pg_met_pr2

Зрозуміло, що молярна теплоємність [C] =Дж/(моль·К). Також, виходячи з умови задачі p = p0eaV , T = T0eaV , неважко з’ясувати, що коефіцієнт a у системі СІ вимірюється в 1/м3.

розрахункова формула (5) дає правильні одиниці вимірювання. Зрозуміло, що молярна теплоємність [C] =Дж/(моль·К).

З іншого боку,

Тобто Дж/(моль·К)=Дж/(моль·К). Таким чином, розрахункова формула (7) дає правильні одиниці вимірювання.

2 Проведемо дослідження розрахункової формули у граничних випадках.

Розглянемо випадок (а), коли в співвідношенні T = T0 ×eaV стала a дорівнює нулю ( a = 0 ). Це означає, що процес є

відомо, при ізотермічному процесі теплоємність дорівнює

відомо, молярна теплоємність для процесу при постійному тиску відповідно до рівняння Маєра дорівнює Cp = CV + R . З

41

розрахункової формули (7) випливає такий самий результат.

Отже, розрахункова формула (7) не суперечить фізичним міркуванням.

Відповідь: а) C = CV + R / aV ; б) C = CV + R /(1+ aV ) .

Приклад 2.5

Дві теплоізольовані посудини місткістю V1 =1л та V2 = 3л з’єднані трубкою з краном. До відкриття крана у першій

рівноважні значення тиску та температури, якщо відкрити кран?

Розв’язання

Після відкриття крана азот та аргон рівномірно розподіляться в системі двох посудин. При цьому завдяки перемішуванню газів установлюються рівноважна температура T та рівноважний тиск p . Цей

рівноважний тиск p згідно з законом Дальтона буде дорівнювати сумі парціальних тисків азоту p1¢ та аргону p¢2 :

Для знаходження рівноважної температури T слід взяти до уваги, що система двох посудин теплоізольована. Це означає, що теплообмін з навколишніми тілами відсутній ( Q = 0 ). Об’єм

системи двох посудин не змінюється. Це означає, що робота газів над зовнішніми тілами дорівнює нулю ( A = 0 ). Тому, виходячи з першого закону термодинаміки, можемо записати для системи газів

Q = DUсист + А , Q = 0 , A = 0 ,

42

де DUсист - зміна внутрішньої енергії системи. Звідси знаходимо

Тобто внутрішня енергія системи газів в умовах даної задачі не змінюється.

Таким чином, для розв’язання задачі необхідно використати умову збереження внутрішньої енергії газів, закон Дальтона та рівняння ідеального газу (2.1а).

Рисунок 2.3

Перейдемо до безпосереднього розв’язання задачі. Знайдемо рівноважний тиск p , виходячи з співвідношення (1).

Позначимо через m1 та m1 відповідно масу та молярну масу азоту, а через m2 та m2 відповідно масу та молярну масу аргону.

Тоді парціальні тиски газів у кінцевому стані будуть дорівнювати

Тут використали рівняння ідеального газу (2.1а), а також те, що обидва гази рівномірно розподілились в об’ємі двох посудин V1 +V2 , через T позначили рівноважну температуру. Щоб

43

Тоді рівноважний тиск p знайдемо, підставляючи в (1) формули (3) та (4):

Знайдемо рівноважну температуру T . Для цього використаємо те, що повна внутрішня енергія газів згідно з (2) не змінюється. Вона однакова в початковому та кінцевому станах:

Тут через U1 та U2 позначено внутрішні енергії азоту та аргону в початковому стані, U1¢ та U2¢ –внутрішні енергії азоту та

аргону в кінцевому стані. Внутрішні енергії в початковому стані азоту та аргону відповідно дорівнюють

Внутрішні енергії азоту та аргону в кінцевому стані відповідно дорівнюють

44

Для отримання співвідношень (7), (8) використали формулу (2.2в). У формулах (7) та (8) g1 та g2 - сталі адіабати для азоту

та аргону відповідно. Як відомо, ці сталі пов’язані з кількістю ступенів вільності молекули газу такими співвідношеннями:

Азот – двоатомний газ, для якого кількість ступенів вільності i1 = 5 . Аргон – одноатомний газ, для якого кількість ступенів

вільності i2 = 3. Тому

Далі підставляємо (7), (8) в (6) і знаходимо

Тепер у (9) підставимо (4) і отримуємо розрахункову формулу рівноважної температури T у кінцевому стані

Тиск газів у кінцевому стані знаходимо, підставивши в (5) знайдену рівноважну температуру (10):

45

Аналіз отриманого результату

1 Перевіримо, чи дають розрахункові формули (10) та (11) правильні одиниці вимірювання шуканої фізичної величини. Для цього в праву й ліву частини цих співвідношень замість символів фізичних величин підставимо їх одиниці вимірювання.

Зрозуміло, що [T] = К.

Тобто Па=Па. Таким чином, розрахункова формула (11) дає правильні одиниці вимірювання.

2 Запишемо фізичні величини, що входять в розрахункові формули (10) та (11), в одиницях СІ й виконаємо обчислення:

46

=1,23×105 Па.

3 Проведемо дослідження розрахункової формули у граничних випадках.

Розглянемо випадок, коли тиски та температури газів у вихідному стані є однаковими ( p1 = p2 , T1 = T2 ). Зрозуміло, що

в цьому випадку після відкриття крана тиск та температура змінюватись не будуть. Тобто в кінцевому стані рівноважні тиск та температура будуть такими самими, як і у вихідному стані ( p = p1 = p2 ). З розрахункової формули випливає такий самий

результат. Коли p1 = p2 , T1 = T2 , то

47

Отже, розрахункові формули не суперечать фізичним

2.2 Задачі для самостійного розв’язання

2.1Обчислити питомі теплоємності сv і сp газів: 1) гелію; 2) водню; 3) вуглекислого газу.

2.2Різниця питомих теплоємностей cV - cp деякого

двоатомного газу дорівнює 260 Дж/(кг×К). Знайти молярну масу

μгазу та його питомі теплоємності cV і cp .

2.3Які питомі теплоємності сv і сp суміші газів, що містить кисень масою m1=10 г і азот масою m=20 г?

2.4Визначити питому теплоємність сv суміші газів, що містить V1=5 л водню і V2=3 л гелію. Гази знаходяться в однакових умовах.

2.5Визначити питому теплоємність сp суміші кисню і азоту,

48

2.6У балоні містяться аргон і азот. Визначити питому

теплоємність сv суміші цих газів, якщо масові частини аргону (ω1) і азоту (ω2) однакові і дорівнюють ω=0,5.

2.7Суміш газів складається з хлору і криптону, взятих в однакових умовах і в однакових об'ємах. Визначити питому теплоємність сp суміші.

2.8Визначити питому теплоємність сv суміші ксенону і кисню, якщо кількості речовини газів у суміші однакові і дорівнюють ν .

2.9Знайти показник адіабати γ для суміші газів, що містить гелій масою m1=10 г і водень масою m2=4 г.

2.10Суміш газів складається з аргону і азоту, взятих в однакових умовах і в однакових об'ємах. Визначити показник

адіабати γ такої суміші.

2.11Знайти показник адіабати γ суміші водню і неону, якщо масові частини обох газів у суміші однакові і дорівнюють ω=0,5.

2.12Знайти показник адіабати γ суміші газів, що містить кисень і аргон, якщо кількості речовини того й іншого газу в суміші однакові і дорівнюють ν .

2.13 На нагрівання кисню масою m=160 г на T=12 К було витрачено кількість теплоти Q=1,76 кДж. Як проходив процес: при постійному об'ємі або постійному тиску?

2.14 При адіабатному стисканні газу його об'єм зменшився в n=10 разів, а тиск збільшився в k=21,4 разів. Визначити відношення Cp /CV теплоємностей газів.

2.15Водень масою m=4 г був нагрітий на T=10 К при постійному тиску. Визначити роботу А, яку виконує газ під час розширення.

2.16Газ, що займав об'єм V1=12 л під тиском p=100 кПа, був ізобарно нагрітий від температури T1=300 К до T2 =400 К. Визначити роботу розширення газу А.

2.17Яка робота А виконується при ізотермічному розширенні водню масою m=5 г, узятого при температурі T=290 К, якщо об'єм газу збільшується в три рази?

49

2.18 При адіабатному стисканні кисню масою m=1 кг здійснена робота А =100 кДж. Визначити кінцеву температуру T2 газу, якщо до стискання кисень знаходився при температурі

T1=300 К.

2.19 Визначити роботу А адіабатного розширення водню масою m=4 г, якщо температура газу зменшилась на T=10 К.

2.20 Азот масою т=2 г, мав температуру T1=300 К, був адіабатично стиснутий так, що його об'єм зменшився в n=10 разів. Визначити кінцеву температуру T2 газу і роботу А на стискання газу.

2.21Кисень, що займав об'єм V1=l л під тиском p1=1,2 МПа, адіабатично розширився до об'єму V2=10 л. Визначити роботу розширення газу А.

2.22Азот масою m=5 кг нагріли на T=150 К при постійному об'ємі. Знайти: 1) кількість теплоти Q, що надана

газу; 2) зміну U внутрішньої енергії; 3) виконану газом роботу

А.

2.23 Водень займає об'єм V1=10 м3 при тиску p1=100 кПа. Газ нагріли при постійному об'ємі до тиску p2=300 кПа. Визначити: 1) зміну U внутрішньої енергії газу; 2) роботу А, виконану газом; 3) кількість теплоти Q, одержану газом.

2.24При ізохорному нагріванні кисню об'ємом V=50 л тиск газу змінився на p=0,5 МПа. Знайти кількість теплоти Q, одержану газом.

2.25Балон ємністю V=20 л містить водень при температурі

T=300 К під тиском p=0,4 МПа. Якими будуть температура T1 і тиск p1, якщо газу передати кількість теплоти Q=6 кДж?

2.26Кисень нагрівається при постійному тиску р=80 кПа. Його об'єм збільшується від V1=1 м3 до V2=3 м3. Визначити:

1)зміну U внутрішньої енергії кисню; 2) роботу А, що виконана ним при розширенні; 3) кількість теплоти Q, одержану газом.

2.27Азот нагрівається при постійному тиску. При цьому йому було надано кількість теплоти Q=21 кДж. Визначити

50