1) Для кодов обнаруживающие ошибки необходимо, чтобы все ошибки, действующие в канале (кратностью  t) обеспечивали переход разрешенной кодовой комбинации в запрещенную.

а) Пусть требуется построить код ,обнаруживающий все ошибки кратностью t и ниже.Для этого из множества возможных комбинаций N₀ необходимо выбрать N₁ – разрешенных комбинаций, так, чтобы под действием ошибки разрешенная комбинация не переходила бы в разрешенную. Но поскольку вес вектора e: (e)  t, это значит, что d(E_j, E_j + e_i­)  t. Для этого необходимо, чтобы E_i­, E_j отличалиь более, чем в t разрядах.

Графическая интерпретация.

E_i E_i

Ẽ _i+1^(t) = Ẽ _i⁽¹⁾

t+1

Ẽ _i+1⁽¹⁾ = Ẽ _i^(t)

E_i+1 E_i+1

Ẽ _i+1⁽¹⁾

t+1

Ẽ _i+1^(t)

E_i+2 E_i+2

Следствие : чтобы разрешенная кодовая комбинация в сумме по mod 2 с вектором ошибки не давала никакой другой разрешенной комбинации, необходимо выполнение следующего условия:

D_min  t + 1

2) Для кодов, исправляющих ошибки необходимо, чтобы ошибки обеспечивали переход каждой решенной комбинации в переход в заранее выделенное подмножество запрещенных кодовых комбинаций, сформированное вокруг данной разрешенной комбинации:

E_i E_i

E_i+1 2t+1

Ẽ _i+1⁽¹⁾

E_i+1

Ẽ _i+1^(t) t

Ẽ _i+2^(t) 2t+1

E_i+2 E_i+2

По аналогии с кодами, обнаруживающими ошибки: d_min  2t + 1. Т.е. разрешенные кодовые комбинации должны различаться более, чем в 2t разрядах.

3) Самостоятельно: определить d_min для кода, который обнаруживает ошибки кратности t₁ и исправляет ошибки кратности t₂ (естественно, что t₁ > t₂).

Обозначение блочных кодов.

а) Код (n, k), например: (15, 11);

б) Код (n, k, d_min), например: (15, 11, 3);

Рассмотрим последовательность выбора параметров кода (n, r) для заданной корректирующей способности (t – кратные исправленные ошибки).

Задача: а) объем источника сообщений N – число различных сообщений;

б) число векторов ошибок, которые необходимо исправить N_e,

Определить: k, r, n.

1) Количество информационных символов:

k = [log₂N];

2) Полное число ошибочных комбинаций, которые необходимо исправить: N_e2^k.

По определению – число запрещенных комбинаций: N₂ = N₀ – N₁ = 2ⁿ – 2^k  N_e2^k

3) Отсюда необходимо условие на исправление всех ошибок:

2^k(N_e + 1)  2ⁿ

Отсюда: 2^n-k=r  N_e + 1

Следствие: для построения надежного кода необходима полная информация

(в виде N_e) о всех ошибках, действующих в к.с.

Т.о. построение кода начинается со сбора информации об ошибках, действующих в

канале (статистическая обработка).

Т.о. для построения кода, исправляющего t ошибок необходимо одновременное

выполнение: d_min  2t + 1; 2^r  N_e + 1

Частные случаи:

а) t = 1; 2^r  n + 1  2^r > n; d_min  3;

N	k	r	n
4 . . . 8 . . . 16 . . . 128 . . . 512 . . . 1024	2 . . . 3 . . . 4 . . . 7 . . . 9 . . . 10	3 . . . 3 . . . 3 . . . 4 . . . 4 . . . 4	5 . . . 6 . . . 7 . . . 11 . . . 13 . . . 14

_t

б) t; 2^r  1+  C_nⁱ  2^r > n!/(t!(n - t)!);

ⁱ⁼¹

d_min  2t + 1;

_t

2^r >  n!/(i!(n -i)!) ^;

ⁱ⁼¹

Заключение.

Рассмотрели:

а) Общий подход к построению корректирующих блочных кодов;

б) Основные параметры кодов и соотношения между ними.

Переходим:

а) К рассмотрению конкретных алгоритмов построения кодов по заданным

характеристикам: k, r, d_min.

б) При этом упор будет сделан:

- алгоритмы построения корректирующих кодов;

- их сруктурную реализацию.

Рассмотрим проблему поиска методов построения кодов с заданными параметрами (n, k) и корректирующими свойствами.

Машинный поиск по множеству всех Построение теории кодов.

возможных кодов.

а) Определим число возможных кодов для

заданных n и k: имеется 2^k слов каждое длинной n,

т.е. имеем двоичные последовательности: R = n2^k;

б) Все коды необходимо («машинно») проверить и

выбрать с требуемыми характеристиками.

Пример: для весьма умеренного (по современным

понятиям) (n, k) = (40, 20) имеем число кодов ~ 10

10.000.000 = 10⁷;

Простейшие блоковые коды.

1. Простые коды с проверкой на четность.

Коды с низкой избыточностью и плохими корректирующими характеристиками:

(k +1, k, 2) – коды с d_min = 2 – исправлять не могут, а могут обнаруживать

все одиночные ошибки (все нечетные ошибки, т.е. в общем

случае ~ 50% всевозможных ошибок).

10000  10000.1

Пример: ИРПС – для защиты передаваемых байтов.

2. Простые коды с повторением.

Коды с высокой избыточностью и хорошими корректирующими возможностями. Один информационный символ повторяется n (n – обычно нечетно) раз

0  00000

1  11111

(n, 1, n) d_min, т.е. данный код может исправить ~ код Рида-Маклера (т.н. код с голосованием), т.е. декодирование осуществлялось с помощью мажоритарного метода, был использован при передаче фотографий Марса космическим кораблем «Маритер» в 1972 г. В н.в. для этой цели разработаны более эффективные коды.

3. Инверсные коды.

В основу построения инверсного кода положен метод повторения исходной комбинации, если она содержит четное число «1» (w – четное), и выбор в качестве проверочных разрядов – инверсии исходной комбинации, если последняя содержит нечетное число «1»

Пример: а.) 0110011 0110011

четное

б.) 0110001 1001110

н/четные

код (2к, к)

а.) Алгоритм декодирования:

-А = информационной части;

А, - если А содержит четное число «1»;

В =

А,- если А содержит нечетное число «1»;

• А = В – нет ошибок;

А  В – есть ошибки;

б.) Ввод операции инверсии (а не просто повторения) позволяет не только обнаруживать, но и при некоторых допущениях (P_{одиночн.}>P_{многократн. ошибок}) исправлять одиночные ошибки.

Пример: _{передаваемая}

^{комбинация}

0111 1000 01111000 0101.1000

_{А В}