уравнение эллипса, сильно вытянутое при n >> 1 вдоль биссектрисы p* – p = 0. Обозначим корни уравнения p1 и p2:

После несложных преобразований и отделении членов, имеющих порядок

Данное неравенство определяет искомый доверительный интервал при условии npq >>1.

Замечание. Примеры построения доверительных интервалов для трех важнейших характеристик распределения (m, σ2 и p) рассматриваются на семинарских занятиях.

Глава 7.Проверка статистических гипотез

7.1. Общие понятия. Методика проверки

Проверка статистических гипотез - одна из основных задач математической статистики. Разрабатываемые здесь процедуры позволяют принимать или отвергать статистические гипотезы, возникающие при обработке или интерпретации результатов на-

118

блюдений во многих практически важных разделах науки и производства, связанных со случайным экспериментом. Ниже будет рассмотрена основная методология проверки так называемых параметрических инепараметрических гипотез.

Для проверки параметрических гипотез необходимы некоторые предположения о законе распределения генеральной совокупности (как правило, используется нормальность генерального). Для проверки непараметрических гипотез такие предположения не используются. Основные типы рассматриваемых ниже задач могут быть представлены в виде схемы на рис.7.1.

Пусть генеральная случайная величина X распределена по закону, определяемому семейством функций распределения FX (xθ). Относи-

тельно параметра θ высказывается некоторая основная или проверяемая гипотезаH0 : θ θ0 . Необходимо построить такой статистический

критерий, который позволит нам заключить, согласуется ли высказанное в H0 предположение с тем, что наблюдается в выборке. Построе-

ние критерия определяется выбором подходящей статистики Z = Z(X1,..., X n ) , зависящей от выборки и набора параметров, утвер-

ждаемых в Н0. Наряду с основной гипотезой необходимо высказать так называемую альтернативную гипотезу Н1, противоречащую основной (но не обязательно отрицающую Н0).

Рассмотрим методологию процедуры проверки гипотезы на примере сравнения с эталоном.

Алгоритм проверки.

1. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.

Проверка гипотез:

Основная гипотеза Н0: а = a0, a0 - эталон, (a {mX ,σ2X , p}).

Альтернативная гипотеза Н1:

2. Зададим уровень значимости α :

(α {0,05; 0,025; 0,01; ...}) ,

αимеет смысл малой вероятности редко осуществляемого события.

3.Выберем подходящую статистику. Она должна быть удобной мерой расхождения между гипотетическим значением, утверждаемым в

Н0, и тем, что наблюдается в выборке. Закон распределения этой статистики должен быть известен по крайней мере при условии Н0 и по возможности не зависеть от неизвестного параметра, но это не всегда возможно, поэтому различают простые и сложные гипотезы.

Определение. Гипотеза Н0 называется простой, если она полностью определяет закон распределения статистики. В противном случае гипотеза называется сложной.

4.Пусть Z - подходящая статистика, G - область возможных значений статистики Z. Разобьем множество G на две непересекающихся

5.Сформулируем следующее решающее правило: если Zвыб Gα

H0 отвергается в пользу Н1 как не соответствующее опытным данным. При Zвыб G1−α следует принять H0 на данном уровне значимости

α. Основа этого правила заключается в следующем. Мы сами задали столь малое α, чтобы событие {Z Gα} имело гарантированно малую вероят-

ность, если справедлива гипотеза Н0. Поэтому, если для данной выборки это событие реализовалось, следует считать, что расхождение между гипотетическим и выборочным значением превысило некоторый порог (стало "значимым"), и необходимо отвергнуть Н0. Прокомментируем некоторые моменты всей процедуры. Прежде всего заметим, что в результате проверки гипотезы нельзя установить ее абсолютную истинность. Любая проце-

120

дура проверки может привести к ошибкам, поскольку в основу решающего правила положено осуществление (или не осуществление) случайного события {Z Gα}. Возможныошибки двоякогорода.

Ошибка первого рода: "отвергнуть правильную гипотезу". Вероятность этой ошибки равна α и установлена нами до начала про-

верки. При этом уравнение (7.1) служит для определения критической областипо заданному α. Однако для однозначного решения уравнения (7.1) нужноещедополнительноеусловие, котороемысформулируемпозже.

Ошибка второго рода: "принять ложную гипотезу". Вероятностьэтойошибки(обозначимееβ) определяетсяуравнением

Очевидно, что данные ошибки не равноправны, так как могут приводить к различным последствиям. Чтобы проиллюстрировать это, рассмотрим две гипотезы, фигурирующее при конфликте между поставщиком и заказчиком некоторого вида радиоэлектронной продукции (например, интегральных схем). Поставщик утверждает (гипотеза Н0): "процент брака в данной партии интегральных схем находится в пределах нормы (т.е. соответствует некоторому общепринятому эталону)". Заказчик в противовес этому утверждает (гипотеза Н1): "процент брака превышает допустимую норму". Ошибка первого рода: забракована хорошая партия (интерпретируется как "ложная тревога"), следовательно, страдает поставщик. Ошибка второго рода: принята плохая партия (интерпретируется как "пропуск цели"), в результате этой ошибки страдает заказчик. Подробнее задача проверки указанных гипотез рассматривается в [5] (параграф 6.2, пример 5).

7.2. Выбор критической области

Как следует из формул (7.1) и (7.2), определяющих вероятности ошибок I и II рода, величинаβ не связана напрямую с величиной α ,

поскольку соответствующие вероятности вычисляются при различных условиях, но очевидно, что попытка уменьшить α за счет уменьшения

критической области Gα немедленно приведет к увеличению ошибки второго рода β , поскольку автоматически увеличится допустимая область G1−α . Отсюда следует, что одновременно уменьшить две эти

121

ошибки невозможно. Однако можно, не изменяя размеров критической области, менять ее расположение в G и тем самым уменьшить β . По-

этому задача выбора критической области ставится как следующая задача оптимизации:

ронняя критическая область, соответствующая альтернатива Н1:

Θ ≠ Θ0.

Приведем примеры тех статистик, которые используются для проверки гипотезы о сравнении с эталоном для трех основных параметров.

Сравнение с эталоном математического ожидания. H0: mX = m0,

Сравнение с эталоном дисперсии. H0: σ2X = σ02 ,

1- йвариант: mX неизвестно используем статистикуV2 ,2 - йвариант: mX известно используем статистикуV1.

H1: любая из трех возможных альтернатив по аналогии с математическим ожиданием,

При аналогичной постановке задачи для параметра р используем статистику:

n

Пример 1. Время реакции на световой сигнал среди водителейпрофессионалов должно составлять ≈ 3 с для безопасной езды в темное время суток (m0 = 3 с). Тестирования проведенные среди 16 водителей

дали следующие результаты: x = 4,5 с, S22 =16 с2.

1) Следует ли из этих данных, что время реакции испытуемых значимо больше номинального на уровне значимости α = 0,05?

123

2)Что изменится, если выбрать α = 0,1?

3)Что изменится, если известно, что σx = 4 с?

4)Можно ли считать, что время реакции водителей значимо

отличается от номинального?

Формулируем задачу проверки следующим образом:

1. H0 : mx = m0 = 3,

H1 : mx > m0 подходящейстатистикойявляетсяW = x −3 ~ St(15).

S2

n

Как было показано выше, критическая область - правосторонняя По таблице распределения Стьюдента находим квантиль:

t0,95(15) =1,75 ;

H0 принимается на этом уровне значимости.

2.Если α = 0,1 то H0 отвергается (проверить!)

3.Изменяется статистика (можно использовать U) и квантиль

надежности.

7.3. Проверка гипотез о сравнении характеристик двух независимых генеральных

124

Теорема (Фишера.) Пусть V1 ~ χ(n1), V2 ~ χ(n2 ), причем V1 и V2

независимы. Q = V1 : V2 ~ Fi (n1,n2 ) - распределение Фишера с n1 и n1 n2

n2 степенями свободы.

Доказательство см., например, в [4].

Распределение Фишера похоже на распределение хи-квадрат. Графики плотности, характеристики, квантили и другая информация обэтомраспределениисм. в[2, 5].

Сравнение дисперсий

Постановка задачи. Пусть Х ~ N (mX ,σ2X ) , Y ~ N (mY ,σY2 ) ,

причем X и Y независимы (все параметры неизвестны). Основная гипотеза H0 утверждает, что дисперсии σ2X и σY2 значимо не отличаются, т.е. H0 : σ2X = σY2 .

Теорема 7.1. При условиях, наложенных на генеральные сово-

купности, статистика

Составим две известные статистики:

125

Сравнение средних (математических ожиданий)

Пусть две генеральные случайные величины X и Y удовлетворяют тем же условиям, что и при сравнении дисперсий. Проверяется основная гипотеза H0 : mX = mY против одной из альтернатив:

mX > mY ;

H1 = mX ≠ mY ;

mX < mY .

Случай 1. σ2X и σY2 известны.

ется стандартизованной линейной комбинацией независимых нормальных случайных величин, то очевидно, что U распределена нормально.

Вычислим основные характеристики M[U] и D[U] в предположении, что Н0 верна. Имеем

Далее имеем

127

Случай 2. σ2X и σY2 неизвестны. В этом случае статистику U,

определенную в теореме 7.2, использовать нельзя. Гипотеза о равенстве математических ожиданий проверяется в два этапа. На пер-

вом этапе необходимо проверить вспомогательную гипотезу H0' о

равенстве дисперсий. Далее возможны два случая.

Случай 2.1. Дисперсии неизвестны, но подтверждается гипо-

Заметим, что выборочная объединенная дисперсия (7.4) является несмещенной и состоятельной оценкой неизвестной дисперсии

σ2 - общей для обеих совокупностей (гипотеза H0' принята на уровне значимостиα) (проверитьнасеминарских занятиях !).

Покажем, что статистика V = S 2 (n1 +2n2 −2) ~ χ2 (n1 + n2 − 2).

σ

Действительно, используя (7.4), получаем:

V2 ~ χ2(n2 −1) и независимы. Вследствие композиционной устойчи-

вости хи-квадрат получаем, что V ~ χ2 (n1 + n2 − 2).

Преобразуем тождественно статистику W:

W H0 ~ St(n1 + n2 − 2).

129

Рассмотрим случай 2.2.

H0' : σ2X = σY2 = σ2 отклоняется на данном уровне значимости α

статистика W неприменима используется так называемая стати-

стика Уэлча:

Сравнение вероятностей

Пусть генеральные случайные величины X и Y представляют собой два индикатора: X ~ B(1,p1), Y ~ B(1,p2). Проверяется основная гипотеза о равенстве вероятностей:

H0 : p1 = p2.

p1 > p2; H1 = p1 ≠ p2;

p1 < p2.

Имеем выборки из X и Y:

x1, x2,..., xn1 ;→ p1* - относительная частота: p1* = mn1 ,

1

130