7

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 12.

КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННОЙ СИСТЕМЫ.

Цель работы: изучение движения двух физических маятников, связанных между собой слабо растянутой пружиной.

Оборудование: установка, секундомер, миллиметровая линейка.

Продолжительность: 4 часа.

Описание установки. Теоретическая часть.

В работе изучается движение системы, состоящей из двух одинаковых физических маятников, которые связаны между собой слабо растянутой пружиной. Схема установки изображена на рис. 1.

Рис.1. Схема установки, состоящей из двух физических

маятников, соединенных пружиной.

Каждый маятник представляет собой массивное тело, которое можно перемещать по легкому стержню. Плоскости колебаний маятников перпендикулярны плоскости рисунка.

При отсутствии пружины уравнение, описывающее малые колебания каждого маятника, имеет вид:

J , (1)

где J – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, - угловое ускорение, – масса маятника, L – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника.

Решение этого уравнения определяет угловое положение маятника в процессе движения:

_m1, (2)

где

₁ (3)

частота, _m– амплитуда,  - начальная фаза колебаний.

Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями, т.е. начальными отклонениями и начальными скоростями маятников.

Если маятники, соединённые пружиной, отклонить в одну сторону на одинаковые углы и одновременно отпустить без начальнй скорости, то наличие лёгкой пружины не повлияет на частоту колебаний. Действительно, сила натяжения пружины всё время направлена строго перпендикулярно плоскостям колебаний, поэтому она не создает момента относительно оси поворота маятника. Частота колебаний маятников в этом случае равна частоте, определяемой выражением (3). Такие колебания называются синфазными, т.е. происходящими в одной фазе.

Если маятники отклонить в разные стороны на углы одинаковой величины и одновременно отпустить без начальной скорости, то кроме момента силы тяжести на каждый маятник будет действовать момент силы натяжения пружины. При таких начальных условиях углы отклонения маятников от положения равновесия в каждый момент времени равны по величине и противоположны по знаку. Такие колебания называются противофазными.

Исследуем характер движения маятников при произвольных начальных условиях. Пусть в некоторый момент времени маятники отклонены от положения равновесия на малые углы ₁ и ₂, причем ₁>₂. При малых углах отклонения длину предварительно растянутой пружины можно считать неменяющейся в процессе движения, следовательно, можно считать неизменной силу её натяжения.

Рассмотрим сначала маятник, изображенный слева на рис.2. Сила натяжения F пружины в этом случае не перпендикулярна плоскостям колебаний, поэтому её момент относительно оси поворота маятника отличен от нуля и равен:

,

где = ОА = ОВ – расстояние от точки подвеса маятника до точки крепления пружины.

Рис. 2. Положение маятников в некоторый произвольный момент

времени.

Связь угла (см. рис. 2) с углами ₁ и ₂ можно найти из треугольников DAE и OEA:

,

где = BC = ED - расстояние между плоскостями колебаний маятников.

Таким образом, уравнение движения левого маятника будет иметь вид:

J^₁. (4)

Угол отклонения ₂ второго маятника меньше угла отклонения ₁ первого маятника, поэтому момент силы F, действующий на второй маятник, противоположен по знаку моменту силы тяжести. С учетом этого уравнение движения второго маятника имеет вид:

J^₂ (5)

Уравнения (4) и (5) представляют собой систему дифференциальных уравнений, описывающих движения маятников. Эту систему уравнений можно решить следующим образом. Складывая и вычитая (4) и (5), получим уравнения:

J(₁+₂),

J(₁–₂),

которые аналогичны уравнению (1), только в качестве переменных в них входят сумма и разность углов отклонения маятников. Соответственно для суммы и разности углов можно записать решения в общем виде:

, (6)

где

, . (7)

Параметры маятников и пружины выбраны такими, что , поэтому частоты и мало отличаются друг от друга.

Из (6) легко получить выражения для и :

(8)

Уравнения (8) определяют угловые отклонения маятников от положения равновесия в процессе движения.

Проанализируем влияние начальных условий на характер движения маятников. Рассмотрим три случая.

1. Пусть маятники вначале отклонены в одну сторону на одинаковые углы и отпущены без начальной скорости, т.е. при t=0 ₁=₂=_m и ₁=₂=0. Тогда из уравнений (8) для этого момента времени следует:

,

,

,

.

Решая полученную систему уравнений, найдём, что , и . Тогда уравнения (8) принимают вид:

,

, (9)

т.е. частоты колебаний маятников одинаковы и равны частоте колебаний каждого маятника при отсутствии пружины (см. выражения (3) и (7)). Кроме того, углы отклонения маятников и в любой момент времени равны, т.е. при таких начальных условиях колебания маятников синфазны.

2. Пусть маятники вначале отклонены в разные стороны на одинаковые углы и отпущены без начальной скорости, т.е. при t=0

₁= –₂=_m и ₁=₂=0. Так же, как и в первом случае, определив ₁, ₂, _1m и _2m, получим:

(10)

т.е. углы и равны по величине и противоположны по знаку в любой момент времени. Следовательно, при таких начальных условиях колебания маятников противофазны и имеют одинаковую частоту , большую (см. уравнения (7)).

3. Пусть один из маятников вначале отклонен и отпущен без начальной скорости, а второй маятник в этот момент времени находится в положении равновесия, т.е. при t=0 ₁=_m, ₂=0, ₁=₂=0. При таких начальных условиях ₁=₂=_m и , поэтому уравнения (8) принимают вид:

Таким образом, колебания каждого маятника являются суммой (или разностью) двух гармонических колебаний с близкими частотами. В этом случае будут наблюдаться биения. Преобразуем эти уравнения к виду:

(11)

где и

Колебания, описываемые уравнениями (11), можно рассматривать как гармонические с пульсирующей амплитудой. Частота пульсаций амплитуды (её называют частотой биения) равна:

 (12)

Итак, мы увидели, что начальные условия определяют характер движения маятников.

Экспериментальная часть.

Перед началом измерений следует убедиться, что маятники имеют одинаковую частоту колебаний. Для этого, сняв пружину, маятники отклоните и одновременно отпустите. Наблюдая колебания в течение достаточно большого времени (маятники должны совершить не менее 50 колебаний), убедитесь, что разность фаз колебаний не изменяется. При необходимости измените положение одного из тел на стержне.

Упражнение1. Возбуждая последовательно синфазные и противофазные колебания, определите частоты и . Поскольку эти частоты близки друг другу, для достаточно точного определения частот необходимо измерить время большого числа (не менее 50) колебаний.

Упражнение2. Для наблюдения биений отклоните один из маятников, удерживая второй в положении равновесия, и одновременно их отпустите. Наблюдая за одним из маятников, измерьте время между моментами, когда его амплитуда становится минимальной. Подсчитайте частоту биений . Сравните полученное значение со значением , рассчитанным по формуле (12).

Упражнение 3. Из выражения (12) следует, что

~ l²

поэтому, повторив измерения при другом значении (значения l должны отличаться примерно в два раза), убедитесь в справедливости соотношения

.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА.

1. Савельев И.В. Курс Физики. М., Наука, 1989, т.2, § 63-68.