Министерство образования Российской Федерации
Московский государственный институт электронной техники
(Технический университет)
Кафедра общей физики
В.П.Романов
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
ИЗУЧЕНИЕ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ НА ПРИМЕРЕ ИХ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ
Лабораторный практикум по курсу общей физики
“МЕХАНИКА”
Москва – 2001
Лабораторная работа № 3
Изучение равноускоренного движения тел на примере их свободного падения в поле тяготения Земли
Цель работы: используя законы механики Ньютона, теоретически найти временную зависимость перемещения тела в поле тяготения Земли и экспериментально убедиться в справедливости полученных теоретических результатов.
Оборудование: установка, включающая штангу с закрепленными на ней электромагнитом и двумя фотодатчиками, стальной шарик, электронный миллисекундомер и миллиметровую линейку.
Основные положения теории
Рассмотрим
свободное падение тела массы
в поле тяготения Земли вблизи ее
поверхности. В этом случае в системе
отсчета, связанной с Землей, на тело
действует сила тяжести
,
которая включает силу тяготения
,
обусловленную гравитационным
взаимодействием тела с Землей, и
центробежную силу инерции
,
обусловленную суточным вращением Земли,
т.е.
(рис. 1). Следует отметить, что на тело,
кроме указанных сил, действуют и другие
силы, например, связанные с взаимодействием
тела с Солнцем, Луной и другими космическими
объектами, а также действуют силы
инерции, такие как сила инерции Кориолиса,
обусловленная движением тела во
вращающейся системе отсчета, и силы
инерции, обусловленные вращением Земли
вокруг Солнца. Однако, в нашем случае
эти силы по модулю значительно меньше
сил
и
и поэтому не учитываются.
В соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона силу притяжения можно записать в виде
, (1)
где
– гравитационная
постоянная;
– масса
Земли;
– радиус Земли;
– высота;
– единичный
вектор (
),
направленный к центру массы Земли.
Выражение для центробежной силы инерции имеет вид
,
(2)
где
– угловая
скорость вращения Земли;
– радиус-вектор,
определяющий положение тела относительно
оси вращения Земли.
В
связи с малостью численного значения
скорости вращения Земли (
= 7,27·10–5 рад/с)
центробежная сила инерции по модулю
гораздо меньше силы притяжения (
)
и в нулевом приближении ею можно
пренебречь. Тогда можно считать
приближенно, что сила тяжести равна
силе притяжения (
).
Тот факт, что при решении нашей задачи
можно не учитывать действие силы инерции,
дает возможность считать систему
отсчета, связанную с Землей, инерциальной.
Это позволяет для описания движения
тела использовать законы Ньютона.
Запишем в соответствии со вторым законом Ньютона уравнение движения тела:
,
(3)
где
– ускорение
тела.
Из (3) следует, что
.
(4)
Будем
рассматривать случай, когда тело
находится на высоте
над поверхностью Земли, много меньшей
радиуса Земли (
).
Тогда (4) приближенно можно записать в
виде
.
(5)
Величину
обычно обозначают
и называют ускорением свободного
падения:
.
(6)
Анализ
соотношений (5) и (6) показывает, что
ускорение, с которым будет двигаться
тело в поле тяготения Земли, равно
ускорению свободного падения, а именно
.
Известно, что при равноускоренном движении модуль вектора ускорения и его направление в пространстве не должны изменяться в процессе движения. В нашем случае, строго говоря, это может иметь место только при движении тела вдоль радиальной прямой, проходящей через центр массы Земли.
Из
(5) и (6) с учетом, что
,
где
– скорость
и
– время,
непосредственно следует
.
(7)
Интегрируя
(7) с начальным условием
(см. рис. 2а), получим
.
(8)
Учитывая,
что
,
где
– элементарное
перемещение, уравнение (8) преобразуем
к виду
.
(9)
Интегрируя
(9) с учетом начального условия
(см. рис. 2б), будем иметь
,
(10)
где
и
– векторы,
характеризующие положение тела в
начальный момент времени и в момент
времени
соответственно.
Разность
векторов
называется перемещением тела за время
,
которое в соответствии с (10) можно
записать следующим образом:
.
(11)
В
екторы
,
и
направлены вдоль оси
.
Следовательно, движение тела будет
одномерным. В этом случае, проектируя
перемещение тела (11) на ось
,
получим
.
(12)
Отношение
перемещения
к промежутку времени
,
за который произошло это перемещение,
определяет среднюю скорость тела
:
.
(13)
Анализ выражения (13) показывает, что средняя скорость линейно зависит от времени перемещения тела, причем удвоенное значение коэффициента наклона прямой равно ускорению свободного падения, а значение свободного члена равно начальной скорости. Этот результат теоретического исследования может быть положен в основу экспериментального определения значений данных физических величин.