Подчеркнем то обстоятельство, что мы можем приготовить классическую частицу в состоянии с любой энергией, и это состояние будет стационарным. Отметим две особенности такой системы.

Во-первых, рассмотрим задачу о характере распределения частицы вдоль ящика. Если усреднить результаты наблюдений по достаточно большому промежутку времени, то мы получим, очевидно, полностью равномерное распределение. Действительно, так как частица всегда движется с одной и той же скоростью, то время, за которое она пробегает любой постоянный отрезок пути, будет одним и тем же, независимо от расположения этого отрезка внутри ящика (ближе к центру или к стенкам). Этот результат не зависит и от величины энергии частицы.

Во-вторых, если сделать одну из стенок ящика подвижной и медленно, по сравнению с движением самой частицы, вдвигать ее в ящик, уменьшая тем самым его размер, то будет наблюдаться постепенное увеличение энергии частицы. Такой способ изменения энергии механической системы называется адиабатическим. Физический механизм этого явления достаточно понятен: когда частица отражается от неподвижной стенки, ее энергия не изменяется, но когда частица отражается от стенки, движущейся навстречу, она каждый раз приобретает небольшую дополнительную порцию энергии. Условие “медленности” обусловлено тем, что при быстром перемещении стенки частица может не успеть удариться об нее, и изменение размера системы произойдет без изменения энергии. Поэтому, в идеале, адиабатическим можно назвать только бесконечно медленное перемещение стенки. Подчеркнем, что процесс увеличения энергии связан с изменением пространственной координаты и, следовательно, с наличием механической силы. Можно сказать, что частица, запертая в ящике, препятствует уменьшению его размера, и такое уменьшение всегда сопряжено с необходимостью преодоления силы сопротивления (давление) и совершения работы, которая и идет на увеличение энергии частицы. Аналогично, если позволить подвижной стенке выдвигаться наружу, то частица сама будет совершать работу над внешней средой, и энергия частицы будет постепенно уменьшаться. С математической точки зрения этот процесс описывается с помощью понятия адиабатического инварианта (I): произведение импульса на размер ящика остается постоянной величиной р • L = I = const, тогда р = I/L и Т = I²/2mL². Другими словами, энергия зависит от размера ящика по квадратичному закону. При уменьшении размера ящика и увеличении скорости движения частицы, частота ее циклического движения будет возрастать вместе с энергией. При этом, отношение Т/ = I = const или Т = Iэнергия пропорциональна частоте). Это соотношение (в виде Е = hчасто трактуется как чисто квантово-механический закон. В действительности, такое соотношение является общим как для квантовой, так и для классической механики, и обусловлено только адиабатическим характером воздействия на замкнутую механическую систему с циклическим типом движения.

Квантово-механическое описание

В случае квантово-механической системы состояние движения частицы описывается вектором состояния или эквивалентной ему волновой функцией, зависящей от координаты х и от времени. Среди всех возможных состояний нас будут интересовать только некоторые выделенные состояния — стационарные. Для них волновая функция, как обычно, имеет стандартный вид:

(x, t) = (x) • e ^{– i t}

а ее пространственная часть (х) является решением стационарного уравнения Шредингера: Н(х) = Е(х). Оператор Гамильтона включает в себя только оператор кинетической энергии (потенциальная энергия во всей доступной области пространства равна 0) и уравнение Шредингера (в промежутке от 0 до L) имеет точно такой же вид, что и для свободной частицы. Общий вид решений получается в точности таким же, что и для свободной частицы:

(х) = А⁺ + В^– = А • ехр[ i (p/)x] + В • ехр[ – i (p/)x] .

Принципиальное отличие данного случая заключается в том, что в любой точке за пределами ящика волновая функция должна быть равна 0 (поскольку вероятность найти там частицу равна нулю). Это означает, что на возможные волновые функции (решения уравнения) накладываются ограничения: (х = 0) = 0 и (х = L) = 0.