X |
Y |
|
|
|
(–∞; 0) |
(0; 1] |
(1; +∞] |
||
|
||||
(–∞; 0) |
0 |
0 |
0 |
|
(0; 1] |
0 |
P0,0 |
P0,0 + P1,0 |
|
(1; +∞] |
0 |
P0,0 + P1,0 |
1 |
3.4. Числовые характеристики случайного вектора дискретного типа
Моменты распределения двумерного СВДТ определяются следующим образом:
αk,s = ∑∑xik ysj pij - начальный момент порядка k,s;
i j
µk,s = ∑∑(xi − mx )k (y j − my )s pij - центральный момент порядка k,s;
i j
k + s - суммарный порядок момента.
Основныемоментысуммарных порядков0, 1, 2 приведенывтабл.3.1.
Таблица 3.1
Порядок |
Начальные моменты |
|
Центральные моменты |
||
k + s = 0 |
|
α0,0 |
|
|
µ0,0 =1 |
|
α1,0 = ∑∑xi pij = ∑xi ∑pij |
= |
|
||
|
i j |
i |
j |
|
µ1,0 = 0 |
|
= ∑xi pi = mX; α1,0 = mx |
|
|||
k + s = 1 |
|
|
|||
i |
|
|
|
|
|
|
o |
1 |
= {преобра- |
µ0,1 = 0 |
|
|
α0,1 = ∑xi |
∑y j pij |
|
||
|
i |
j |
|
|
|
|
зуеманалогично} = mY; α0,1 = my |
|
|
||
|
|
|
|
|
Окончание таблицы 3.1 |
|
|
|
|
||
Порядок |
Начальные моменты |
|
Центральные моменты |
||
k + s = 2 |
α2,0 = M[X2] |
|
µ2,0 = Dx |
||
|
α0,2 = M[Y2] |
|
µ0,2 = Dy |
||
54
|
|
µ1,1 = Cov(X,Y) - |
||
|
|
ковариация |
|
|
|
|
µ1,1 = Cov(X,Y) = KX,Y |
||
|
α1,1 = M[XY] |
ρX,Y = |
K X ,Y |
- |
|
σ X σ Y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
нормированнаяковариация |
||
|
|
или коэффициент |
||
|
|
корреляции |
|
|
Пример 6. Вычислить коэффициент корреляции для распределения из примера 5.
Из таблицы распределения следует:
mX = |
1 |
|
; mY = |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
||
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
α1,1 = |
|
1 |
; µ1,1 |
= α1,1 – mX mY = |
1 |
− |
1 |
= 0 |
ρX,Y = 0. |
||||
6 |
6 |
6 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.5. Случайные векторы непрерывного типа и их законы распределения
Определение. Двумерный случайный вектор (X,Y) называется слу-
чайным вектором непрерывного типа (СВНТ), если множество EX,Y -
множество типа континуум на плоскости и если существует непрерывная и интегрируемая по Риману в бесконечных пределах функция f X,Y(x,y), называемая плотностью распределения вероятностей случай-
ного вектора (X,Y) (или плотность совместного распределения компонент), такая, что имеет место равенство
x |
y |
|
FX,Y(x,y) = ∫ |
dξ ∫dηf X ,Y (ξ, η). |
(3.3) |
−∞ |
−∞ |
|
Следствия из определения.
1.FX,Y(x,y) - непрерывна на всей плоскости.
2.fX,Y(x,y) ≥ 0 , (x,y) R2.
55
|
+∞ |
+∞ |
3. |
∫dx ∫dyfX ,Y (x, y) =1 (условие нормировки) (FX,Y(+ ∞ ,+ ∞ ) = 1). |
|
|
−∞ |
−∞ |
|
+∞ |
|
4. |
∫ f X ,Y (x, y)dy = f X (x). |
|
−∞
По свойству функции распределения имеем: FX,Y(x,+ ∞ ) = FX(x).
x +∞
Из (3.3) следует, что FX(x) = ∫ dξ ∫ f X ,Y (ξ,η)dη. Но fX(x) = FX' (x)
|
|
|
−∞ −∞ |
|
|
|
+∞ |
|
|
FX' (x) = ∫ f X ,Y (x, η)dη. Свойство доказано. |
||||
|
|
−∞ |
|
|
|
5. |
Если (x,y) - точка непрерывности плотности, то fX,Y(x,y) = |
||
= |
∂2FX ,Y (x, y) |
. |
||
∂x∂y |
||||
|
|
|||
|
|
Следует из (3.3) |
||
|
6. |
Понятие "элемент вероятности": |
||
fX,Y(x,y)dxdy = P{(x,y) П(x,y)} = вероятности попадания в бесконечно малый прямоугольник П(x,y) со сторонами dx,dy (изображен на
рис.3.6).
7. Пусть G - некоторая квадрируемая по Риману область на плоскости, тогда вероятность попадания в эту область:
y + dy |
|
|
|
П(x,y), S = dxdy (площадь), |
||
|
|
|
fX,Y(x,y)dxdy - объем парал- |
|||
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
лелепипеда с основанием П(x,y), |
||
y |
|
|
высотой fX,Y(x,y)dxdy. |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x + dx |
|||
|
|
|
|
|
Рис.3.6. |
|
56
P{(x,y) G} = ∫∫f X ,Y (x, y)dxdy. |
(3.4) |
G
Введем на плоскости XoY прямоугольную сетку и покроем
n
область G бесконечно малыми прямоугольниками, так что G U∏i ,
i=1
где ∏i = {(x,y)|xi < x < xi + ∆xi, yi < y < yi + ∆yi), а (xi,yi) - угловые точки прямоугольников ∏i - упорядочены тем или иным способом при сканировании по области G. Согласно свойству 6) и понятию "элемент
вероятности", P{(x,y) ∏i } = fX,Y(xi,yi) ∆xi∆yi |
с точностью до членов |
|||||
порядка малости o |
∆xi2 + ∆yi2 |
. Составим интегральную сумму: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ f X ,Y (xi , yi ) ∆xi∆yi P (x, y) U∏i . |
|
|||||
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
Устремляя n → ∞ таким образом, чтобы max |
∆x2 |
+ ∆y2 |
→0 , |
|||
|
|
|
i |
i |
i |
n→∞ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
и считая, что предел интегральной суммы существует (область G - квадрируемая!), получаем (3.4). 
.
Замечание. Правило (3.4) естественным образом обобщается на случай G Rn, при этом двойной интеграл заменяется на n-кратный.
Пусть (X,Y) - случайный вектор непрерывного типа (СВНТ). Анало-
гичнотеореме3.1 устанавливается локальныйкритерийнезависимости:
f X ,Y (x, y) = f X (x) fY ( y), (x,y) R2. |
(3.5) |
Этот критерий обобщается на случай размерности (совместная плотность должна расщепляться на произведение плотностей отдельных компонент).
Пример 7. Пусть плотность вектора имеет вид
f X ,Y = |
1 |
|
|
1 |
|
|
, (x,y) R2. |
π2 |
|
+ x2 + y2 |
+ x2 |
y2 |
|||
|
1 |
|
|||||
Являются ли X и Y независимыми? 
По свойству плотности
57