pg_met_pr2
.pdfV2 |
V2 |
nRT1 |
æ |
|
ö |
|
A12 = ò pdV = ò |
çV2 |
÷ |
|
|||
V |
dV = nRT1 lnç |
|
÷ . |
(3) |
||
V |
||||||
V1 |
V1 |
|
è 1 |
ø |
|
|
Тут використали рівняння Менделєєва-Клапейрона, V1 - об’єм у стані 1, V2 - об’єм в стані 2. Підставляємо (3) та (2) в (1) і отримуємо
Q = nRT ln V2 . |
(4) |
||
1 |
1 |
V1 |
|
|
|
|
|
Таким чином, щоб знайти Q1 , необхідно визначити об’єм |
|||
V2 . Для визначення об’єму |
V2 розглянемо |
ділянку 2-3 |
|
(див. рис. 3.1), на якій відбувається адіабатичне розширення. Адіабатичний процес описується рівнянням адіабати, яке в
координатах температура-об’єм має вигляд TV γ−1 = const . Тобто
T V γ−1 |
= T V γ−1 . |
(5) |
||
1 |
2 |
2 |
3 |
|
Тут використали, що температура в стані 2 дорівнює T1 , а температура в стані 3 – T2 . Зазначимо, що для одноатомного
газу число |
ступенів вільності дорівнює 3 ( i = 3 ), тому стала |
||||||
адіабати |
дорівнює |
γ = (i + 2) / i = (3+ 2) / 3 ≈ 1,67 . |
Із |
||||
співвідношення (5) знаходимо |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
æ T |
ö |
|
|
|
|
|
|
γ−1 |
|
||||
|
V2 |
ç |
2 |
÷ |
|
|
(6) |
|
|
||||||
|
=V3ç T |
÷ . |
|||||
|
|
è 1 |
ø |
|
|
|
|
Далі підставляємо формулу (6) в (4) і знаходимо кількість теплоти, яку нагрівач передає газу:
|
æ |
|
æ T |
ö |
1 |
|
ö |
|
é æV |
ö |
1 |
æ T |
||||
|
çV |
γ−1 |
÷ |
|
||||||||||||
|
|
3 |
ç |
2 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
Q1 |
= nRT1 lnç V |
|
|
|
÷ |
= nRT1 |
|
|
|
|
||||||
×ç T |
÷ |
|
|
êlnç V |
÷ |
+ g -1lnç T |
||||||||||
|
ç |
1 |
è 1 |
ø |
|
|
÷ |
|
ë è 1 |
ø |
|
|
è 1 |
|||
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
шукану
öù ÷÷ú . (7)
øû
61
Для |
знаходження |
роботи A |
та теплоти, яку робоче тіло |
|||||||||||||||||
передає |
холодильнику, |
Q′ |
використаємо |
формули |
для |
ККД |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теплової машини (2.3а) та ККД циклу Карно (2.3б): |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
A |
|
Q - Q′ |
|
|
|
T -T |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
h = |
|
|
= |
1 |
2 |
, |
h = |
|
1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Звідси знаходимо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
T -T |
|
|
|
|
|
é æV |
|
ö |
|
1 |
æ T |
öù |
|
|
||||
|
A = Q1 × |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
÷ |
, |
(8) |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= nR(T1 -T2 )êlnç V |
|
÷ + g -1lnç T |
÷ú |
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ë |
è 1 |
|
ø |
|
|
è 1 |
øû |
|
|
||
|
|
T1 -T2 |
|
T2 |
|
é |
æ |
V3 |
ö |
|
¢ |
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|||
= Q1 - A = Q1 -Q1 × |
T |
= Q1 T |
= nRT2 |
|
|
+ |
||||
Q2 |
êlnç V |
÷ |
||||||||
|
|
1 |
1 |
|
ë |
è 1 |
ø |
|
||
1 |
æ T |
öù |
. |
|
|
ç |
2 |
÷ |
|
|
|
|||
g -1lnç T |
÷ú |
|
||
|
è |
1 |
øû |
|
(9)
Формули (7), (8) та (9) визначають шукані в задачі величини.
Аналіз отриманого результату
1 Перевіримо, чи дають розрахункові формули (7), (8) та (9) правильні одиниці вимірювання шуканих фізичних величин. Для цього в праву й ліву частини цих співвідношень замість символів фізичних величин підставимо їх одиниці вимірювання.
Зрозуміло, що [Q1] = Дж. З іншого боку,
é |
|
é æV |
ö |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
æ T |
öùù |
|
|
|
|
|
Дж |
|
|
|||||||
ênRT |
|
ln |
ç |
3 |
÷ |
+ |
|
|
|
|
ln |
ç |
2 |
÷ |
|
ú |
= моль |
|
|
×К = Дж . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ê |
1 |
ê |
|
ç V |
÷ |
|
|
g -1 |
|
|
ç |
T |
÷ú |
ú |
|
|
|
|
|
К ×моль |
|
|
||||||
|
ë |
|
è |
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 |
ø |
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Тобто Дж=Дж. Таким чином, розрахункова формула (7) дає |
|||||||||||||||||||||||||||
правильні одиниці вимірювання. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
Зрозуміло, що [A] = Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
З іншого боку, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
é |
|
|
|
|
é æV |
ö |
|
|
|
|
1 |
|
|
æ T |
öùù |
|
|
|
Дж |
|
||||||||
ênR(T -T ) ln |
ç |
3 |
÷ |
+ |
|
|
|
ln |
ç |
2 |
÷ |
|
ú |
= моль |
|
|
×К = Дж . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ê |
1 |
|
|
2 ê |
|
|
ç V |
÷ |
|
|
|
g -1 |
|
|
ç |
T |
÷ú |
ú |
|
|
К ×моль |
|
||||||
|
|
|
|
ë |
|
|
è |
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ûû |
|
|
|
|
|
||
Тобто Дж=Дж. Таким чином, розрахункова формула (8) дає правильні одиниці вимірювання.
62
|
Зрозуміло, що [Q′ ] = Дж. |
|
|
|||||||||||
|
З іншого боку, |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
é |
|
é |
æV |
ö |
|
1 |
|
æ T |
öù |
ù |
Дж |
|
||
ênRT |
ê |
lnç 3 |
÷ |
+ |
|
|
lnç |
2 |
÷ |
|
ú = моль |
|
×К = Дж . |
|
g -1 |
T |
|
К ×моль |
|||||||||||
ê |
2 |
ç V |
÷ |
|
ç |
÷ú |
ú |
|
||||||
|
ë |
è 1 |
ø |
|
|
|
è |
1 |
ø |
û |
|
|
||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
||
|
Тобто Дж=Дж. Таким чином, розрахункова формула (9) дає |
|||||||||||||
правильні одиниці вимірювання. |
|
|
||||||||||||
|
2 Запишемо фізичні величини, |
що входять в розрахункові |
||||||||||||
формули (7), (8) та (9), в одиницях СІ й виконаємо обчислення:
|
|
é |
æV |
ö |
1 |
æ T |
öù |
|
|||
Q1 |
= nRT1 |
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
÷ |
= |
|
|
|
|
|
|||||||
êlnç V |
÷ |
+ g -1lnç T |
÷ú |
||||||||
|
|
ë |
è |
1 |
ø |
|
|
è |
1 |
øû |
|
|
|
é |
æ |
20 ×10−3 |
ö |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
æ 300 |
öù |
|
|
||||||
=1×8,3× 400 × êlnç |
|
|
|
|
|
−3 |
÷ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnç |
÷ú Дж=3,18 кДж. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ê |
ç |
5×10 |
÷ |
|
1,67 -1 |
|
|
è 400 ø |
ú |
|
|
||||||||||||||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
é |
æV |
ö |
|
1 |
|
|
|
|
æT |
öù |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
ç |
|
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
2 |
|
÷ |
= |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A = nR(T1 -T2 )êlnç V |
÷ + g -1 lnç T |
÷ú |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
ë |
è |
|
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
1 |
|
øû |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
é |
|
æ 20 ×10−3 ö |
|
|
|
|
|
1 |
|
æ 300 |
öù |
||||||||||
=1×8,3×(400 - 300) × |
êlnç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
+ |
|
|
|
|
lnç |
÷ú Дж= |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ê |
|
ç |
5×10 |
−3 ÷ |
|
|
|
1,67 -1 |
|
è 400 ø |
ú |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
||||||||||||||
=0,80 кДж. |
|
|
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
é |
æV |
ö |
|
|
|
1 |
|
æ T |
öù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
¢ |
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Q2 |
= nRT2 êlnç V |
÷ + g -1lnç T |
÷ú = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ë |
è |
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
1 |
øû |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é |
æ 20 ×10−3 |
ö |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
æ 300 |
öù |
|
|
|||||||
=1×8,3×300× êlnç |
|
|
|
|
|
−3 |
÷ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnç |
÷ú Дж=2,38 кДж. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
ê |
ç |
5×10 |
÷ |
|
1,67 -1 |
|
|
|
è 400 ø |
ú |
|
|
|||||||||||||
|
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
3 Проведемо |
|
дослідження |
|
|
|
розрахункової |
|
формули у |
||||||||||||||||||
граничних випадках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Розглянемо випадок, коли температури нагрівача та |
||||||||||||||||||||||||||
холодильника є однаковими T1 = T2 |
= T . У цій ситуації згідно з |
||||||||||||||||||||||||||
формулою (2,3б) ККД циклу дорівнює нулю η = (T −T ) /T = 0 . Отже, робота газу теж дорівнює нулю (див. формулу (2,3а), з якої випливає A = h×Q1 = 0 ). Зрозуміло, в цьому випадку
63
теплота, яка передається холодильнику, дорівнює теплоті, яку газ отримує від нагрівача: Q2′ = Q1 - A = Q1
З розрахункових формул випливає такий самий результат. Коли T1 = T2 = T , то
|
|
|
|
é |
|
æV |
ö |
|
|
|
|
1 |
|
æ T |
öù |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
A = nR(T1 -T2 )êln |
ç |
|
3 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
2 |
÷ |
~ (T1 -T2 ) = 0 , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ç V |
÷ |
+ g -1lnç T |
÷ú |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ë |
|
è |
|
1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 |
øû |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
é æV |
ö |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
æ T |
öù |
|
|
é |
æV |
ö |
|
1 |
|
æ T öù |
|
||||||||
Q = nRT |
|
ln |
ç |
3 |
÷ |
+ |
|
|
|
|
|
ln |
ç |
2 |
÷ |
= nRT ln |
ç |
3 |
÷ |
+ |
|
|
lnç ÷ |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
1 |
ê |
|
ç V |
÷ |
|
|
g -1 |
|
|
ç T |
÷ú |
|
|
ê |
ç V |
÷ |
|
g -1 |
è T øú |
|
||||||||||
|
|
ë |
|
è 1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 1 |
øû |
|
|
ë |
è 1 |
ø |
|
|
|
û |
|
|||||
|
|
é |
æV |
ö |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
æ T |
öù |
|
|
é |
æV |
ö |
|
1 |
|
æ T öù |
|
|||||||
Q¢ |
= nRT lnç 3 |
÷ |
+ |
|
|
|
|
|
lnç 2 |
÷ |
= nRT ln |
ç 3 |
÷ |
+ |
|
|
lnç ÷ |
. |
|||||||||||||
g -1 |
g -1 |
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
ê |
ç V |
÷ |
|
|
|
|
ç T |
÷ú |
|
|
ê |
ç V |
÷ |
|
è T øú |
|
|||||||||||||
|
|
ë |
è 1 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 1 |
øû |
|
|
ë |
è 1 |
ø |
|
|
|
û |
|
||||||
|
Ці співвідношення показують, |
що |
A = 0 , |
Q2¢ = Q1 . Отже, |
|||||||||||||||||||||||||||
розрахункові формули не суперечать фізичним міркуванням.
|
|
é |
æV |
ö |
1 |
æ T |
öù |
|
|||
Відповідь: Q1 |
= nRT1 |
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
÷ |
= 3,18 кДж, |
|
|
|
|
|
|||||||
êlnç V |
÷ |
+ g -1lnç T |
÷ú |
||||||||
|
|
ë |
è |
1 |
ø |
|
|
è |
1 |
øû |
|
|
|
|
é |
æV |
ö |
|
1 |
|
|
æT |
öù |
|
||||||
A = nR(T1 |
|
|
|
ç |
|
3 |
÷ |
|
|
|
|
ç |
|
2 |
÷ |
=0,80 кДж, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
-T2 )êlnç V |
÷ |
+ g -1 lnç T |
÷ú |
|||||||||||||||
|
|
|
ë |
è |
1 |
ø |
|
|
|
|
è |
|
1 |
øû |
|
|||
|
|
é |
æV |
ö |
|
|
|
1 |
æ T |
öù |
|
|
|
|||||
¢ |
= nRT2 |
|
ç |
3 |
÷ |
|
|
|
|
|
ç |
2 |
÷ |
|
=2,38 кДж. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Q2 |
êlnç V |
÷ |
+ g -1lnç T |
÷ú |
||||||||||||||
|
|
ë |
è 1 |
ø |
|
|
|
|
|
è 1 |
øû |
|
|
|
||||
Приклад 3.3
Знайти ККД циклу, що складається з двох ізобар та двох адіабат, коли в межах циклу тиск змінюється в n разів. Робоча речовина – ідеальний газ із показником адіабати γ .
|
|
|
|
Розв’язання |
|
||
η-? |
|
Для розв’язання задачі використаємо формулу |
|||||
|
|
|
|
для ККД теплової машини (2.3а): |
|
||
|
p1 |
|
= n, g. |
|
|||
|
|
|
Q - Q′ |
|
|||
|
p3 |
|
|
||||
|
|
h = |
1 2 |
. |
(1) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
64
Кількість теплоти, яку передає нагрівач газу Q1 , та кількість теплоти, яку газ передає холодильнику Q2′ , знайдемо за
допомогою першого закону термодинаміки. Також використаємо рівняння стану ідеального газу та рівняння адіабати.
|
p |
|
|
|
|
|
p = p1 |
= p2 |
= const |
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
p1 |
= p2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q41 = 0 |
|
|
|
|
Q23 = 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
p3 |
= p4 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
p = p3 |
= p4 |
= const |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
V
Рисунок 3.2
Розглянемо детально процеси, про які йде мова в задачі. Зобразимо процес, що складається з двох ізобар (ділянки 1-2 та 3-4) і двох адіабат (ділянки 2-3 та 4-1), в координатах p −V
(див. рис. 3.2).
На ділянці 1-2 відбувається ізобарне розширення газу за рахунок передачі теплоти Q1 від нагрівача. Тиск у цьому ізобарному процесі не змінюється. Тому тиск у стані 1 дорівнює тиску в стані 2 ( p1 = p2 ). Теплоту Q1 визначимо за допомогою першого закону термодинаміки
Q1 = DU12 + A12 . |
(2) |
Зміну внутрішньої енергії DU12 на ділянці 1-2 знайдемо за допомогою формули (2.2в):
|
|
|
p2V2 |
|
p1V1 |
|
|
æ |
|
ö |
|
||
|
|
|
|
|
p1V2 ç |
|
|
V1 ÷ |
|
||||
DU12 |
= U2 -U1 |
= |
|
- |
|
= |
|
ç1 |
- |
|
|
÷ . |
(3) |
g -1 |
g -1 |
g -1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
V2 ø |
|
|||||
65
У цій формулі об’єм у стані 1 позначено через V1 , об’єм у стані 2 позначено через V2 . Тут також використали, що p1 = p2 . Роботу на цій самій ділянці A12 знайдемо за допомогою співвідношення (2.2б):
V2 |
æ |
V1 |
ö |
|
A12 = ò p1dV = p1(V2 |
|
|||
ç |
÷ |
(4) |
||
-V1 )= p1V2 ç1 |
- V |
÷ . |
||
V1 |
è |
2 |
ø |
|
Далі підставимо співвідношення (3) та (4) в (2) і отримаємо
|
p V |
æ |
V |
ö |
æ |
V |
ö |
æ |
V |
öé |
1 |
|
ù |
Q1 = |
1 2 |
ç |
1 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
ç |
1 |
÷ |
|
|
+1ú . (5) |
g -1 |
|
|
|||||||||||
ç1 |
- V |
÷ |
+ p1V2 ç1 |
- V |
÷ |
= p1V2 ç1 |
- V |
֐ g -1 |
|||||
|
|
è |
2 |
ø |
è |
2 |
ø |
è |
2 |
øë |
|
|
û |
На ділянці 2-3 має місце адіабатичне розширення. Тобто тут теплообмін відсутній Q23 = 0 .
На ділянці 3-4 відбувається ізобарне стискання, в процесі якого газ охолоджується і передає холодильнику теплоту Q2¢ . Цей процес можемо трактувати як процес передачі газу від’ємної теплоти Q2 = -Q2¢ . Через те що процес 3-4 як і 1-2 ізобаричний, то кількість теплоти, що передається газу Q2 , знаходиться аналогічно, як і у випадку 1-2:
|
Q2 = DU34 |
+ A34 . |
|
|
|
|
(6) |
|||||
Зміну внутрішньої |
енергії DU34 |
знаходимо |
|
аналогічно |
до |
|||||||
формули (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p4U4 |
|
p3V3 |
|
p3V3 |
æ |
V4 |
ö |
|
||
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
||||||
DU34 = U4 |
-U3 = |
|
- |
|
= - |
|
ç1- |
|
÷ . |
(7) |
||
g -1 |
g -1 |
g -1 |
V |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
3 |
ø |
|
|
Тут ураховано, що p4 = p3 . Роботу на ділянці знаходимо аналогічно до формули (4):
V4 |
æ |
|
V4 |
ö |
|
A34 = ò pdV =p3 (V4 |
|
||||
ç |
|
÷ |
|||
- V |
|||||
-V3 )= - p3V3ç1 |
÷. |
||||
V3 |
è |
3 |
ø |
||
Далі підставляємо (8) та (7) в (6) і отримаємо
66
циклу 3-4
(8)
|
p3V3 |
æ |
V4 |
ö |
|
|
Q2 = - |
ç |
÷ |
|
|||
|
ç1 |
- |
|
÷ |
- |
|
g -1 |
V |
|||||
|
|
è |
3 |
ø |
|
|
æ |
|
V4 |
ö |
æ |
|
V4 |
|
ç |
|
÷ |
ç |
|
|||
- V |
- V |
||||||
p3V3 ç1 |
÷ |
= - p3V3 ç1 |
|||||
è |
3 |
ø |
è |
3 |
|||
ö |
1 |
|
ù |
|
֎ |
|
. (9) |
||
֐ |
|
|
+1ú |
|
|
|
|||
øë g -1 |
û |
|
||
На ділянці циклу 4-1 теплообмін відсутній Q41 через те, що
тут процес є адіабатичним.
Підставимо вирази (5) та (9) в (1). При цьому візмемо до уваги, що Q2¢ = -Q2 , і знайдемо
|
|
|
æ |
|
|
V4 |
ö |
|
1 |
|
ù |
|
|
|
|
æ |
|
V4 |
ö |
|
|
|
ç |
|
|
֎ |
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
||||
|
¢ |
|
- V |
|
+1ú |
|
|
|
|
- V |
|||||||||
|
|
p3V3ç1 |
֐g -1 |
|
1 |
|
V3 |
ç1 |
÷ |
||||||||||
h =1- |
Q2 |
=1- |
è |
3 |
øë |
|
|
|
û |
=1- |
× |
× è |
3 |
ø . |
|||||
æ |
|
|
V |
öé 1 |
|
ù |
|
|
|
V |
|||||||||
|
Q |
|
|
|
|
|
n V |
æ |
|
ö |
|||||||||
|
1 |
|
ç |
|
1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
2 |
ç |
|
1 |
÷ |
||
|
|
|
- V |
|
|
|
+1ú |
|
|
|
|
- V |
|||||||
|
|
|
p1V2 ç1 |
֐g -1 |
|
|
|
|
ç1 |
÷ |
|||||||||
|
|
|
è |
2 |
øë |
|
|
|
û |
|
|
|
|
è |
2 |
ø |
|||
(10)
У формулі (10) використали, що згідно з умовою задачі p3 = 1 . p1 n
З’ясуємо, чому дорівнюють відношення об’ємів, які входять у формулу (10). Для цього запишемо рівняння адіабати для адіабатичних процесів 2-3 та 4-1:
p V γ = p V γ , |
p V γ = p V γ . |
||||||
1 |
1 |
4 |
4 |
2 |
2 |
3 |
3 |
Звідси знаходимо з урахуванням того, що p1 = p2 та
|
p V γ |
|
p V γ |
|
|
V γ |
|
|
V γ |
|
V |
|
V |
4 |
|
||||||||||
|
1 |
1 |
|
= |
4 |
4 |
|
Þ |
|
1 |
|
= |
|
|
4 |
Þ |
1 |
= |
|
|
. |
||||
p V |
γ |
p V γ |
V γ |
V γ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
V |
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
3 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
Це означає, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
V4 |
ö |
æ |
|
|
V1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
ç |
|
|
÷ |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
- V |
- V |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ç1 |
÷ |
/ç1 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
è |
|
|
3 |
ø |
è |
|
|
|
2 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(11) p4 = p3 ,
(12)
Також із другого рівняння (11) знаходимо
p æ V öγ |
|
V |
æ p |
|
1 |
æ p |
ö |
1 |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
öγ |
γ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ç |
3 |
÷ |
|
3 |
ç |
|
2 |
÷ |
|
ç |
1 |
÷ |
|
= (n) |
γ |
|
|
p |
|
|
Þ V |
|
|
|
|
. |
(13) |
||||||||||
3 |
= çV |
÷ |
= ç p |
÷ |
|
= ç p |
÷ |
|
|
||||||||||
|
è 2 |
ø |
2 |
è |
|
3 |
ø |
|
è 3 |
ø |
|
|
|
|
|
||||
67
Тепер підставимо (13) та (12) в (10) і знайдемо шуканий ККД цього циклу:
|
1 |
1 |
1 |
−1 =1- n− |
γ−1 |
|
||||
h =1- |
×n |
γ |
= 1- n |
γ |
γ |
. |
(14) |
|||
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналіз отриманого результату
1 Перевіримо, чи дає розрахункова формула (14) правильну одиницю вимірювання шуканої фізичної величини. Для цього в праву й ліву частини цього співвідношення замість символів фізичних величин підставимо їх одиниці вимірювання.
|
Зрозуміло, що [η] = 1. |
|||
|
З іншого боку, |
|||
é |
− |
γ−1 |
ù |
|
ê |
γ |
ú |
=1. |
|
1 |
- n |
|
ú |
|
ê |
|
|
|
|
ë |
|
|
û |
|
Таким чином, розрахункова формула (14) дає правильні одиниці вимірювання.
2 Проведемо |
дослідження розрахункової формули у |
||
граничних випадках. |
|||
Розглянемо випадок, коли в межах циклу тиск не |
|||
змінюється. Тобто |
p1 / p3 = n =1. У цій ситуації стани 2 та 3, а |
||
також |
стани |
4 та |
1 будуть відповідно збігатись. На діаграмі |
p −V |
цикл |
1-2-3-4 (див. рис. 3.2) перетвориться у відрізок, |
|
площа якого дорівнює нулю. А як відомо, площа циклу 1-2-3-4 на діаграмі p −V чисельно дорівнює роботі, яку газ у цьому
циклі виконує. Тому можемо зробити висновок: коли n =1, то робота газу дорівнює нулю, а отже, і ККД циклу дорівнює нулю
η = 0 . З розрахункової формули |
випливає такий самий |
|||||
|
− |
γ−1 |
|
− |
γ−1 |
|
результат. Коли n =1, то h =1- n |
γ |
=1-1 |
γ =1-1 = 0 . |
|||
Отже, розрахункова формула не суперечить фізичним |
||||||
міркуванням. |
γ−1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
Відповідь: h =1- n |
γ . |
|
|
|
|
|
68
Приклад 3.4
У скільки разів потрібно збільшити ізотермічно об’єм
ідеального газу в |
кількості |
ν =4,0 молей, |
щоб |
його ентропія |
||
мала приріст |
S =23 Дж/К? |
|
|
|
||
|
|
Розв’язання |
|
|
||
V2 /V1 -? |
|
Для розв’язання задачі використаємо вираз |
||||
|
для зміни ентропії (2.3в) при оборотному |
|||||
ν =4 моля, |
||||||
S =23Дж×К, |
процесі, перший закон термодинаміки та рівня |
|||||
стану ідеального газу. Знайдемо співвідношення |
||||||
T = const . |
||||||
|
між |
зміною |
ентропії |
S та |
параметрами |
|
оборотного процесу. Використовуючи це співвідношення, знайдемо шукане відношення V2 /V1 .
Як відомо з (2.3в), зміна ентропії при оборотному процесі має вигляд
2 |
|
|
DS = ò dQ . |
(1) |
|
1 |
T |
|
|
|
|
Щоб виконати інтегрування в (1), використаємо перший закон термодинаміки у вигляді
dQ = dU + dA = nR ×dT + pdV . g -1
Підставимо (2) в (1) і знайдемо
2 |
nR |
|
× dT |
2 |
p |
|
|
DS = ò |
+ ò |
dV . |
|||||
g -1 |
|
||||||
1 |
T |
1 |
T |
||||
|
|
|
|
|
|||
Візьмемо до уваги рівняння стану (2.1а), з якого знаходимо pV = nRT Þ Tp = nVR .
Тоді формула (3) набере вигляду
(2)
(3)
69
|
|
T2 |
|
V2 |
|
|
|
æ |
|
ö |
æ |
|
ö |
|
|
nR dT |
|
dV nR |
|
|
|
||||||||
|
|
ç T2 |
÷ |
çV2 |
÷ |
|
||||||||
DS = |
|
ò |
T |
+ nR ò |
V |
= |
|
lnç |
|
÷ |
+ nR lnç |
|
÷ |
. (4) |
g -1 |
g -1 |
T |
V |
|||||||||||
|
|
T1 |
|
V1 |
|
|
|
è 1 |
ø |
è 1 |
ø |
|
||
Рівняння (4) описує зміну ентропії при оборотному процесі. Далі
використаємо |
умову, що |
процес |
ізотермічний |
T2 = T1 |
||||||||||
æ |
æ |
T2 |
ö |
= ln(1)= 0 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
çlnç |
÷ |
÷ |
, і знайдемо з формули (4): |
|
||||||||||
T |
|
|||||||||||||
ç |
ç |
÷ |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
è |
1 |
ø |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
V2 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
DS = n × R ×lnç V |
÷ . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 1 |
ø |
|
|
Звідси знаходимо шукане відношення об’ємів |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V |
æ |
DS ö |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= expç |
÷ . |
(5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
è nR ø |
|
|
|||
Аналіз отриманого результату
1 Перевіримо, чи дає розрахункова формула (5) правильну одиницю вимірювання шуканої фізичної величини. Для цього в праву й ліву частини цього співвідношення замість символів фізичних величин підставимо їх одиниці вимірювання.
Зрозуміло, що éêVV2 ùú = 1.
ë 1 û
З іншого боку, |
|
|||
éDS ù |
= |
Дж/К |
=1. |
|
ê ú |
|
|||
моль×Дж/(К×моль) |
||||
ënR û |
|
|
||
|
|
Таким чином, розрахункова формула (5) дає правильні |
||||||
одиниці вимірювання. |
|
|
||||||
|
|
2 |
Запишемо фізичні величини, що входять в розрахункову |
|||||
формулу (5), в одиницях СІ й виконаємо обчислення: |
||||||||
V |
|
æ DS |
ö |
æ |
|
23 |
ö |
|
|
2 |
= expç |
÷ |
= expç |
|
|
÷ = 2. |
|
V1 |
|
×8,3 |
||||||
|
|
è nR |
ø |
è 4 |
ø |
|||
|
|
3 |
Проведемо дослідження розрахункової формули у |
|||||
граничних випадках. |
|
|
||||||
70