ность оптимальное число интервалов группировки определятся соотношением

l =[1,87 (n −1)2 / 5 ],

где [a] - целая часть числа a, которое может служить ориентиром и для проверки других типов распределений, отличных от нормального.

Обобщение критерия на случай сложной гипотезы осуществляется следующим образом.

Пусть гипотеза H0 - сложная, т.е. гипотетическая функция распределения FX (x / Θ1,Θ2...Θs ) зависит от s неизвестных параметров. В этом случае теоретические вероятности pk попадания на интервал Ik при условии H0 не могут быть вычислены точно, так как они сами являются функциями этих неизвестных параметров:

pk = FX (ak / Θ1,Θ2...Θs )− FX (ak −1 / Θ1,Θ2...Θs ).

Необходимо оценить значения параметров Θ1, Θ2,...,Θs по выборке, что приведет к оценкам теоретических вероятностей ~pk вместо точных значений pk . Возникает вопрос: как это повлияет на закон распределе-

ния статистики Z? Как доказано Фишером, если параметры оцениваются методом максимального правдоподобия для интервальной выборки, то

при достаточно больших n Z ~ χ2(l −1− s), т.е. снова получаем распре-

деление хи-квадрат, но теряем дополнительно s степеней свободы - по числу оцениваемых параметров.

Глава 8.Корреляционный анализ

139

выборочнаяковариация; xi и y j - центрысоответствующихинтервалов;

i=1 j=1

аналог формулы K X ,Y = α1,1 −mX mY в теории вероятностей. Для про-

стой (не группированной выборки) формулы (8.2) - (8.4) упрощаются и приобретают вид:

Выборочный коэффициент корреляции ρ*X ,Y обладает всеми свойствами, которыми обладает теоретико-вероятностный коэффициент корреляции ρX ,Y (см. § 4.2). Вчастности, длялюбойвыборки ρ*X ,Y ≤1.

При этом чем ближе ρ*X ,Y к 1 (или к –1), тем сильнее выражена

линейная зависимость между X и Y. Однако значимость такой зависимости должна быть подкреплена проверкой гипотезы.

141

Проверка гипотезы о наличии корреляции выполняется следующим образом. Основная гипотеза H0: ρ = 0; альтернативной может вы-

ρ < 0;

ступать любая из трех возможныхH1 : ρ ≠ 0;

ρ > 0.

В тех случаях, когда справедливо предположение о нормальном распределении двумерного генерального вектора (X,Y), подходящей статистикой для проверки основной гипотезы является стъюдентова статистика

Z = r n −2 ~ St(n −2) ,

1−r2

где r = ρ*X ,Y - выборочный коэффициент корреляции, а объем выборки

(число степеней свободы n – 2) предполагается большим.

Пример 1. В табл.8.1. представлены результаты измерений роста Х и веса Y 50 мужчин - слушателей военной академии. Вычислить выборочный коэффициент корреляции и проверить гипотезу о значимости корреляционной связи.

По формулам интервальной выборки вычисляем средние:

142

и выборочные вторые начальные моменты:

Далее, используя формулы (8.2) - (8.4), получаем

SX2 = α2,0 − x2 = 53,64 ;

SY2 = α0,2 − y2 = 77 ;

SX ,Y = α1,1 − x y =19,8 .

Наконец, по формуле (8.1) определяем

Проверим значимость коэффициента корреляции при двусторонней альтернативе и α = 0,05 . Из таблицы распределения Стьюдента находим

квантиль t0,975(48) = 2,01. ВыборочноезначениестатистикиZ равно

значима. Замечание. Несколько обескураживающий результат предыдущего

примера ( H0 отвергнута при достаточно малом значении r) объясняется

сильной зависимостью стъюдентовой статистики от объема выборки n. В следующем параграфе при анализе регрессии будет показано, что линейная связь может оказаться значимой и при малых значениях коэффициента корреляции r. Однако для получения надежных выводов при использовании статистики Z следует иметь более 100 наблюдений. Менее чувствительной к объему выборки является статистика U, основанная на преобразовании Фишера:

V = 12 ln 11+−rr .

143

Фишером было доказано, что при n ≥ 30 случайная величина V имеет приближеннонормальноераспределениеснезависящейотr дисперсией:

σV2 = n 1−3

и математическим ожиданием:

mV = 12 ln 11+−ρρ + 2nρ− 2 ≈ 12 ln 11+−ρρ при n ≥ 30,

где ρ - истинное, но неизвестное, значение коэффициента корреляции

двумерного генерального вектора (X,Y).

Стандартизируя V, получим подходящую статистику (Фишера):

Заметим, что с помощью указанной статистики можно проверять более общую гипотезу о сравнении с эталоном:

H0 : ρ = ρ0 против любой из трех альтернатив.

Вэтомслучае mV заменяется наусловноематематическоеожидание:

M[V H0 ] = 1 ln 1 + ρ0 2 1−ρ0

и центрирование статистики V в формуле (8.5) осуществляется на эту величину.

Пример 2. Проведены парные измерения производительности труда Y в зависимости от уровня механизации работ X для 28 промышленных предприятий Московской области. В результате получен выборочный коэффициент корреляции r = 0,51. Решить следующие две задачи.

1) В условиях двусторонней альтернативы найти критическое значение уровня значимости α0 такое, что при α < α0 гипотеза H0 будет при-

ниматьсядляполученноговданнойвыборкекоэффициентакорреляции.