Подставим эти граничные значения координаты х в выражение для волновой функции и получим:

(0) = А • ехр (0) + В • ехр (0) = А + В = 0

(L) = А • ехр [ i (p/)L] + В • ехр [ – i (p/)L] = 0.

Из первого уравнения следует, что В = – А. Сделаем эту подстановку во второе уравнение и получим:

(L) = А {ехр [ i (p/)L] – ехр [ – i (p/)L]} = 0.

Разность двух комплексно сопряженных чисел, которая стоит в квадратных скобках, можно преобразовать в соответствии с формулой Муавра (ехр [i • m] = cos [m] + i • sin [m]):

(L) = А {ехр [ I (p/)L] – ехр [ – i (p/)L]} = А • 2i • sin [(p/)L] = 0.

Синус равен нулю тогда, когда угол кратен 180°. Следовательно, получаем условие (p/)L =  • n, где n — некоторое целое число (n = 0, 1, 2,...).

Отсюда следует, что значения импульса и энергии, при которых возможен стационарный тип движения частицы в ящике, определяются формулами:

р = [()/L] • n и Е = [(²²)/2mL²] • n² = R • n²

Константа R может рассматриваться как некоторая единица энергии, величина которой приспособлена к конкретной модели с заданными значениями размера ящика (L) и массы запертой в нем частицы (m).

Таким образом, для микроскопической частицы в ящике стационарными являются не любые состояния, а только некоторые, выделенные в отношении значений импульса и энергии. Поскольку такие состояния образуют дискретное множество, их можно пронумеровать с помощью целого числа n, которое называется поступательным (или трансляционным) квантовым числом .

Полученные результаты можно изобразить графически в виде энергетической диаграммы и импульсной диаграммы, которые состоят из дискретного множества энергетических или импульсных уровней.

Уровни энергии не вырождены (т.е. одному значению энергии отвечает одно состояние) и образуют дискретный набор, расходящийся по квадратичному закону. Для характеристики подобных закономерностей часто используют понятие плотности уровней, которая равна числу уровней энергии, приходящихся на единичный интервал энергетической шкалы:  = dN/dE. Для рассматриваемого случая плотность уровней уменьшается по мере возрастания энергии по закону:  ~ 1/E². Уровни импульса образуют эквидистантную систему: плотность импульсных уровней постоянна и не зависит от значений импульса или энергии.

В связи с дискретным характером допустимых значений энергии, можно поставить такой вопрос: что произойдет, если приготовить частицу с начальной энергией, не совпадающей ни с одним из разрешенных значений? Такое начальное состояние будет нестационарным и с течением времени будет эволюционировать: в зависимости от внешнего окружения частица или потеряет или приобретет некоторое количество энергии. Эволюция закончится когда энергия частицы совпадет с одним из разрешенных значений.

Характер такой эволюции можно изобразить следующей схемой:

При любом начальном значении за малый промежуток времени (t*) энергия приобретет одно из стационарных значений и в дальнейшем будет оставаться постоянной. Механизм такой релаксации, обычно связан с электромагнитным взаимодействием между заряженной частицей и окружающей средой.

Поскольку время релаксации мало (для электронов t* ~ 10^–8 с), то для больших промежутков времени можно вообще не принимать во внимание возможность короткоживущих нестационарных состояний и ограничиться рассмотрением только стационарных состояний. Именно такая ситуация имеет место в химии. Химические процессы сравнительно медленны и нестационарные состояния атомов и молекул не оказывают на их протекание никакого влияния.