15

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 1.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ.

Цель работы: приобретение навыков обработки результатов

измерений.

Погрешность измерений

Результат измерений любой физической величины не может быть абсолютно точен, обязательно имеется некоторая погрешность. При оценке результатов физического эксперимента это обстоятельство имеет решающее значение. Например, для некоторой величины теория предсказывает значение 5.54, а в эксперименте получено 5.6. Можно ли отсюда сделать вывод - верна теория или нет? Все зависит от точности теоретического предсказания и точности экспериментального результата. Предположим, что теория предсказывает значение некоторой величины 5,54±0,01 и экспериментальный результат получен также с точностью до одной сотой: 5,60±0,01. Тогда мы делаем вывод, что теория не подтверждается экспериментом. Если же точность предсказания и результата измерений меньше, например 5, 54±0,05 и 5,60±0,06 то вывод, соответственно, будет другой.

Отчего возникает погрешность? Причины, кроме явных ошибок экспериментатора, могут быть самые разнообразные. Принято различать приборные погрешности, обусловленные точностью измерительного прибора и его настройки и погрешности, вызванные неконтролируемыми внешними воздействиями, может быть, даже воздействием самого прибора. Такие ошибки называют случайными.

Например, при измерении некоторого размера штангенциркулем возможна деформация измеряемого объекта самим штангенциркулем, под "губки" штангенциркуля может попасть посторонний микроскопический предмет, может возникнуть перекос и т.д. Причиной появления погрешности может быть и несовершенство принятой модели. Например, мы считаем объект измерения телом вращения, а в действительности его сечение может иметь форму эллипса. При этом в зависимости от конкретных условий эксперимента погрешность может быть в одном случае отнесена к приборным погрешностям, а в другом - считаться вызванной внешними воздействиями, точной границы при таком разделении погрешностей нет.

Приборные погрешности в свою очередь могут быть случайными по величине и знаку или закономерными. Если погрешность закономерна, ее называют систематической и в принципе ее можно учесть в виде некоторой поправки к результату измерений.

По форме представления различают погрешность абсолютную и относительную. Смысл этих терминов очевиден. Например, если результат измерения некоторого промежутка времени записан так:

Т₁=(1,2±0,1) с; Т₂=(214,5±0,1) с,

то здесь величина 0,1с представляет собой абсолютную погрешность, обозначается она, как и измеряемая величина, но со знаком Δ. В нашем примере: ΔТ=0,1с. С другой стороны, ясно, что время во втором случае определено точнее, так как больший промежуток времени сложнее определить с той же абсолютной погрешностью. Чтобы отразить это обстоятельство в записи величины погрешности, вводят так называемую относительную погрешность δТ=. Относительная погрешность может измеряться в процентах, тогда эту величину умножают на 100%.

Практическое определение погрешности измеряемой величины.

Измерение физической величины может быть произведено чувствительным прибором или не очень чувствительным прибором.

Если измерительный прибор не очень чувствительный, погрешность измерений определяется приборной погрешностью. При этом нет необходимости проводить измерения многократно, т.к. это не приводит к повышению точности измерения. Приборная погрешность, либо указывается в описании прибора, либо за такую принимается половина цены деления шкалы прибора. Так, при измерении длины миллиметровой линейкой принято в качестве погрешности брать величину 0,5 мм. Результат измерения длины некоторого объекта в этом случае надо записывать в виде

(385,0 ±0,5) мм.

В дальнейшем приборную погрешность будем обозначать ΔT_пр.Погрешность может быть больше этой величины, если объект не имеет точной границы (например, при измерении размеров изображения предмета на экране). Точной рекомендации, какую при этом брать погрешность нет. Все зависит от вида измеряемого объекта и целей измерения.

При использовании чувствительного прибора (например, микрометра, миллисекундомера и т.д.) при повторных измерениях могут получаться неодинаковые результаты.

Например, измерения времени падения шарика с некоторой высоты с помощью миллисекундомера дают следующие результаты (первая строчка таблицы):

N опыта	1	2	3	4	5	6	7	8
ti, с	0,460	0,446	0,452	0,456	0,448	0,454	0,446	0,458
Δti, с	0,007	0,007	0,001	0,003	0,005	0,001	0,007	0,005

Простейший расчет погрешности в этом случае следует проводить следующим образом:

а) найти среднее арифметическое значение измеряемой величины

среднее арифметическое должно содержать столько значащих цифр, сколько их в измеряемой величине (в нашем примере - три);

б) для каждого измерения найти модуль разности среднего значения и измеренной величиныt_i и занести в таблицу (вторая строчка таблицы);

в) найти среднее значение погрешности

с;

г) сравнить с приборной погрешностью миллисекундомера Δt_пр. Если >Δt_пр , то результат измерения следует записать в виде

t=±

Если <Δt_пр, то результат измерения следует записать в виде

t=± Δt_пр.

Например, если приборная погрешность равна Δt_пр=0,002с, - то

t=(0,453±0,005) с,

если Δt_пр=0,008с, то

t=(0,453±0,008) с.

Вообще говоря, обоснованным для расчета погрешности Δt является выражение

Однако если обратиться к числам, мы с большой степенью точности получим правило изложенное выше. Причем точность тем выше, чем больше разность между Δt²пр и . Действительно, если рассмотреть предыдущий пример, то для первого случая получим

c

для второго случая

c

При арифметическом расчете средних значений измеряемой величины и погрешности (особенно при использовании калькулятора) может получиться такой результат:

х=(12,785±0,4592) см.

Приведенная запись является неграмотной. Для того чтобы правильно записать результат, поступают следующим образом:

а) округляют погрешность до двух значащих цифр, если первой из них является единица, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях. Например:

неправильно Δх=3,2 см Δх=133 см Δх=0,387 см

правильно Δх=3 см Δх=1,3·102 см Δх=0,4 см

б) при записи измеренного значения последней должна указываться цифра того десятичного разряда, который использован при указании погрешности. Например,

неправильно х=(15,4±3) см х=(21,17±1,7) см х=(4,886±0,4) см х=(58419±238) см

правильно х=(15±3) см х=(21,2±1,7) см х=(4,9±0,4) см х=(5,84±0,02)·104 см

Таким образом, грамотной записью результата для приведенного выше примера является такая запись: х=(12,8±0,5) см.Задание 1: Рассчитать среднее значение периода колебаний и погрешность периода колебаний математического маятника, если в результате измерений получены такие результаты:

№ опыта	1	2	3	4	5
Т, с	1.24	1,18	1,23	1,20	1,19

Результаты записать для случаев, когда измерения произведены секундомером, имеющим погрешности:

а) ΔТ_пр=0,01с;

б) ΔТ_пр=0,05с.

Определение погрешности косвенных измерений.

Часто встречается ситуация, когда интересующая нас величина в эксперименте непосредственно не измеряется, но может быть рассчитана с помощью функциональной зависимости от измеряемых величин. В этом случае говорят о косвенных измерениях. Точность определения этой величины зависит как от точности эксперимента, так и от конкретного вида ее зависимости от измеряемых величин.

Пусть величину f можно рассчитать, измерив непосредственно некоторые физические величины х₁, х₂ и т.д., и пусть погрешности этих величин соответственно равны Δх₁, Δх₂ и т.д. Погрешность величины f можно рассчитать. Воспользовавшись формулой

(1)

Здесь - так называемые частные производные, которые подсчитываются по обычным правилам в предположении, что остальные переменные (кроме той, по которой осуществляется дифференцирование) зафиксированы. Например, измеряя время падения тела с некоторой высоты, можно рассчитать ускорение свободного падения по формуле

(здесь g рассматривается как функция двух переменных H и t, определяемых экспериментально).

Пусть Н=(1,00±0,01) м, t=(0,453±0,005) с, тогда

; .

Воспользовавшись выражением (1), получим

(3)

Подставляя численные значения, получим м/с².

Таким образом,

g=(9.7±0.3) м/с².

Полученные таким способом формулы для подсчета погрешности часто оказываются довольно громоздкими (например, если вычисляемая величина является функцией большого числа переменных). На практике во многих случаях можно избежать использования таких громоздких формул, подсчитав сначала относительную погрешность вычисляемой величины. Например, выражение (3) можно переписать в виде

,

или

, (4)

где и - относительные погрешности измеряемых величин, - относительная погрешность вычисляемой величины.

Рассчитав g и выражение, стоящее в скобках в (4), можно вычислить Δg.

Приведем более сложный пример. Модуль сдвига материала проволоки N,из которого изготовлена пружина жесткостьюk,можно подсчитать по формуле

, (5)

где R – радиус пружины, r – радиус проволоки, n – число витков пружины. Пусть погрешности измерения этих величин соответственно равны Δk, ΔR, Δr. Если использовать формулу (1) для расчета погрешности ΔN, то получится следующее выражение

,

которым неудобно пользоваться из-за его громоздкости. Выражение же для расчета относительной погрешности более компактно

Обратите внимание! Относительная погрешность модуля сдвигa N равна сумме относительных погрешностей измеряемых величин. Перед истоят множители равные показателям степени, с которыми эти величины входят в формулу (5).РассчитавиN легко определить ΔN

.

Видно, что последний способ расчета абсолютной погрешности менее трудоемкий, чем первый. В заключение приведем таблицу формул для вычисления погрешностей в некоторых частных случаях. При ознакомлении с таблицей обратите внимание на следующее правило: при сложении (вычитании) некоторых величин складываются абсолютные погрешности (пример 3), при умножении (делении) величин складываются относительные погрешности (пример 4).

Математическая операция	Погрешность
	абсолютная	относительная
1.
2.
3.
4.

Домашнее задание: Получить выражение для расчета абсолютной и относительной погрешности для следующих математических операций:

а) ; б); в),

(х и α – измеряемые величины).

Задание 2. Измеряя период колебания математического маятника, можно рассчитать ускорение свободного падения. Напомним, что

Пусть l=(0.500±0.005) м, T=(1,42±0,02) с.

Рассчитайте ускорение свободного падения.