:

3 Итерация

Выбираем направляющий элемент а^ 2. Так как a\J * 1, то

делим третью строку на -2. Преобразуем третий столбец в единичный Для этого умножаем третью строку на - 4/3 и -2/3 и складываем соот­ ветственно с первой и второй строками. Получим матрицу:

24

откуда Xi = \,X2 = 2,X^--2.

Пример 1.3.2. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:

ХХ-Х2 + ХЪ-ХА = А,

Jti + A"2 + 2ДГз + 3Ar4 = 8,

2ЛГ, + АХ2 + 5Хг + 1QA4 = 20, 2ЛГ, -4А'2 + Х3 -6Х, = 4.

Решение. Расширенная матрица имеет вид:

Применяя элементарные преобразования, получим:

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Общее решение имеет вид:

Л | = Зл? + 5А4 ,

Хъ = А-2Хг- 4Х4.

25

Найдем базисные решения. Для этого полагаем Хг = О, Х4 - 0, тогда X] = 0, Хт, = 4. Базисное решение имеет вид: (0, 0,4, 0).

Получим другое базисное решение. Для этого в качестве свободных неизвестных примем Хт, и *4. Выразим неизвестные Х\ и Х2 через неиз­ вестные *3 и Х4:

Х\ = 6 — 1.5*2 — -*4>

*2 = 2-0.5*з-2*4 . Тогда базисное решение примет вид: (6, 2, 0, 0).

Пример 1.3.3. Решить методом Жордана-Гаусса систему линейных уравнений:

*, + 2Х2 + 2*, + 22*4 - 4*5 = 11, X, + 2Х2+Х3 + 16*4-4*5 = 9,

* , + * 2 + * з + 12Х4-2*5 = 6.

Решение. Составим расширенную матрицу

1 Итерация

В качестве направляющего элемента выбираем элемент а\\' = 1. Пре­ образуем первый столбец в единичный. Для этого ко второй и третьей стро­ кам прибавляем первую строку, умноженную на - 1 . Получим матрицу:

2 Итерация

Выбираем направляющий элемент a j 2 = - l . Умножаем третью строк> на - 1 . Преобразуем второй столбец в единичный. Для этого к

26

первой строке прибавляем третью строку, умноженную на -2. Получим матрицу:

умножаем вторую строку на - 1 . Преобразуем третий столбец в единич­ ный. Для этого вторую строку складываем с третьей. Получим матрицу:

Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:

Лл +2*4=1,

Xi + 6Х4 = 2,

Х2 + 4Х4 - 2Х5 = 3.

Общее решение имеет вид:

Xi = 1-2Д4,

Хг = 3 - 4Х4 + 2Х5, Х3 = 2- 6Х4.

Переменные Хи Х2, Хт, являются основными (или базисными). Лю­ бое частное решение получается из общего путем придания конкретных значений свободным переменным. Если свободные переменные Х4 и А'5 положить равными нулю, то получим первое базисное решение Х\ = 1, ЛГ2 = 3,А,1 = 2,Л4 = 0,Я'5 = 0.

Первое базисное решение имеет вид: (1, 3, 2, 0, 0).

27

Общее число групп основных переменных, т.е. базисных решений,

Решение примера 1.3.3 в EXCEL

В среде EXCEL общее число групп можно определить с помощью функции ЧИСЛКОМБ.

ЧИСЛКОМБ Возвращает количество комбинаций для заданного числа объектов.

Функция ЧИСЛКОМБ используется для определения числа всех воз­ можных сочетаний объектов в группы.

Синтаксис

ЧИСЛКОМБ (число; число_выбранных) Число - это число объектов.

Число_выбранных - это число объектов в каждой комбинации.

Замечания

•Числовые аргументы усекаются до целых.

•Если любой из аргументов не число, то ЧИСЛКОМБ возвращает значение ошибки #ИМЯ?.

•Если число < 0 или число_выбранных < 0, или число < число_выбранных, то функция ЧИСЛКОМБ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

•Комбинацией считается любое множество или подмножество объектов, безотносительно к их порядку. Комбинации отличают­ ся от перестановок, для которых порядок существенен.

•Число комбинаций определяется следующим образом, где число равно п и число_выбранных равно к:

где

Рк,п=-(пп-к)\

28