§6. Интегральное исчисление функций одного переменного: определенный интеграл

6.1. Формула Ньютона-Лейбница

, где - любая из первообразных для функции, непрерывной на отрезке.

6.2. Метод интегрирования по частям

Если функции иимеют непрерывные производные на отрезке, то.

6.3. Несобственные интегралы

(1) Несобственный интеграл I рода – интеграл с бесконечным промежутком интегрирования. Пусть интегрируема на любом отрезке. Тогда несобственные интегралыI рода определяются следующим образом: ,.

Если пределы существуют и конечны, то интегралы называются сходящимися. В противном случае – расходящимися.

, где – любое число (чаще).

И далее рассматривается каждый из интегралов.

(2) Несобственный интеграл II рода – интеграл от неограниченной функции.

Если непрерывна наи имеет разрыв 2 рода в точке, то несобственный интегралII рода определяется следующим образом:

.

Если непрерывна наи имеет разрыв 2 рода в точке, то

Если непрерывна наи имеет разрыв 2 рода в точке, то.

6.4. Приложения определенного интеграла

(1)Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой, снизу кривой, а слева и справа – прямымии, определяется по формуле:

(2) Длина дуги кривой, заданной уравнением, привычисляется по формуле.

(3) Объемы тела вращения, образованного вращением вокруг осиОх(или осиОy) криволинейной трапеции, ограниченной кривой() и прямыми, вычисляются соответственно по формулам:,,.

(4) Если дуга кривой () вращается вокруг осиОх, топлощадь поверхности вращениявычисляется по формуле

Если дуга кривой () вращается вокруг осиОy, топлощадь поверхности вращениявычисляется по формуле

§7. Интегральное исчисление

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ: ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл – обобщение определенного интеграла на случай функций двух переменных.

Двойной интеграл имеет вид: .

В зависимости от вида области интегрирования, двойной интеграл можно свести к повторному:

1)	2)
3) =	4)

§8. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

8.1. Основные понятия

Числовой ряд: , где- произвольные вещественные числа.

Частичные суммы ряда: , где.

Если существует конечный предел , то исходный рядсходится (и величина называется суммой ряда). В противном случае рядрасходится.

8.2. Необходимое условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то.

(Т.е. если , то ряд расходится, а если, то требуется дальнейшее исследование на сходимость).

8.3. Основные расходящиеся и сходящиеся ряды

(1) Геометрическая прогрессия .

Если то ряд сходится; если, то ряд расходится.

(2) Ряд Римана (обобщенный гармонический ряд) .

Если , то ряд сходится; если, то ряд расходится.

8.4. Знакопостоянные ряды

Ряд называетсязнакоположительным, если при любом

8.4.1. Признак сравнения. Рассмотрим и.

Если при(то есть начиная с некоторого), то:

расходится =>расходится

сходится =>сходится.

8.4.2. Признак эквивалентности. Рассмотрим и.

Если при, то рядыисходятся или расходятся одновременно.

8.4.3. Признак Даламбера. Находим значение предела .

Если => ряд расходится; если => ряд сходится; еслиq=1 =>(?)

8.4.4. Признак Коши. Находим значение предела .

Если => ряд расходится; если => ряд сходится; еслиq=1 =>(?)

8.4.5. Интегральный признак.

–члены этого ряда является значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на [1,+). Тогда

если сходится => рядсходится;

если расходится => рядрасходится.