- •Глава I.
- •§1.1. Матрицы и операции над ними.
- •§1.2. Определители. Теорема Лапласа.
- •§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.
- •Глава II. Линейные пространства и
- •§2.1. Арифметическое линейное пространство .
- •§2.2. Ранг матриц.
- •§2.3. Системы линейных уравнений.
- •Глава 3.
- •§3.1. Матрицы линейных операторов.
- •§3.2. Ранг и дефект линейного оператора.
- •§3.3. Характеристические корни и собственные значения.
- •Глава 4.
- •§4.1. Группы, кольца, поля.
- •§4.2. Поле комплексных чисел.
- •§4.3. Поля вычетов.
- •§4.4. Кольца многочленов.
- •Глава I. Матрицы и определители. 5
Глава II. Линейные пространства и
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§2.1. Арифметическое линейное пространство .
Рассмотрим множество всех(строк изэлементов) действительных чисел. Введем на этом множестве умножение числа наи сложениетак:
Ниже будем называтьвекторами, и обозначать латинскими буквами возможно с нижними индексами. Исключение составит нулевой вектор. Числа избудем обозначать греческими буквами
Множество , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуютарифметическое линейное пространство или - мерным векторным пространством.
Непосредственно из определения следуют такие свойства сложения векторов в :
Умножение числа на вектор обладает следующими свойствами:
Из этих свойств следует, что в сумме нескольких векторов не обязательно расставлять скобки (свойство 1) и она не зависит от порядка следования слагаемых (свойство 4). В сумме векторов можно приводить подобные члены, т.е. , а также в равенстве двух сумм переносить вектор из одной части в другую с противоположным знаком.
Справедливы также следующие два утверждения:
(1) .
Действительно,
.
(2) .
Действительно,
.
Вектор вида называетсялинейной комбинацией векторов (с коэффициентами). Говорят, что система векторовявляетсялинейно независимой, если для любых чисел равенствовлечет, что. В противном случае система векторовназыватьсялинейно зависимой. Равносильно, система векторов линейно зависима, если найдутся числа, не все из которых равны, но. Равенствоможно выразить словами: линейная комбинация векторовс коэффициентамиравна нулевому вектору.
ЛЕММА 1 (о линейно зависимых системах). Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из них линейно выражается через предыдущие (тем более, через оставшиеся).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть , но не все числаравны, а- наибольший из индексов таких, что.
Тогда , откуда
Обратно, пусть .
Тогда и видно, что в этой линейной комбинации векторов, которая равна нулевому вектору, коэффициент прине равен нулю.□
Система векторов называетсясистемой порождающих (или образующих) линейного пространства , если любой вектор изравен подходящей их линейной комбинации.
ЛЕММА 2 (о порождающих). Если система порождающих линейно зависима, то из неё можно удалить подходящий вектор такой, что оставшаяся система векторов также будет системой порождающих.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если система порождающих линейно зависима, то по лемме 1 в ней найдётся некоторый вектор, который выражается через:
(1)
Так как для всякого найдутся числатакие, что
. (2)
Подставляя в равенство (2) вместо его выражение из (1), раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, убедимся в справедливости утверждения леммы.□
Линейно независимая система порождающих называется базисом .
Нетрудно понять, что следующая система векторов будет базисом в :
Действительно, она линейно независима, т. к. никакой вектор в ней не может быть выражен через предыдущие. С другой стороны, вектор имеет види тогда
.
Аналогично, для любого всуществует базис извекторов, называемых единичными:
ТЕОРЕМА (о базисах). Любые два базиса линейного пространства состоят из одного итого же числа векторов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть даны два базиса линейного пространства и, причем. Рассмотрим систему
.
Она линейно зависима по лемме 1, т.к. выражается через, но разумеется также является системой порождающих. По лемме 2 из нее можно вычеркнуть некоторый вектор, выражающийся через предыдущие, получив систему порождающих
(3)
Рассмотрим систему порождающих
(4)
которая линейно зависима, т.к. выражается через систему (3). По лемме 2 из нее можно вычеркнуть некоторый вектор, линейно выражающийся через предыдущие, получив систему порождающих
При этом вектор (и) не будет вычеркнут, т.к. в системеникакой вектор не выражается через предыдущие. Затем, рассматриваем систему порождающих
и продолжаем аналогичную процедуру. Т.к. , то в конце концов получим систему порождающих
(5)
причем . Следовательно, векторлинейно выражается через систему векторов (5), что противоречит линейной независимости□
СЛЕДСТВИЕ 1. В пространстве любые два базиса состоят изn векторов. □
СЛЕДСТВИЕ 2. Любая линейно независимая система векторов дополняема до базиса.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Припишем к линейно независимой системе векторов справа векторы, составляющие базис, получив систему. Теперь начнем из этой системы вычёркивать, пока это возможно, векторы, линейно выражающиеся через предыдущие. По лемме 1 векторы видавычеркнуты быть не могут, а по лемме 2 оставшаяся система будет и системой порождающих. □
СЛЕДСТВИЕ 3. Каждая система порождающих содержит базис. Доказательство аналогично предыдущему. □
СЛЕДСТВИЕ 4. В мерном линейном пространстве любыевекторов образуют линейно зависимую систему.
Доказательство следует из следствия 1 и теоремы о базисах. □
Линейно независимая система векторов называется максимальной, если при добавлении к ней еще одного вектора она становится линейно зависимой. Поэтому базис можно определить как максимальную линейно независимую систему векторов.