2.Гидродинамические уравнения идеальной жидкости

Будем исходить из гидродинамических уравнений идеальной жидкости, записанных в форме законов сохранения массы, импульса и энергии:

(1)

где — плотность,— скорость жидкости,— давление,— энергия единицы объема,— тепловая функция единицы массы.

Первое из уравнений- это уравнение непрерывности. Рассмотрим некоторый объем пространства. Количество жидкости в этом объеме. Через элемент поверхности, ограничивающей этот объем в единицу времени вытекает жидкости.Векторпо абсолютной величине равен площади элемента поверхности и направлен по нормали к ней. Полное количество жидкости, вытекающей в единицу времени из данного объема есть

С другой стороны уменьшение количесва жидкости в объеме можно написать в виде

Приравнивая эти два выражения и преобразуя интеграл по поверхности к интегралу по объему получим:

и окончательно,

.

Второе уравнение- это уравнение потока импульса. Импульс единицы объёма жидкости есть . Скорость его изменения:. Вычисления производятся в тензорных обозначениях. Имеем:

.

Воспользуемся уравнением непрерывности, записав его в виде:

и уравнением Эйлера в форме:

.

Получим:

.

Первый член справа запишем в виде

и находим окончательно:

, .

3.Флуктуации.Разложение уравнений с точностью до квадратичных членов

Наличие тепловых флуктуации обусловливает появление малых поправок к гидродинамическим величинам, осциллирующих в пространстве и во времени. Для дальнейшего важно выяснить соотношение между волновыми векторами флуктуации, играющих основную роль, и волновым векторомгидродинамического движения. Пусть для определенности интересующим нас гидродинамическим движением является звуковая волна. Из полученных ниже формул видно, что основной вклад в поправочные члены вносят такие флуктуации, время затухания которых порядка обратной частоты гидродинамического движения. Поскольку время затухания любых флуктуации в жидкости обратно пропорционально квадрату волнового вектора, а частота звука пропорциональна первой степени, можно считать, что . Будем поэтому производить усреднение всех величин по объемам, линейные размеры которых значительно меньше , но значительно больше. Все линейные по амплитудам флуктуаций величины обращаются после такого усреднения в нуль:

,

и интересующий нас эффект возникает лишь во втором приближении по амплитуде флуктуации.

Произвольное малое возмущение в жидкости является суперпозицией звуковых, энтропийных и вихревых волн. Если в качестве независимых термодинамических переменных выбрать давление и энтропию единицы массы, то звуковые флуктуации соответствуют колебаниям давления и продольной части скорости , энтропийные флуктуации — колебаниям, вихревые — колебаниям поперечной части скорости при постоянных остальных переменных. Поскольку различные типы флуктуации можно считать статистически независимыми, средние значения от некоторых квадратичных комбинаций обращаются в нуль.

Например,

Разлагая уравнения (1) с точностью до квадратичных по амплитудам флуктуации членов и производя указанное выше усреднение, получим

(2)

где мы пренебрегли членами, не дающими вклада в интересующие нас линеаризованные уравнения.

Входящая в первое из уравнений (2) величина

(3)

является средней перенормированной плотностью жидкости. Аналогичным образом легко определить среднюю энтропию единицы объема:

(4)

и среднюю скорость

Если выбрать перенормированные величины ,ив качестве новых независимых переменных, то можно переписать уравнения (2) в следующем виде:

(5)

где— скорость звука,—теплоемкость единицы массы при постоянном давлении. Представим флуктуации в виде разложений:

где —нормировочный объем,—единичные взаимно перпендикулярные векторы, лежащие в плоскости, перпендикулярной направлению волнового вектора, и удовлетворяющие условиюи введем функции распределения звуковых,

энтропийных,

и вихревых,

флуктуации.

Входящие в уравнения (5) средние значения выражаются через функции распределения следующим образом:

где . Подставляя эти формулы в уравнения (5), получим после простых преобразований

(6)

где введена перенормированная энтропия единицы массы.

В последнее из уравнений (6) под знаком временной производной кроме энтропии входит комбинация функций распределения, которая представляет собой «комбинаторную» энтропию флуктуации. Для дальнейшего удобно произвести еще одну перенормировку энтропии, включив в нее комбинаторную энтропию. Кроме того, во все уравнения вместо функций распределения можно подставить их отклонения ,,от равновесных значений, поскольку равновесные флуктуации можно включить в определение термодинамических функций. В результате уравнения приобретают следующий вид:

(7)

Функция распределения звуковых флуктуации удовлетворяет обычному уравнению Больцмана

где—-теплоемкость единицы массы при постоянном объеме,— коэффициенты первой и второй вязкости,—коэффициент теплопроводности. Полагая, где—равновесная функция распределения, и линеаризуя кинетическое уравнение, найдем

(8)

где .

Входящие в правую часть уравнения (8) временные производные можно выразить через пространственные производные от скорости с помощью линеаризованных уравнений идеальной жидкости:

Неравновесная часть звуковой функции распределения, таким образом, равна

(9)

где — частота и волновой вектор рассматриваемого гидродинамического движения.

В случае, когда мы интересуемся линеаризованными уравнениями, его можно записать в виде

где — коэффициент температуропроводности. Равновесная функция равна . Отсюда тем же способом, что и выше, найдем неравновесную часть энтропийной функции распределения:

(10)

Функция распределения вихревых флуктуации удовлетворяет уравнению

откуда находим неравновесную часть :

(11)

При подстановке выражения (9) в последнее, например, из уравнений (7) под знаком дивергенции возникает, в частности, интеграл вида

Этот интеграл расходится в области больших , разность жеконечна. Величина определяет вклад звуковых флуктуации в поток тепла при наличии постоянного в пространстве и во времени градиента температуры, т. е. вклад в статический коэффициент теплопроводности. Ясно, что регуляризация расходящегося интеграла должна заключаться в перенормировке коэффициента теплопроводности и вычитании из интеграла его значения при . Легко видеть, что все расходящиеся интегралы, получающиеся при подстановке формул (9) — (11) в уравнения (7), могут быть аналогичным образом регуляризованы путем перенормировки статических кинетических коэффициентов.