Чтобы найти константу k, продифференцируем дважды любое частное решение и подставим вторую производную вместо левой части уравнения:
d2[(х)]/dx2 = –k2 [(х)] и –k2 [(х)] = (–2mE/2) [(х)].
Отсюда получим, что k = ±(2mE)0,5/= ± p/, где новая константа р называется квантовомеханическим импульсом. Следовательно, пространственные части волновых функций стационарных состояний должны иметь вид:
(х) = А • ехр [ i (p/) x ] + В • ехр [– i (p/) x ]
Таким образом, для каждого определенного значения наблюдаемых Е и р получаем целую совокупность стационарных состояний, описываемых суперпозиционными волновыми функциями (х). Характерная особенность полученных функций заключается в следующем: если мы будем измерять величину энергии, мы всегда получим один и тот же результат — число Е. При измерении импульса мы будем получать строго определенный результат — число | р | — только для модуля этого вектора, но знак, определяющий направление вектора импульса (и направление движения частицы) будет получаться различным, а именно: с вероятностью А2 будем находить число +р и с вероятностью В2 — число –р (заметим, что на возможные численные значения энергии и модуля импульса никаких ограничений не накладывается).
Другими словами, суперпозиционные функции описывают суперпозиционные состояния, в которых направление движения частицы не определено. Среди них, однако, можно выделить два специальных состояния, для которых как модуль, так и знак вектора импульса будет строго определен:
+ = е ikx = е i(+р/) x ( А = 1, В = 0 )
– = e–ikx = e i(–р/) x ( А = 0, В = 1 )
Поскольку обе эти функции являются комплексными, то их конкретные значения (при заданном х) могут быть изображены вектором-стрелкой единичной длины в комплексной плоскости, которую удобно расположить перпендикулярно оси х (направлению движения частицы). При перемещении вдоль оси х эта стрелка будет поворачиваться в комплексной плоскости (вокруг оси х) с частотой, определяемой волновым вектором k = p/ . Ясно, что конец стрелки-амплитуды будет описывать спираль, закрученную по часовой стрелке или против нее, в зависимости от направления движения частицы (знака импульса).
Располагая выражениями для пространственной части волновой функции, можно проанализировать характер распределения частицы в пространстве. Для установления этого характера достаточно найти квадрат волновой функции, который показывает зависимость вероятности найти частицу в определенной точке от координаты этой точки:
Р(х) = *(х) • (х) = |(х)| 2
Рассмотрим такие зависимости для базисных функций + и –.
|+| 2 = е ikx e –ikx = 1 |–| 2 = е –ikx eikx = 1
Из полученных формул видно, что для этих двух состояний зависимость вероятности от координаты х отсутствует. Другими словами, все точки оси х полностью эквивалентны друг другу.
Необходимо отметить важную особенность полученного результата: в рассмотренных двух состояниях значения одной из наблюдаемых — импульса — строго определены, а значения другой наблюдаемой — пространственной координаты х — полностью неопределенны. Полезно построить графические изображения функций распределения для этих наблюдаемых:
из которых ясно видно, что одна из функций (Рх) бесконечно широкая, а другая (РРх) — бесконечно узкая.
Такая связь между двумя наблюдаемыми является проявлением важного КМ-принципа — принципа неопределенности (Гейзенберг). Сами наблюдаемые, связанные в отношении их определенности, называются совместно неизмеримыми (несоизмеримыми, сопряженными).
Как во всяком ЛВП, в двумерном пространстве стационарных функций с определенным значением энергии можно выбрать не один базис, а бесконечно много таких базисов:
(х) = A • + + B • – = С • ' + D • '' = .....
Рассмотрим еще один базис, состоящий из двух следующих функций:
' = А (е ikx + e –ikx ) ( А = В )
'' = А (е ikx – e –ikx ) ( А = –В )
Ввиду равенства модулей коэффициентов (А2 = В2) , формулы для этих двух функций могут быть преобразованы с использованием тригонометрического представления комплексных экспонент: exp ( i • ) = cos i • sin. Тогда получим одну чисто действительную функцию и одну чисто мнимую функцию:
' = 2А • cos (kx)
' = 2 iА • sin (kx)
Графики этих функций имеют вид не спиралей, как в предыдущем случае, а вид плоских кривых — косинусоиды, лежащей в плоскости, образованной осью х и осью действительных чисел, и синусоиды, лежащей в плоскости, образованной осью х и осью мнимых чисел:
Для функций + и – модуль всюду сохранял свое значение, равное 1, а от координаты х зависела только фаза ( = kx). В данном случае ситуация противоположная: фазы функций ' и '' сохраняются неизменными (0 и /2, соответственно), тогда как модули изменяются с координатой х по гармоническому закону. Такой характер изменения приводит к тому, что в некоторых точках оси х значение волновой функции максимально, зато в других равно 0. Точки, в которых = 0, называются узлами (узловыми точками).
Возведение этих двух функций в квадрат приведет к получению двух функций распределения вероятностей: P'(х) = | ' | 2 и P''(х) = | '' | 2, которые также будут иметь вид гармонических волн, сдвинутых относительно друг друга на четверть периода:
Характерная особенность данных функций распределения — их пространственная неоднородность, доходящая до обращения вероятности в некоторых точках (в узлах) в 0. Вся ось х разбивается этими узлами на конечные ячейки длины х = /k, внутри которых частица в определенной степени локализована — вероятность для центра ячейки много больше, чем для ее краев. Можно сказать, что степень пространственной локализации в состояниях ' и '' является максимально возможной.
Другая особенность данных состояний обусловлена равенством А2 = В2, что приводит к заключению о невозможности определения направления вектора импульса частицы. При попытках измерения этой наблюдаемой будут получаться оба значения с равной вероятностью Р+ = А2 = 1/2 и Р– = В2 = 1/2. Такой результат снова является следствием принципа неопределенности: увеличив пространственную локализацию частицы, мы уменьшили определенность сопряженной величины — проекции импульса на направление движения.