8.5. Знакопеременные ряды

8.5.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Знакочередующимся называется ряд вида , где. Иными словами, это ряд вида

Чередование знака может быть представлено не только в виде , но и в других вариантах, например:,и т.п. Чтобы убедиться, что знаки чередуются, можно последовательно подставить.

Признак Лейбница применим только к знакочередующимся рядам:

а) ;б) последовательность {} убывающая.

Если оба условия выполнены, то ряд сходится.

Если не выполнено а) то ряд расходится.

Если не выполнено б) то вопрос остаётся открытым.

Для пункта б): {} убывает, если с некотороговыполнено одно из условий: *); *); *).

8.5.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная сходимость.

Абсолютную сходимость можно применять для любых числовых рядов, т.е. для , где– любого знака.

Рассмотрим - знакопостоянный ряд

если сходится =>сходится абсолютно

если расходится => вопрос о сходимости рядаоткрыт

Замечание: Если сходится, арасходится, тосходится условно.

§9. Степенные ряды

9.1. Основные понятия

Общий вид степенного ряда: ,– фиксированная точка,– числовые коэффициенты ряда.

Если , то степенной ряд имеет вид:.

9.2. Радиус и интервал сходимости

Радиус сходимости степенного ряда находится по одной из следующих формул:или.

Интервал сходимости ряда имеет вид:. Графически это можно изобразить следующим образом:

9.3. Разложение функций в степенные ряды

9.3.1. Ряд Тейлора

.

Если , тогда получаемряд Маклорена:

9.3.2. Пять важнейших разложений в ряд Маклорена

(1) ,;

(2) ,;

(3) ,;

(4) ,;

(5)

,

при 0 ; при -1<<0 ; при-1 .

Частный случай (при = -1):

§10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

10.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Это уравнения вида или

В первом случае разделяем переменные:

Во втором случае подставляем в уравнение , получая. Затем разделяем переменные:

В уравнении с уже разделенными переменными интегрируем обе части.

10.2. Линейные уравнения

Это дифференциальное уравнение вида:

Если , то уравнениеназывается однородным.

Если , то уравнениеназывается неоднородным.

Решается методом Бернулли через замену =>.

10.3. Уравнение Бернулли

Это дифференциальное уравнение вида

Оно приводится к линейному уравнению с помощью подстановки

Также его можно решить как обычное линейное уравнение по методу Бернулли через замену .

§11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

11.1. Уравнения вида

Такие уравнения решаются путем интегрирования n раз правой части уравнения, т.е. функции :

, и т.д.

11.2. Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

11.2.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

, где – вещественные числа.

Характеристическое уравнение – это уравнение вида:
Подсчитывается его дискриминант и определяются корни
и различны и вещественны		комплексно-сопряженные корни:
Линейно независимые решения:
,	,	,
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

11.2.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид:

, где – вещественные числа.

(1) Метод неопределенных коэффициентов.

1. Находим общее решение однородного уравнения (см. п.11.2.1).

2. Общий вид частного решения определяется по виду правой части(см.таблицу на следующей странице).

3. Чтобы отыскать неизвестные коэффициенты частного решения, определяются первая и вторая производные: и. Затем,иподставляются в исходное уравнениеи определяются неизвестные коэффициенты.

4. Подставляем найденные коэффициенты в .

5. Записываем общее решение неоднородного уравнения:

(2) Метод вариации постоянных

1. Находим общее решение однородного уравнения

2. Частное решение ищем в виде:

3. Составляем систему:

4. Решаем эту систему относительно и:

,

5. Находим и

6. Записываем частное решение , подставляя найденныеииз п.5 виз п.2.

7. Записываем общее решение: .

Теорема: Если и– частные решения соответственно уравненийи, то функция– частное решение уравнения

Вид правой части (известен)	Кратность корней	Общий вид частного решения	Пояснения
	не является корнем характеристич.уравнения		- общий вид многочлена той же степени, что и у стоящего в правой части
	является корнем характеристич.уравнения кратности
, где -вещественное число	не является корнем характеристич.уравнения		–неизвестная постоянная
	является корнем характеристич.уравнения кратности
	не является корнем характеристич.уравнения		- общий вид многочлена той же степени, что и у стоящего в правой части
	является корнем характеристич.уравнения кратности
	не является корнем характеристич.уравнения		, –неизвестные постоянные
	является корнем характеристич.уравнения кратности
	не является корнем характеристич.уравнения		,-общий вид многочленов степени , где - степени многочленов правой частии
	является корнем характеристич.уравнения кратности

13

Справочный материал. 2 семестр. Специальность "Экономика"