Пример 1: электрон во внешнем магнитном поле
Стационарное состояние | 1
E1 = Eo – H
Е
Е2
H
Еo
H
Е1
Стационарное состояние | 2
E2 = Eo + H
Е1 – Е2 = 2 H = 1 10–21 Дж
В статистической шкале:
Е1 = 0 Е2 = 1 10–21 Дж
Состояние |
Ориентация |
Энергия, |
Проекция |
Проекция |
||
векторов |
Е, Дж. |
Sz |
z |
|||
|
||||||
1 |
(Н) (S) |
( ) |
0 |
– /2 |
+ |
|
2 |
(Н) (S) |
( ) |
1 10–21 |
+ /2 |
– |
|
Влияние термостата
Е2
Е
Е1
время
Неправильный вопрос (так как на него нельзя дать ответ)
Чему равна энергия электрона?
Правильный вопрос (можно дать ответ)
Чему равна средняя по времени энергия электрона?
Еt = Ea = P1 E1 + P2 E2
P1 |
= |
exp[ –E1/ ] / Q |
|
= ? Q = ? |
|
P2 |
= |
exp[ –E2/ ] / Q |
|||
|
|
T = 100 K = kT = 1,38 10–21 Дж
Q = exp[ –E1/ ] + exp[ –E2/ ] = 1 + exp[ –E2/ ]
E2/ = 1 10–21 / 1,38 10–21 = 1/1,38 = 0,7246
Q = 1 + exp[ –0,7246 ] = 1 + 0,4845 = 1,4845
P1 |
= |
exp[ –E1/ ] / Q |
= |
1/1,4845 = 0,6736 |
P2 |
= |
exp[ –E2/ ] / Q |
= |
0,4845/1,4845 = 0,3264 |
Е = P1 E1 |
+ P2 E2 = |
|||
= |
0,6736 |
|
0 + |
0,3264 1 10–21 = |
= |
0,3264 |
|
10–21 |
Дж |
Sz = |
P1 Sz1 + P2 Sz2 |
= 0,6736 (– /2) + |
+ |
0,3264 (+ /2) = |
– 0,1736 |
z = |
P1 z1 + |
P2 z2 = 0,6736 (+ ) + |
+ |
0,3264 |
(– ) = 0,3472 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е, |
|
Дж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Состояние 2 |
|
|
1 10–21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– /2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Макро- |
0,3264 10–21 |
– 0,1736 |
+0,3472 |
состояние |
(среднее)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Состояние 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– /2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ /2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Многочастичные системы
Пример 2: два электрона во внешнем магнитном поле
Стационарное |
Стационарное |
состояние | 11 |
состояние |22 |
E11 = Eo – 2 H |
E12 = Eo + 2 H |
Стационарное |
Стационарное |
состояние | 12 |
состояние | 21 |
E12 = Eo |
E21 = Eo |
Состояние |
Ориентация |
|
векторов спина |
||
11 |
(S1) |
(S2) |
12 |
(S1) |
(S2) |
21 |
(S1) |
(S2) |
22 |
(S1) |
(S2) |
Емех
Энергия, Е, Дж.
0
110–21
110–21
2 10–21
Проекция |
Проекция |
Sz |
z |
– |
+ 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
+ |
– 2 |
Естат
Eo + 2 H 
4 H
Eo 
2 H
Eo – 2 H 
0
Глобальная статистическая сумма Q = exp(–E11/ ) + 2 exp(–E12/ ) + exp(–E22/ )
При 100 K: |
E11 / = 0 |
|||
E |
/ |
= |
E |
/ = 1 10–21 / 1,38 10–21 = 0,7246 |
12 |
|
|
21 |
|
E |
/ |
= |
2 |
10–21 / 1,38 10–21 = 1,4492 |
22 |
|
|
|
|
Q = exp(–0) + 2 exp(–0,7246) + exp(–1,4492) = = 1 + 2 0,4845 + 0, 2347 = 2,2037
Вероятности глобальных состояний
Р11 |
= |
1 / 2,2037 = 0,4538 |
Р12 |
= |
Р21 = 0,4845 / 2,2037 = 0,2198 |
Р22 |
= |
0,2347 / 2,2037 = 0,1065 |
Среднее значение энергии
E = E11 P11 + 2 E12 P12 + E22 P22 =
=0 0,4538 + 2 1 10–21 0,2198 + 2 10–21 0,1065 =
=0,6528 10–21 [Дж]