Глава 3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

§3.1. Матрицы линейных операторов.

Пусть дано множество ; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: Пусть, далее, в множестве определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов из однозначно определенный элемент из , называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, причем произведение элементана число , однозначно определено и принадлежит к .

Элементы множества будут называться векторами, а само действительным линейным (или векторным, или аффинным) пространством, если указанные операции обладают свойствами из§2.1. Так, арифметическое мерное векторное пространство является примером линейного пространства.

Два линейных пространства иназываютсяизоморфными, если существует биективное отображение , ставящее в соответствие каждому векторупространствавекторпространства, такое что:

Пусть базис и . Так как система порождающих, то найдутся числатакие, что. Если также, то имеем. Нолинейно независимая система, откуда. Значит. Итак, представление векторав виде линейной комбинации базисных векторов возможно и единственно. Набор () называетсякоординатами вектора х в базисе .

Отображение называетсялинейным оператором, если выполнены условия: для всех и числа :

(а)

(б) ,

которые можно заменить одним: для всех и чисел верно. Отсюда следует равенство

,

широко используемое в дальнейшем.

Справедлива следующая

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности ). Пустьбазис и произвольные векторы из . Тогда существует единственный линейный оператор такой, что.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то зададимтак:. Проверим, что линейный оператор. Если ипроизвольные числа, то

Предположим, что также линейный оператор , причем .

Имеем . Итакдля любого. Значит. □

Доказанная теорема показывает, что линейный оператор однозначно определяется в данном базисе своими значениями . Приходим к определению:матрицей линейного оператора в базисе называется такая матрица , у которойстолбец есть координаты векторав базисе . Т. е.,

.

Обозначим через столбец из координат вектора в базисе , т.е. . В частности,столбец из координат векторав этом же базисе.

Имеет место следующее равенство

(1)

Действительно,

Но в последней сумме коэффициенты при как раз есть координаты вектора в базисе . Из правила умножения матрицы на столбецполучаем искомое равенство (1). □

Пусть другой базисL. Матрицей перехода от одного базиса к другому называется такая матрица, у которойi-ый столбец есть координаты вектора в базисе, т. е.

Фактически матрица есть матрица линейного оператора, переводящего векторыв.

Пусть столбец из координат вектора х в базисе Тогда имеет место следующее равенство

(2)

Действительно, имеем

Но откуда

Но в последней сумме коэффициенты при как раз и есть координаты векторах в базисе . Из правила умножения матрицына столбецполучаем (2).

По следствию 2 из теоремы о ранге матриц невырожденная матрица, т.к. её столбцы, будучи координатами базисных векторов линейно независимы. ПоэтомуТ имеет обратную матрицу . Умножая обе части равенства (2) слева на, получаем

Пример 1.

Векторы заданы своими координатами в некотором базисе. Показать, что векторысами образуют базис, и найти координаты вектораx в этом базисе.

Решение. Составим матрицу перехода от базиса к системе векторов:

,

она невырожденная, значит векторы линейно независимы и могут образовывать базис трёхмерного пространства. Тогда

Найдём координаты вектора в базисе

Следующая теорема устанавливает связь между матрицами одного и того же линейного оператора, заданными в разных базисах.

ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть и– матрицы линейного операторав базисахисоответственно иматрица перехода о первого базиса ко второму. Тогда(матрицыиназываются подобными).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то обозначим черезистолбцы из координат векторав первом и во втором базисах, а черезикоординаты образа этого вектора в первом и во втором базисах.. Из равенства (2) имеем

Из равенства (1) получаем

и .

Из этих трех равенств заключаем, что

.

Но откуда

.

Домножая обе части этого равенства на слева, получаем равенство

Которое имеет место при любом векторе . Это означает равенство матрици.□

В доказательстве теоремы молчаливо использовался тот факт, что если для любого вектора х выполнено , то. Предлагается его доказать читателю.

Пример 2. Линейный оператор в базисеимеет матрицу. Найти его матрицув базисе

Решение. Составим матрицу перехода от базиса к базису:

Найдём обратную матрицу для :

.

Тогда