Квантово-механическое описание

С точки зрения квантовой механики, состояние любой системы должно описываться некоторым квантовомеханическим вектором состояния |  , и задача построения КМ-описания сводится к установлению явного вида этого вектора. Стандартный способ детализации вектора состояния сводится к его разложению по некоторому базисному набору таких векторов, о которых уже имеются все необходимые сведения. Базисные наборы, как известно, порождаются спектральными анализаторами — приборами для измерения наблюдаемых. Сконструируем прибор для измерения наблюдаемой х. Он выглядит весьма просто и представляет собой набор детекторов, расположенных друг за другом вдоль оси х. Если сработает детектор, расположенный в точке х = х_i, то это означает, что измерение координаты дало результат х = х_i. Зная относительные частоты срабатывания детекторов, можно найти амплитуды вероятности срабатывания для каждого детектора (С_i) и соответствующие вероятности Р_i = | С_i | ².

Такой прибор порождает набор базисных состояний, в каждом из которых координата х имеет строго определенное значение: если частица находится в базисном состоянии, обозначаемом кет-вектором | i , то ее координата х имеет строго определенное значение х = х_i. В результате мы имеем возможность представить произвольный вектор состояния |   в виде линейной комбинации (ЛК):

|   = C₁| 1  + C₂| 2  + . . . + C_n| n 

Эквивалентная схема такого прибора выглядит следующим образом:

Оставаясь в рамках конкретной задачи, можно абстрагироваться от базисного набора и описать вектор его координатным представлением, состоящим только из чисел-координат:

|   = (C₁ , C₂ , . . . , C_n)

Подчеркнем, что каждое базисное состояние соответствует определенной точке на оси х. Поскольку таких точек бесконечно много, то и слагаемых в нашей ЛК и чисел-координат будет бесконечно много. Поэтому в данной ситуации удобно описать бесконечную совокупность чисел-координат в виде волновой функции (х), зависящей, для данного случая, только от одной координаты х и некоторых внутренних параметров частицы (масса, спин и т.д.). Кроме того, волновая функция может зависеть от времени, причем эта зависимость описывается уравнением Шредингера:

где Н — оператор Гамильтона (гамильтониан), i — мнимая единица,  — постоянная Планка.

Проблема установления зависимости волновой функции от времени часто встречается в КМ. В большинстве случаев эта задача может быть решена даже без знания явного вида гамильтониана. Среди всех возможных волновых функций выберем некоторые специальные, которые удовлетворяют уравнению на собственные значения для оператора Гамильтона:

H_k = E_k_k

Такие функции описывают КМ-состояния, называемые стационарными. Их отличительной особенностью является строго определенное и постоянное во времени значение энергии (Е).

Поскольку собственные функции (векторы) любого линейного оператора образуют один из базисов ЛВП, то произвольная функция (вектор) может быть представлена в виде разложения по базису стационарных функций: (x, t) = D₁₁ + D₁₁ + . . . + D_r_r

После того, как будет установлен вид зависимости собственных функций гамильтониана (_k) от времени, становится известным и вид временной зависимости для произвольной функции с заданным набором коэффициентов (D_i).

Волновые функции стационарных состояний отличаются одной важной особенностью: если подставить любую из них в уравнение Шредингера, то из операторного, оно переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

где Е — энергия стационарного состояния (собственное число гамильтониана).

Такое уравнение может быть легко проинтегрировано. Его решения (т.е. волновые функции стационарных состояний) имеют стандартный вид:

где Е_k — энергия данного стационарного состояния, а _k — константы интегрирования, не зависящие от времени. Ясно, что зависимость волновой функции от координаты х должна заключаться именно в этих константах, которые представляют собой некоторые функции только переменной х (но не времени):

_k = _k(х)

Такие функции называются пространственными множителями (частями) волновых функций.

Полный вид волновой функции требует знания и вида пространственного множителя и временной экспоненты. Если зависимость от времени для стационарных состояний всегда имеет стандартный вид, независимо от конкретного устройства системы (свободная частица, атом, молекула и т.д.), то вид пространственного множителя является специфичным для каждого конкретного случая. Проблема установления этого вида сводится к решению уравнения на собственные значения для оператора Гамильтона, причем знание явного вида гамильтониана является обязательным.

Для случая свободной частицы, ввиду отсутствия внешних воздействий, оператор Гамильтона состоит только из оператора кинетической энергии:

Тогда явный вид уравнения на собственные значения таков:

Это простое дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными легко интегрируется. Оно имеет два частных решения, суммой которых и является общее решение:

(х) = ⁺(х) + ^– (х) A • е ^{i kx} + B • e ^{– i kx}

причем должно выполняться условие нормировки А² + В² = 1. Полный набор этих состояний можно изобразить посредством плоскости с координатными осями А и В:

Из приведенной выше формулы видно, что все в принципе возможные состояния с определенным значением энергии являются линейной оболочкой двух особых состояний (⁺ и ^–), составляющих двумерный базис. Любая точка изображенной окружности представляет возможный набор коэффициентов А и В, и соответствующее стационарное состояние. Конкретные значения коэффициентов А и В зависят от начальных условий.