- •Глава I.
- •§1.1. Матрицы и операции над ними.
- •§1.2. Определители. Теорема Лапласа.
- •§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.
- •Глава II. Линейные пространства и
- •§2.1. Арифметическое линейное пространство .
- •§2.2. Ранг матриц.
- •§2.3. Системы линейных уравнений.
- •Глава 3.
- •§3.1. Матрицы линейных операторов.
- •§3.2. Ранг и дефект линейного оператора.
- •§3.3. Характеристические корни и собственные значения.
- •Глава 4.
- •§4.1. Группы, кольца, поля.
- •§4.2. Поле комплексных чисел.
- •§4.3. Поля вычетов.
- •§4.4. Кольца многочленов.
- •Глава I. Матрицы и определители. 5
Глава 4.
ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.
§4.1. Группы, кольца, поля.
Будем говорить, что в множестве определёнзакон композиции, если задано отображение упорядоченных пар элементов изв множество(бинарная операция на множестве). При этом элементиз, сопоставленный с помощью отображенияв соответствие элементамиз, называетсякомпозицией этих элементов.
Композиция элементовиобозначается символом:
.
Для композиции элементов множестваиспользуются и другие формы записи. Наиболее употребительными являютсяаддитивная форма записи имультипликативная форма записи (или). В случае аддитивной записи композиции соответствующий закон называютсложением, а при мультипликативной форме умножением.
Множество элементов, в котором определён закон композиции, называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементовмножестваопределённый элементэтого множества, называетсяаддитивной группой (обозначается ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:
(ассоциативность).
Существует элемент множестватакой, что для любого элементаэтого множества(существованиенейтрального (нулевого) элемента).
Для любого элемента множествасуществуетпротивоположный элемент такой, что.
В случае мультипликативной формы записи получим определение мультипликативной группы (обозначается ), нейтральный элемент которой называетсяединичным, а противоположный обратным .
Если закон композиции, действующий в группе , удовлетворяет следующему требованию:
4. (коммутативность),
то группа называетсякоммутативной или абелевой.
Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).
ТЕОРЕМА 1. Если , то.
Доказательство. Пусть противоположный элемент для элемента : .Тогда , т. е. . Следовательно, .Теорема доказана.
ТЕОРЕМА 2. Для любого элемента группы справедливо соотношение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 и, кроме того,. Поэтому , т. е..□
ТЕОРЕМА 3. Если и, то.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как ,то противоположный элемент для , и поэтому, согласно теореме 1,. Имеем далее .□
Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия.
СЛЕДСТВИЕ 1. Противоположным элементом для элемента служит элемент. Или, иначе, элементявляется как правым, так и левым противоположным элементом для элемента(т. е. и).
СЛЕДСТВИЕ 2. В любой группе уравнения иоднозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементыи.
СЛЕДСТВИЕ 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (нуль группы) (если и, то).
Пример 1. Множество целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является целое число, а обратным дляслужит целое число.
Пример 2. Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно. Нейтральный элемент, а обратным элементом для числаслужит вещественное число.
Пример 3. Взаимно однозначное отображение множествана себя называетсяподстановкой из элементов, При этом всякий элемент множествапереходит в элемент, обратная подстановкапереводитв. Подстановка для любого множества называетсятождественной подстановкой. Во множестве подстановок естественным образом определяется закон композиции: еслииподстановки, то последовательное проведение этих подстановок представляет собой некоторую подстановку. Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество содержит тождественную подстановку, обратную подстановку для каждой своей подстановкии вместе с любыми двумя подстановкамииих композицию, то, очевидно,представляет собой группу.
Множество элементов, в котором определены законы композиции, называемые сложением и умножением, называетсякольцом (обозначается ), если эти законы удовлетворяют следующим требованиям:
коммутативная группа.
(ассоциативность).
и (дистрибутивность умножения относительно сложения).
Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце имеется единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы называются делителями нуля нейтрального элемента относительно , еслии, но.
Пример 4. Множество целых чисел относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число.
Пример 5. Множество квадратных матриц порядка относительно сложения и умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для матриц были отмечены в §. Нейтральным элементом по сложению является нулевая квадратная матрица порядка , нейтральным элементом по умножению единичная матрица порядка .
Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым, т.е. для любого существует , такой, что,называется полем.
ТЕОРЕМА 4. Для любого элемента поля :, гденейтральный элемент по сложению.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. . Таким образом,является нейтральным элементом по сложению, т. е. .
ТЕОРЕМА 5. В поле нет ненулевых делителей нуля.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если и, то существует обратный элемент, обратный к. Тогда. Но. Отсюда.□
Пример 6. Множество рациональных чисел с операциями сложения и умножения образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального, существует так же рациональный обратный элемент.