ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Орлова И.В. Экономико-мататематические методы и модели. Выполнение расчетов в среде Excel. 2000

34

1.4. ЭКОНОМИКО-МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯМОДЕЛЬ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА (МОДЕЛЬ «ЗАТРАТЫ-ВЫПУСК»)

Эффективное функционирование экономики предполагает наличие баланса между отдельными отраслями. Каждая отрасль при этом высту­ пает двояко: с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продуктов, вырабатываемых другими от­ раслями. Для наглядного выражения взаимной связи между отраслями используют таблицы определенного вида, которые называют таблицами межотраслевого баланса. Впервые таблица межотраслевого баланса бы­ ла опубликована в 1926 г. в России. Однако вполне развитая математи­ ческая модель межотраслевого баланса (МОБ), допускающая широкие

35

возможности анализа и прогноза, появилась позже (1936) в трудах аме­ риканского экономиста В. Леонтьева1.

Мы рассмотрим наиболее простой вариант модели межотраслевого ба­ ланса (модель Леонтьева, или модель «затраты-выпуск»).

Алгебраическая теория анализа «затраты-выпуск» сводится к сис­ теме линейных уравнений, в которых параметрами являются коэффици­ енты затрат на производство продукции.

Пусть весь производственный сектор народного хозяйства разбит на п чистых отраслей. Чистая отрасль (это условное понятие) - некото­ рая часть народного хозяйства, более или менее цельная (например, энергетика, машиностроение, сельское хозяйство и т.п.).

Пусть хц - количество продукции /-Й отрасли, расходуемое в j-vt от­ расли; X, - объем производства /-й отрасли за данный промежуток вре­ мени, так называемый валовой выпуск продукции i; у, - объем потребле­ ния продукции /-Й отрасли в непроизводственной сфере, объем конечно­ го потребления; Z, - условно чистая продукция, которая включает опла­ ту труда, чистый доход и амортизацию.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или нату­ ральными (кубометры, тонны, штуки и т.п.), или стоимостными. В зави­ симости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевые балансы. Мы будем рассматривать стоимостной баланс.

В табл. 1.4.1 отражена принципиальная схема межотраслевого ба­ ланса в стоимостном выражении.

Во-первых, рассматривая схему баланса по столбцам, можно сде­ лать очевидный вывод, что итог материальных затрат любой потреб­ ляющей отрасли и ее условно чистой продукции равен валовой продук­ ции этой отрасли. Данный вывод можно записать в виде соотношения:

Xj=tx,j+Zn ; = 1,2,...,и. (1.4.1)

Напомним, чго величина условно чистой продукции Z; равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода j-й отрасли. Соотношение

36

(1.4 1) охватывает систему из л уравнений, отражающих стоимостной состав продукции всех отраслей материальной сферы.

Во-вторых, рассматривая схему МОБ по строкам для каждой про­ изводящей отрасли, можно видеть, что валовая продукция той или иной отрасли равна сумме материальных затрат потребляющих ее продукцию отраслей и конечной продукции данной отрасли:

Формула (1.4.2) описывает систему из п уравнений, которые назы­ ваются уравнениями распределения продукции отраслей материального производства по направлениям использования.

Балансовый характер таблицы выражается в том, что

пп

!* . = ! * , .

1=1 7=1

пп

Основу экономико-математической модели МОБ составляет матри­ ца коэффициентов прямых затрат А - (а„).

Коэффициент прямых материальных затрат ац показывает, какое количество продукции i'-й отрасли необходимо, если учитывать только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли-

37

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения.

Первое состоит в том, что сложившуюся технологию производства считаем неизменной. Таким образом, матрица Л = (а,,) постоянна.

Второе состоит в постулировании свойства линейности сущест­ вующих технологий, т.е. для выпуска у'-й отраслью любого объема про­ дукции X, необходимо затратить продукцию отрасли / в количестве ац Х/у т.е. материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции:

Подставляя (1.4.4) в балансовое соотношение (1.4.2), получаем

7=1

или в матричной форме

С помощью этой модели можно выполнять три вида плановых расчетов.

• Задав в модели величины валовой продукции каждой отрасли (X,), можно определить объемы конечной продукции каждой отрасли (У,):

• Задав величины конечной продукции всех отраслей (К,), можно оп­ ределить величины валовой продукции каждой отрасли (X,):

• Для ряда отраслей задав величины валовой продукции, а для всех остальных - объемы конечной продукции, можно найти величины конечной продукции первых отраслей и объемы валовой прод}Кции вторых.

В формулах (1.4.7) и (1.4.8) Е обозначает единичную матрицу /;-го по­ рядка, а (Е - А) обозначает матрицу, обратную матрице (£ - А). Если опре-

38

делитель матрицы (Е-А) не равен нулю, т.е. эта матрица невырожденная, то обратная к ней матрица существует. Обозначим эту обратную матрицу через В -{Е- А)~ , тогда систему уравнений в матричной форме (1.4.8) можно за­ писать в виде X = BY.

Элементы матрицы В называются коэффициентами полных мате­ риальных затрат. Они показывают, сколько всего нужно произвести продукции /-й отрасли для выпуска в сферу конечного использования единицы продукцииу'-й отрасли.

Плановые расчеты по модели Леонтьева можно выполнять, если выполняется условие продуктивности.

Будем называть неотрицательную матрицу А продуктивной, если существует такой неотрицательный вектор Х> 0, что

Очевидно, что условие (1.4.9) означает существование положитель­ ного вектора конечной продукции Y > О для модели межотраслевого ба­ ланса (1.4.6).

Для того, чтобы матрица коэффициентов прямых материальных за­ трат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполня­ лось одно из перечисленных ниже условий:

1. Матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует об­

3. Все главные миноры матрицы (Е-А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матри­ цы порядка от 1 до п, положительны.

Более простым, но только достаточным признаком продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы, т.е. на величину наибольшей из сумм элементов матрицы А в каждом столбце. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна; повто­ рим, что данное условие является только достаточным, и матрица Л может оказаться продуктивной и в случае, когда ее норма больше единицы.

39

Пример 1.4.1. Даны коэффициенты прямых затрат ац и конечный продукт Y, для трехотраслевой экономической системы:

Требуется определить:

1.Коэффициенты полных затрат.

2.Вектор валового выпуска.

3.Межотраслевые поставки продукции.

4.Проверить продуктивность матрицы А.

5.Заполнить схему межотраслевого баланса.

Для решения задачи воспользуемся функциями EXCEL.

142)

15775.5102

40