pg_met_pr2

Приклад 1.3

Дві посудини A і B з’єднані між собою за допомогою капіляра з краном. Посудина A занурена у водяну ванну з температурою T1 = 373К , а посудина B – в охолоджуючу суміш

з температурою T2 = 253К . Спочатку у посудинах за допомогою

p2 =1,4×103 Па . Знайти рівноважний тиск, що буде у посудинах після відкривання крана, якщо ємність посудини A V1 = 250см3 , а посудини B – V2 = 400см3 .

Розв’язання

Опишемо початковий та кінцевий стан системи за допомогою рівняння МенделєєваКлапейрона (2.1а). Далі з отриманої системи рівнянь знайдемо шуканий тиск p .

Позначимо через m1 та m2 маси повітря,

що містяться відповідно в посудині A та B у початковому стані. Тоді, використовуючи рівняння стану (2.1а), можемо записати для повітря в посудині A та посудині B у

початковому стані

Тут μ =29×10-3кг/моль – молярна маса повітря.

Після відкриття крана частина повітря масою m перейде з посудини B з більшим тиском у посудину A з меншим тиском ( p2 > p1 з умови задачі). Процес перетікання повітря

закінчиться , коли тиски в обох посудинах стануть однаковими. Таким чином, у кінцевому стані тиски в обох посудинах однакові і дорівнюють p , маса повітря газу в посудині B стане

менше m2 - Dm , а в посудині A – більше m1 + Dm на величину

m . Згідно з умовою задачі температура і об’єм посудин не змінюються. Тоді можемо записати рівняння Менделєєва-

11

Клапейрона для повітря в посудинах A та B у кінцевому стані у вигляді

Далі розв’язуємо систему чотирьох рівнянь (1), (2) відносно чотирьох невідомих ( m1 , m2 , m , p ) і знаходимо шуканий рівноважний тиск p :

одиницю вимірювання шуканої фізичної величини. Для цього в праву й ліву частини цього співвідношення замість символів фізичних величин підставимо їх одиниці вимірювання.

12

Тобто Па = Па . Таким чином, розрахункова формула (3) дає правильні одиниці вимірювання.

2 Запишемо фізичні величини, що входять в розрахункову формулу (3), в одиницях СІ й виконаємо обчислення:

p = p2V2T1 + p1V1T2 = V2T1 +V1T2

=1,4×103 ×400×10−6 ×373 + 5,3×102 ×250×10−6 ×253 =1,14 кПа. 1,4×103 ×373 + 5,3×102 ×253

3 Проведемо дослідження розрахункової формули у граничних випадках.

Коли б початковий тиск у посудині A дорівнював початковому тиску в посудині B ( p1 = p2 ), то при відкритті

крана перетікання газу не відбулось (різниця тисків у цьому випадку дорівнювала б нулю). Це означає, що рівноважний тиск у кінцевому стані p теж дорівнював би цим початковим

p = p0 = p1 = p2

Отже, розрахункова формула не суперечить фізичним міркуванням.

Відповідь: p = p2V2T1 + p1V1T2 =1,14 кПа.

V2T1 +V1T2

Приклад 1.4

Визначити найменший можливий тиск ν молей ідеального газу в процесі, що відбувається за законом T = T0 + aV 2 , де T0 і

α - додатні постійні; V - об’єм газу. Зобразити приблизний графік цього процесу в параметрах p, V.

13

підставимо відому з умови задачі залежність температури від об’єму і отримаємо

pV = nR(T0 + aV 2 )

або

Співвідношення (2) можемо розглядати як функціональну залежність тиску від об’єму. Проведемо дослідження функції p = p(V ) (2) на екстремум. Для цього знайдемо похідну від

тиску за об’ємом і прирівняємо її до нуля:

14

dVdp > 0 . Це означає, що при V =V1 має місце мінімум тиску.

Мінімальне значення тиску знайдемо, підставивши (4) в (2):

визначається співвідношенням (2). Аналізуючи формулу (2),

Наближений графік залежності p = p(V ) зображено на рис. 1.3. p

pmin

Рисунок 1.3

15

Аналіз отриманого результату

1 Перевіримо, чи дає розрахункова формула (5) правильну одиницю вимірювання шуканої фізичної величини. Для цього в праву й ліву частини цього співвідношення замість символів фізичних величин підставимо їх одиниці вимірювання.

Зрозуміло, що [ pmin ] = Па. Також, виходячи з умови задачі T = T0 + aV 2 , неважко з’ясувати, що коефіцієнт α у системі СІ

вимірюється в К/м6 . З іншого боку,

Тобто Па=Па. Таким чином, розрахункова формула (5) дає правильні одиниці вимірювання.

2 Проведемо дослідження розрахункової формули у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли коефіцієнт α у функціональній залежності температури від об’єму T = T0 + aV 2 прямує до нуля ( α → 0 ). У цьому випадку T » T0 , тобто температура в такому

процесі є сталою величиною. Такий процес є ізотермічним, тому згідно з рівнянням стану тиск залежить від об’єму обернено пропорційно p(V ) = nRT0 /V . З цього випливає, що мінімальне

значення тиску буде дорівнювати нулю ( pmin = 0 ), коли об’єм

Отже, розрахункова формула не суперечить фізичним міркуванням.

Відповідь: pmin = 2nRaT0 .

16

Приклад 1.5

Горизонтальний циліндр, який закрито з одного кінця, обертають із постійною кутовою швидкістю ω навколо вертикальної осі, що проходить через відкритий кінець циліндра. Тиск повітря зовні p0 , температура T , молярна маса

повітря μ . Знайти тиск повітря як функцію відстані r від осі

обертання. Молярну масу вважати незалежною від r .

Розв’язання

Коли горизонтальний циліндр починає обертатись, то відбувається зміщення молекул відносно цього циліндра. Причину зміщення

молекул легко зрозуміти, коли перейти в неінерційну систему відліку, що пов’язана з нерухомим горизонтальним циліндром. У цій системі на молекули діє відцентрова сила. Завдяки цій силі молекули зміщуються у бік від центра циліндра. Це, у свою чергу, приводить до збільшення тиску біля закритого кінця циліндра. Зміщення молекул припиняється, коли відцентрова сила врівноважується силою, яка виникає за рахунок зміни тиску із зміню відстані від осі обертання. Саме цю залежність тиску p = p(r) від відстані r і потрібно знайти в задачі.

Виділимо в горизонтальному циліндрі, який обертається з кутовою швидкістю ω навколо вертикальної осі, елементарний об’єм dV з повітрям (див. рис. 1.4). Для аналізу руху повітря, що міститься в цьому об’ємі, застосуємо 2-й закон Ньютона. З отриманого співвідношення знайдемо шукану залежність тиску повітря p(r) як функцію відстані r від осі обертання.

O′ω dr

17

Перейдемо до реалізації плану розв’язання задачі. Позначимо через S площу горизонтального циліндра, через r – відстань від осі обертання до досліджуваного об’єму dV , через dr – довжину елементарного об’єму dV (див. рис. 1.4). Тоді цей елементарний об’єм можемо записати у вигляді

Повітря, що міститься в елементарному об’ємі dV , рухається по колу з кутовою швидкістю ω . Це означає, що прискорення газу в цьому елементарному об’ємі dV є доцентровим. Воно дорівнює

Рисунок 1.5

Причиною цього прискорення є сили, які діють на газ в об’ємі dV (див. рис. 1.5): сила тяжіння dm× g ( dm - маса газу в

об’ємі dV ), сила реакції опори з боку циліндра dN , сила F1 з боку повітря, що міститься між віссю обертання OO′ та об’ємом dV , сила F2 з боку повітря, що міститься між об’ємом dV та

закритим кінцем горизонтального циліндра.

Через те що тиск змінюється, в точках, для яких відстань від осі обертання OO′ дорівнює r , цей тиск дорівнює p , а в

18

напрямку повітря не рухається). Масу газу в об’ємі dV знаходимо як

де густину газу знаходимо з рівняння Менделєєва-Клапейрона

(2.1а):

19

Співвідношення (10) і є шуканою залежністю цієї задачі.

Аналіз отриманого результату

1 Перевіримо, чи дає розрахункова формула (10) правильну одиницю вимірювання шуканої фізичної величини. Для цього в праву й ліву частини цього співвідношення замість символів фізичних величин підставимо їх одиниці вимірювання.

Зрозуміло, що [ p] = Па.

Також показник експоненти повинен бути безрозмірним. Перевіримо це:

Тобто Па=Па, показник експоненти є безрозмірним. Таким чином, розрахункова формула (10) дає правильні одиниці вимірювання.

2 Проведемо дослідження розрахункової формули у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли циліндр не обертається. Тобто його кутова швидкість дорівнює нулю ω=0. Зрозуміло, що в цій ситуації тиск у циліндрі не повинен змінюватись із зміною

Отже, розрахункова формула не суперечить фізичним міркуванням.

Відповідь: p = p0 exp(mw2r2 / 2RT) .

20