Глава 4.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

§4.1. Группы, кольца, поля.

Будем говорить, что в множестве определёнзакон композиции, если задано отображение упорядоченных пар элементов изв множество(бинарная операция на множестве). При этом элементиз, сопоставленный с помощью отображенияв соответствие элементамиз, называетсякомпозицией этих элементов.

Композиция элементовиобозначается символом:

.

Для композиции элементов множестваиспользуются и другие формы записи. Наиболее употребительными являютсяаддитивная форма записи имультипликативная форма записи (или). В случае аддитивной записи композиции соответствующий закон называютсложением, а при мультипликативной форме  умножением.

Множество элементов, в котором определён закон композиции, называемый сложением и ставящий в соответствие каждой паре элементовмножестваопределённый элементэтого множества, называетсяаддитивной группой (обозначается ), если этот закон удовлетворяет следующим требованиям:

1. (ассоциативность).

2. Существует элемент множестватакой, что для любого элементаэтого множества(существованиенейтрального (нулевого) элемента).

3. Для любого элемента множествасуществуетпротивоположный элемент такой, что.

В случае мультипликативной формы записи получим определение мультипликативной группы (обозначается ), нейтральный элемент которой называетсяединичным, а противоположный  обратным .

Если закон композиции, действующий в группе , удовлетворяет следующему требованию:

4. (коммутативность),

то группа называетсякоммутативной или абелевой.

Отметим некоторые свойства групп (будем использовать аддитивную форму записи композиции).

ТЕОРЕМА 1. Если , то.

Доказательство. Пусть  противоположный элемент для элемента : .Тогда , т. е. . Следовательно, .Теорема доказана.

ТЕОРЕМА 2. Для любого элемента группы справедливо соотношение.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 1 и, кроме того,. Поэтому , т. е..□

ТЕОРЕМА 3. Если и, то.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как ,то  противоположный элемент для , и поэтому, согласно теореме 1,. Имеем далее .□

Из доказанных теорем вытекают следующие важные следствия.

СЛЕДСТВИЕ 1. Противоположным элементом для элемента служит элемент. Или, иначе, элементявляется как правым, так и левым противоположным элементом для элемента(т. е. и).

СЛЕДСТВИЕ 2. В любой группе уравнения иоднозначно разрешимы. Решениями этих уравнений служат соответственно элементыи.

СЛЕДСТВИЕ 3. В группе имеется единственный нейтральный элемент (нуль группы) (если и, то).

Пример 1. Множество целых чисел образует абелеву группу относительно сложения. Действительно, сложение целых чисел ассоциативно и коммутативно, нейтральным элементом является целое число, а обратным дляслужит целое число.

Пример 2. Множество положительных вещественных чисел образует абелеву группу относительно умножения. Очевидно, умножение ассоциативно и коммутативно. Нейтральный элемент, а обратным элементом для числаслужит вещественное число.

Пример 3. Взаимно однозначное отображение множествана себя называетсяподстановкой из элементов, При этом всякий элемент множествапереходит в элемент, обратная подстановкапереводитв. Подстановка для любого множества называетсятождественной подстановкой. Во множестве подстановок естественным образом определяется закон композиции: еслииподстановки, то последовательное проведение этих подстановок представляет собой некоторую подстановку. Легко видеть, что композиция ассоциативна. Если множество содержит тождественную подстановку, обратную подстановку для каждой своей подстановкии вместе с любыми двумя подстановкамииих композицию, то, очевидно,представляет собой группу.

Множество элементов, в котором определены законы композиции, называемые сложением и умножением, называетсякольцом (обозначается ), если эти законы удовлетворяют следующим требованиям:

1. коммутативная группа.

2. (ассоциативность).

3. и (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Если умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным; если в кольце имеется единичный элемент, то оно называется кольцом с единицей. Элементы называются делителями нуля нейтрального элемента относительно , еслии, но.

Пример 4. Множество целых чисел относительно сложения и умножения является коммутативным кольцом с единицей. Роль единичного элемента играет целое число.

Пример 5. Множество квадратных матриц порядка относительно сложения и умножения образует кольцо с единицей. Коммутативность сложения, ассоциативность сложения и умножения, дистрибутивность умножения относительно сложения для матриц были отмечены в §. Нейтральным элементом по сложению является нулевая квадратная матрица порядка , нейтральным элементом по умножению единичная матрица порядка .

Коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент является обратимым, т.е. для любого существует , такой, что,называется полем.

ТЕОРЕМА 4. Для любого элемента поля :, гденейтральный элемент по сложению.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. . Таким образом,является нейтральным элементом по сложению, т. е. .

ТЕОРЕМА 5. В поле нет ненулевых делителей нуля.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если и, то существует обратный элемент, обратный к. Тогда. Но. Отсюда.□

Пример 6. Множество рациональных чисел с операциями сложения и умножения образует поле. Действительно, для всякого ненулевого рационального, существует так же рациональный обратный элемент.