§4.3. Поля вычетов.

Пусть множество всех остатков от деления целых чисел на натуральное число, т. е..Суммой (произведением) двух элементов будем считать остаток от деления этой суммы (произведения) на число . Рассмотрим полученную структуру.

ТЕОРЕМА 6. Если составное, тоне является полем.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть составное, т. е. , гдеи. Тогда по модулю получаем , нои. Так как в поле такого быть не может (теорема 5), то при составном остатки с операциями по модулю не образуют поля. □

Покажем теперь, что в случае простого , является полем. Вначале заметим следующее. Пусть и— два целых числа, остатки от деления их на , т. е. и. Тогдаи, откуда получаем, что числаи, а также числаидают при делении на одинаковые остатки. Другими словами, мы получим одинаковый результат, если сначала возьмем остатки от деления инаи потом сложим (или умножим) их по модулю, или, если мы сначала сложим (или умножим)и, как обычные натуральные числа, а затем возьмем остаток от деления полученного числа на. Таким образом, при вычислении некоторого выражения с операциями по модулюможно не брать остаток от деления напосле каждой операции, а произвести вычисления сначала как с обычными натуральными числами и обычными операциями и только в конце взять остаток от деления полученного числа на. Это позволяет утверждать, что операции сложения и умножения ассоциативны и коммутативны, а также справедлива дистрибутивность умножения относительно сложения.

Нейтральным элементом по сложению является , а единичным элементом по умножению . Остается показать, что припростом у каждого остатка, отличного от, есть обратный, т. е. что найдется остатоктакой, чтопо модулю. Итак, пусть. Рассмотрим числа

(умножение обычное).

Разность любых двух из этих чисел не делится на, так какпростое, аи. Таким образом, все этичисел дают разные и, следовательно, всевозможные остатки при делении на. Значит, одно из этих чисел дает при делении наостаток, т. е.по модулюдля некоторого остатка.

Таким образом, при простом все свойства поля выполняются.

В качестве примера приведём таблицы сложения и умножения элементов поля вычетов по модулю 5.

	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3
	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

По этим таблицам также можно получить разность и частное любых двух элементов.

§4.4. Кольца многочленов.

Пусть произвольное поле. Черезобозначим множество многочленов отс коэффициентами из. Многочлен имеет вид:

.

Если коэффициент отличен от нулевого элемента поля, то его называютстаршим коэффициентом , а числостепенью многочлена. Сами ненулевые элементы поля будут являться многочленами нулевой степени, а нулевой элемент многочленом неопределённой степени.

Если все коэффициенты многочлена  комплексные числа, то называют множеством многочленов над полем комплексных чисел. Определим во множествеоперации сложения и умножения следующим образом. Для произвольных многочленови, таких что:

и , ихсуммой назовём многочлен

,

коэффициенты которого получаются сложением коэффициентов многочленов и, стоящих при одинаковых степенях неизвестного, т. е.причём прикоэффициентыследует считать равными нулю.Степень суммы будет равна , если больше, но при она может случайно оказаться меньше, а именно в случае .

Произведением многочленов и называется многочлен

,

коэффициенты которого определяются следующим образом:

,

т. е. коэффициент есть результат перемножения таких коэффициентов многочленов и, сумма индексов которых равна , и сложения всех таких произведений; в частности, . Из последнего равенства вытекает неравенствои поэтомустепень произведения, двух многочленов равна сумме степеней этих многочленов. Отсюда следует, что произведение многочленов, отличных от нуля, никогда не будет равным нулю.

Какими свойствами обладают введенные нами операции для многочленов? Коммутативность и ассоциативность сложения немедленно вытекают из справедливости этих свойств для сложения чисел, так как складываются коэффициенты при каждой степени неизвестного отдельно. Вычитание оказывается выполнимым: роль нуля играет число нуль, включенное нами в число многочленов, а противоположным для записанного выше многочлена будет многочлен

Коммутативность умножения вытекает из коммутативности умножения чисел и того факта, что в определении произведения многочленов коэффициенты обоих множителей и используются совершенно равноправным образом. Ассоциативность умножения доказывается следующим образом: если, помимо многочленов и, дан еще многочлен

,

то коэффициентом при в произведении будет служить число

,

а в произведении  равное ему число

.

Наконец, справедливость закона дистрибутивности вытекает из равенства

,

так как левая часть этого равенства является коэффициентом при в многочлене, а правая часть  коэффициентом при той же степени неизвестного в многочлене .

Заметим, что роль единицы при умножении многочленов играет число 1, рассматриваемое как многочлен нулевой степени. С другой стороны, многочлен тогда и только тогда обладает обратным многочленом ,

(1),

если является многочленом нулевой степени. Действительно, если является отличным от нуля числом , то обратным многочленом служит для него число. Если же имеет степень , то степень левой части равенства (1), если бы многочлен существовал, была бы не меньше , в то время как справа стоит многочлен нулевой степени. Отсюда вытекает, что для умножения многочленов обратная операция  деление  не существует.

Следовательно, множество с введёнными таким образом операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, но не поле. Это же утверждение будет справедливо для многочленов над произвольным полем.

ТЕОРЕМА 7. Для любых двух многочленов иможно найти такие многочленыи, что

, (2)

причем степень меньше степениили же. Многочлены и, удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем сперва вторую половину теоремы. Пусть существуют еще многочлены и, также удовлетворяющие равенству

, (3)

причем степень снова меньше степени (или же ). Приравнивая друг другу правые части равенств (2) и (3), получим:

.

Степень правой части этого равенства меньше степени , степень же левой части была бы при больше или равна степени . Поэтому должно быть , т. е. , а тогда и .

Переходим к доказательству первой половины теоремы. Пусть многочлены и имеют соответственно степени и.

Если , то можно положить,. Если же , то воспользуемся индукцией по степени . Пусть утверждение справедливо для степеней, меньших. Положив

,

получим многочлен, степень которого меньше . По предположению индукции, существуют многочлены и такие, что , где степень строго меньше степени . Тогда

. □

Как и в случае чисел, и называют соответственно частным и остатком от деления на . Если , то говорят, что делит или делится на (без остатка). В этом случае многочлен называется делителем многочлена .

Очевидно, что многочлен тогда и только тогда будет делителем многочлена , если существует многочлен , удовлетворяющих равенству

.

Действительно, если является делителем для , то в качестве следует взять частное от деления на . Обратно, пусть такой многочлен существует. Из единственности многочленов и , удовлетворяющих равенству

и условию, что степень меньше степени , в нашем случае следует, что частное от деления на равно , а остаток равен нулю.

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов, которые найдут в дальнейшем многочисленные применения.

Свойство 1. Если делится на , a делится на , то будет делиться на .

В самом деле, по условию и , а поэтому .

Свойство 2. Если и делятся на , то их сумма и разность также делятся на .

Действительно, из равенств и вытекает .

Свойство 3. Если делится на , то произведение на любой многочлен также будет делиться на .

Действительно, если , то.

Из свойств 2 и 3 вытекает:

Свойство 4. Если каждый из многочленов делится на , то на будет делиться и многочлен

,

где произвольные многочлены.

Свойство 5. Всякий многочлен делится на любой многочлен нулевой степени.

Действительно, если , а произвольное число, не равное нулю, т. е. произвольный многочлен нулевой степени, то

.

Свойство 6. Если делится на , то делится и на ,где произвольное число, отличное от нуля.

В самом деле, из равенства следует равенство .

Свойство 7. Многочлены ,, и только они будут делителями многочлена , имеющими такую же степень, что и .

Действительно, , т. е. делится на . Если, с другой стороны, делится на , причем степени и совпадают, то степень частного от деления на должна быть равной нулю, т. е. , ,откуда .

Отсюда вытекает следующее свойство:

Свойство 8. Тогда и только тогда многочлены , одновременно делятся друг на друга, когда .

Наконец, из свойств 8 и 1 вытекает:

Свойство 9. Всякий делитель одного из двух многочленов , ,где , будет делителем и для другого многочлена.

Пусть даны произвольные многочлены и . Многочлен будет называться общим делителем для и , если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Свойство 5 показывает, что к числу общих делителей многочленов и принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называются взаимно простыми.

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов и называется такой многочлен , который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель, этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов и символом .

Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов и . Положительный ответ на этот вопрос, а так же метод для практического разыскания наибольшего общего делителя даёт алгоритм последовательного деления или алгоритм Евклида, который состоит в следующем. Пусть даны многочлены и. Делимнаи получаем некоторый остаток. Делим затемнаи получаем остаток, делимнаи т. д. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы должны дойти до такого места, на котором деление совершится нацело и поэтому процесс остановится.

ТЕОРЕМА 8. Тот остаток , на который нацело делится предыдущий остаток, ибудет наибольшим общим делителем многочленов и .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства запишем изложенное в предыдущем абзаце в виде следующей цепочки равенств:

(4)

Последнее равенство показывает, что служит делителем для.Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на ,а поэтому будет делителем и для . Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, получим, что является делителем и для .Отсюда, ввиду второго равенства, будет следовать, что служит делителем для ,а поэтому, на основании первого равенства,  и для . Таким образом, является общим делителем для и.

Возьмем теперь произвольный общий делитель многочленов и. Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств (4) делятся на , то также будет делиться на . Переходя ко второму и следующему равенствам, мы таким же способом получим, что на делятся многочлены Наконец, если уже будет доказано, что и делятся на , то из предпоследнего равенства мы получим, что делится на . Таким образом, на самом деле будет наибольшим общим делителем для и. □

Мы доказали, следовательно, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ для его вычисления. Этот способ показывает, что если многочлены и имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными.

Если есть наибольший общий делитель многочленов и, то, как показывают свойства 8 и 9, в качестве наибольшего общего делителя этих многочленов можно было бы выбрать также многочлен ,где произвольное число, отличноеот нуля. Иными словами, наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до множителя нулевой степени. Ввиду этого можно условиться, что старший коэффициент наибольшего общего делителя двух многочленов будет всегда считаться равным единице. Используя это условие, можно сказать, что два многочлена тогда и только тогда взаимно просты, когда их наибольший общий делитель равен единице.

Пример 11. Найти наибольший общий делитель многочленов:

Решение. Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, мы можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на любое не равное нулю число, причём, не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить, понятно, к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что, как мы знаем, при разыскании наибольшего общего делителя допускается.

Делим на, предварительно умноживна 3:

(умножаем на 3)

Степень остатка стала меньше степени делителя, таким образом, после сокращения на 5 получим первый остаток . Делим на него многочлен:

Вторым остатком, после сокращения на 9, будет . Очевидно, что, т. е. последним остатком, отличным от нуля будет. Он и будет искомым наибольшим делителем:

Используем алгоритм Евклида для доказательства следующей теоремы:

ТЕОРЕМА 9. Если есть наибольший общий делитель многочленов и , то можно найти такие многочлены и ,что

(3)

Можно считать при этом, если степени многочленов и больше нуля, что степень меньше степени , а степень меньше степени .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся равенствами (4). Если мы учтем, что , и положим , то предпоследнее из равенств (4) даст:

.

Подставляя сюда выражение через и из предшествующего равенства (4), мы получим;

,

где, очевидно, .Продолжая подниматься вверх по равенствам (4), мы придем, наконец, к доказываемому равенству (5).

Дли доказательства второго утверждения теоремы предположим, что многочлены и , удовлетворяющие равенству (5), уже найдены, но, например, степень больше или равна степени . Делим на :

,

где степень меньше степени , и подставляем это выражение в(5). Получим равенство

.

Степень множителя, стоящего при , уже меньше степени .Степень многочлена, стоящего в квадратных скобках, будет в свою очередь меньше степени ,так как в противном случае степень второго слагаемого левой части была бы не меньше степени произведения , а так как степень первого слагаемого меньшестепени этого произведения, то вся левая часть имела бы степень, большую или равную степени ,тогда как многочлен заведомо имеет, при наших предположениях, меньшую степень. □

Одновременно мы получаем, что если многочлены иимеют рациональные или действительные коэффициенты, то и многочлены и , удовлетворяющие равенству (5), можно подобрать так, что их коэффициенты будут рациональными или, соответственно, действительными.

Пример 12. Найти многочлены и, удовлетворяющие равенству (3) при

Решение. Применим к этим многочленам алгоритм Евклида, причём теперь при выполнении делений уже нельзя допускать искажения частных, так как эти частные используются при разыскании многочленов и. Получим такую систему равенств:

Отсюда следует, что и что

СЛЕДСТВИЕ 4. Многочлены и тогда и только тогда взаимно просты, если можно найти многочлены и , удовлетворяющие равенству

Опираясь на этот результат, можно доказать несколько простых, но важных утверждений о взаимно простых многочленах:

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если многочлен взаимно прост с каждым из многочленов и, то он взаимно прост и с их произведением.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, по предыдущему следствию, существуют такие многочлены и , что

Умножая это равенство на , получаем:

,

откуда следует, что всякий общий делитель и был бы делителем и для , однако по условию . □

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Если произведение многочленов и делится на ,но и взаимно просты, то делится на .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Умножим равенство на , получим:

.

Оба слагаемых левой части этого равенства делятся на ; на него делится, следовательно, и . □

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Если многочлен делится на каждый из многочленов и, которые между собой взаимно просты, то делится и на их произведение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, , так что произведение, стоящеесправа, делится на . Поэтому, по утверждению 2, делится на , ,откуда . □

Определение наибольшего общего делителя может быть распространено на случай любой конечной системы многочленов: наибольшим общим делителем многочленов называется такой общий делитель этих многочленов, который делится на любойдругой общий делитель этих многочленов. Существование наибольшего общего делителя для любой конечной системы многочленов вытекает из следующей теоремы, дающей также способ его вычисления.

ТЕОРЕМА 10. Наибольший общий делитель многочленов равен наибольшему общему делителю многочлена и наибольшего общего делителя многочленов .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В самом деле, при теорема очевидна. Пусть она справедлива для случая, т. е., в частности, уже доказано существование наибольшего общего делителямногочленов. Обозначим черезнаибольший общий делитель многочленови. Он будет, очевидно, общим делителем для всех заданных многочленов. С другой стороны, всякий другой общий делитель этих многочленов будет делителем также и для, а поэтому и для.

В частности, система многочленов называетсявзаимно простой, если общими делителями этих многочленов являются лишь многочлены нулевой степени, т. е. если их наибольший общий делитель равен 1. □

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV.

Вычислить выражения:

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145. Вычислить

Решить уравнения:

146.

147.

148.

149.

150.

151.

Найти тригонометрическую форму комплексных чисел:

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161.

162.

163.

164.

165.

166.

167.

Вычислить выражения:

168.

169.

170.

171.

172.

173.

174.

175.

Решить уравнения:

176.

177.

При вычислить выражения:

178.

179.

180.  Доказать, что если комплексное число является одним из корней степенииз вещественного числа, то и сопряжённое числоявляется одним из корней степенииз.

Вычислить:

181.

182.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

189.

190.

191.

192.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

Решить уравнения:

200.

201.

202.

203. Найти произведение всех корней степени из единицы.

Используя алгоритм Евклида, Разделить многочлен с остатком на многочлен:

204.

205.

Найти наибольший общий делитель многочленов и:

206.

207.

208.

209.

210.

211.

212.

213.

214.

215.

216.

Найти наибольший общий делитель многочленов ии его линейное выражение черези:

217.

218.

ОТВЕТЫ.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. 1.

15. -2.

16. 0.

17. 0.

18.

19 .

20. 0.

21. 0.

22. 1.

23. 40.

24. -10.

25. 180.

26. 87.

27. 0.

28. 10.

29. -8.

30. -3.

31. -9.

32. 18.

33. 18.

34. 17.

35. -6.

36. -10.

37. 100.

38. 150.

39. 52.

40. 5.

41. 10.

42. 1.

43.

44.

45. 0.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78. 2.

79. 3.

80. 3.

81. 2.

82. 2.

83. 2.

84. 3.

85. 3.

86. 2.

87. При ранг матрицы равен 2, приранг равен 3.

88. При ранг матрицы равен 2, приранг равен 3.

89. Общее решение, например:

, ; частное решение:

90. Общее решение:

, ; частное решение:

91. Общее решение:

, ; частное решение:

92. Общее решение: ; частное решение:

93. Система несовместна.

94. Система имеет единственное решение:

95. Система несовместна.

96.  Общее решение: частное решение:

97.  Общее решение: частное решение:

98.  Система имеет единственное решение:

99. Система несовместна.

100.  При система несовместна. Приона совместна, и общее решение имеет вид:

101.  Система совместна при любых значениях . Приобщее решение имеет вид:Приобщее решение имеет вид:

102.  Общее решение, например: ,. Фундаментальная система решений:

8	-6	1	0
-7	5	0	1

103.  Общее решение: Фундаментальная система решений:

1	0
0	1	5	7

104. Система имеет только нулевое решение.

105. Система имеет только нулевое решение.

106.  Общее решение: Фундаментальная система решений:

1	1	1	1	0	0
-1	0	0	0	1	0
0	-1	0	0	0	1

107.  Общее решение: Фундаментальная система решений:

0		1	0	0
0		0	0	1

108.  Общее решение: Фундаментальная система решений:

-3	2	1	0	0
-5	3	0	0	1

109. Четвёртая строка вместе с любыми двумя из первых трёх строк образуют фундаментальную систему, а остальные системы строк  не образуют.

110.

111.

112.

113.

114.

115.

116.

117.

118.

119.

120. а)

б)

121.  Собственные значения: Соответствующие собственные векторы:где

122.  Собственные значения: Собственные векторы имеют вид:где

123.  Собственные значения: Соответствующие собственные векторы:где

124.  Собственные значения: Собственные векторы имеют вид:гдеиине равны нулю одновременно.

125.  Собственные значения: Соответствующие собственные векторы:где

126.  Собственные значения: Собственные векторы имеют вид:где

127.  Собственные значения: Соответствующие собственные векторы:где

128.  Собственные значения: Соответствующие собственные векторы:, гдегдеиине равны нулю одновременно.

129.  Собственные значения: Соответствующие собственные векторы:, гдегдеиине равны нулю одновременно.

130.  Собственные значения: Соответствующие собственные векторы:, гдеиине равны нулю одновременно;гдеиине равны нулю одновременно.

131.  Собственные значения: Собственные векторы имеют вид:гдеиине равны нулю одновременно.

132.  Собственные значения: Собственные векторы имеют вид:гдеиине равны нулю одновременно.

133.

134.

135.

136.

137.

138.

139.

140.

141.

142.

143.

144.

145.  при,при,при,при, гдецелое число;

146.

147.

148.

149.

150.

151.

152.

153.

154.

155.

156.

157.

158.

159.

160.

161.

162.

163.

164.

165.

166.

167.

168.

169.

170.

171.

172.

173.

174.

175.

176.

177.

181.

182.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

189.

190.

191.

192.

193.

194.

195.

196.

197.

198.

199.

203.

204.

205.

206.

207.

208.

209.

210.

211.

212.

213.

214.

215.

216.

217.

218.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для ВУЗов.  М.: Физматлит, 2001.

2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.  М.: Наука, 1971.

3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре.  М.: Наука, 1984.

4. Шипачёв В. С. Задачник повысшей математике: Учеб. пособие для ВУЗов.  М.: Высшая школа, 2002.

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. 3