Циклические коды.

1. Из всех известных корректирующих кодов наиболее простыми и эффективными являются циклические коды. Эти коды могут быть использованы как для обнаружения, так и для исправления независимых ошибок, так и, в особенности, для обнаружения и исправления серийных ошибок.

2. Ц. к. принадлежат линейным кодам. При этом среди всего многообразия линейных разделительных кодов можно выделить коды, у которых кодовые комбинации помимо условия W_min d_min связаны дополнительным условием цикличности. Т.е. одна разрешенная кодовая комбинация может получаться из другой путем циклического сдвига.

011001101 110011010 100110101 001101011 и т.д.

Коды, удовлетворяющие условию циклического сдвига, называются циклическими.

3. Применение циклического кода основано на записи любой кодовой комбинации в виде полинома

1 0 1 1 0 1 0 1 ,где конкретные значения

x⁷ x⁶ x⁵ x⁴ x³ x² x 1 коэффициенты при x_i.

x⁷  x⁶ +x⁵ +x⁴ +x³ +x² +x +1 Т.е. конкретная кодовая

комбинация  двоичному многочлену.

При таком подходе действия над кодовыми комбинациями сводятся к действиям над многочленами.

а.) Сдвиг кодовой комбинации влево на i-разрядов эквивалентен умножению на xⁱ, при этом, чтобы степень полинома не стала больше «n», т.е. кодовая комбинация не стала длинней.

1. Операции над двоичными многочленами.

I. Сложение многочленов.

_n

C(x) = A(x) + B(x), где A(x) = a_ixⁱ;

_i=0

_n

B(x) = b_ixⁱ;

_i=0

_n

C(x) = c_ixⁱ; где c_i = a_i  b_i;

_i=0

Пример: A(x) = x⁴ + x + 1;

C(x) = x⁴ + x³ + x² + 1

B(x) = x³ + x² + x ;

II. Умножение многочленов.

_{2n i}

C(x) = A(x)B(x) = c_ixⁱ , где с_i = a_jb_i-j ;

^{i=0 j=0}

x⁴ + x + 1 1 0 0 1 1

x³ + x² + x 1 1 1 0

x⁵ x² x 0 0 0 0 0

x⁶ x³ x² 1 0 0 1 1

x⁷ x⁴ x³ 1 0 0 1 1

1 0 0 1 1

x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x 1 1 1 1 0 0 10

x⁷x⁶x⁵x⁴x³x²x1 x⁷ + x⁶ + x⁵ + x⁴ + x

Приведение подобных членов осуществляется сложением по mod 2.