§3.2. Ранг и дефект линейного оператора.

Для доказательства основной теоремы этого параграфа потребуется понятие прямой суммы подпространств.

Пусть и– два подпространства линейного пространства. Ихсуммой называется множество всех векторов, гдеи, т.е.

Легко проверить, что также будет подпространствомL.

Сумма называетсяпрямой, если из того, что , гдеиследует, чтои.

Определим также и пересечение двух подпространств которое также будет подпространством. Именно

и

ТЕОРЕМА (о прямых суммах подпространств). Сумма подпространств ибудет прямой тогда и только тогда, когда.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – прямая сумма подпространстви, но есть вектортакой, что Тогда, так как также является подпространством, то, и получается, что нулевой вектор можно представить двумя различными способами. Таким образом, приходим к противоречию определения прямой суммы.

Обратно, пусть , но суммане прямая. Значит найдетсяитакие, что, ноТак каки, тосодержит ненулевой векторОпять приходим к противоречию. □

ТЕОРЕМА (о размерности суммы двух подпространств). Размерность суммы двух подпространств пространства равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и– подпространства,и их размерности, а размерность их пересечения. Рассмотрим некоторый базис, скажем, и дополним его до базисовипространстви.

Докажем, что система

, (3)

состоящая из векторов является базисом подпространства, тем самым будет доказана и теорема.

Ясно, что любой вектор и, а значит и векторлинейно выражается через векторы системы (3), т.к. содержит базисыи. Осталось проверить, что система (3) линейно независима. Предположим, что

(4)

Пусть Понятно, что. Но

. (5)

Правая часть этого равенства есть вектор из , т.е.. Окончательно,. Значит в выражении (5) отсутствуют члены ст.е.. Отсюда и из (4) заключаем, что

.

Так как система является базисом, то она линейно независима и поэтому□

Если сумма прямая, то размерностьпо теореме о прямых суммах равна 0, и поэтому получаем

СЛЕДСТВИЕ. Размерность прямой суммы двух подпространств равна сумме их размерностей. □

Пусть линейный оператори

Нетрудно проверить, что иподпространства, называемыеобластью значений и ядром линейного оператора . Размерностьназываетсярангом, а размерность дефектом .

ТЕОРЕМА (о ранге и дефекте). Сумма ранга и дефекта линейного оператора φ равна размерности пространства .

ДОКАЗАТНЛЬСТВО. Пусть иранг и дефект. Выберем вбазиси обозначим черезвекторы такие, что

Они линейно независимы, т.к. из равенства следует, чтоа посколькулинейно независимы, то

Обозначим через подпространство, порожденное векторамиОни образуют базиси поэтому размерность подпространстваравна . По предыдущему следствию достаточно теперь доказать, что является прямой суммойи. покажем, чтоЛюбой векторимеет видЕсли, то, т.е.. Но векторылинейно независимы и поэтому, откуда.

Покажем теперь, что . Возьмем вектор. Нои поэтомуПустьи. Так как, то. Следовательно. Имеем, гдеи, что и требовалось доказать. □