5.2. Центральная предельная теорема

Теорема 5.1. (ЦПТ). Пусть для последовательности случайных величин Х1, Х2,.., Хn выполняются условия:

1)при любых n случайные величины Х1, Х2,.., Хn независимы в совокупности;

2)одинаково распределены;

3)существует M[X k 2 ] .

Обозначим:

где σ2 = D[X k ], k N.

−t 2

Тогда lim EZ (t) = e 2 . n→∞ n

Заметим, что из утверждения теоремы согласно свойству 6) характеристической функции следует, что предельным законом для Zn при n → ∞ является нормальный. Из условия 3) следует, что существует

Заметим, что

84

=1 − 1 σ2t2 + о(t2 ) n.2

85

Замечание. Здесь дана одна из простейших формулировок центральной предельной теоремы. Все более поздние формулировки связаны с устранением пункта 2), из-за чего усложняется условие 3). Чаще всего оно формулируется в виде условия Линдеберга (гарантирует, что все слагаемые Хк вносятравномерномалыйвкладвобщуюдисперсию) [3, 4].

Центральная предельная теорема играет большую роль в приложениях теории вероятностей. Одним из характерных примеров применения этой теоремы на практике является баллистика, изучающая явления рассеивания снарядов при стрельбе по цели.

На траекторию полета снаряда действует множество независимых факторов: колебания атмосферного давления, влажности, температуры, отклонения величины заряда и веса снаряда от номинала, ошибка прицеливания, сила ветра на различных высотах и т.д. Результатом этих многочисленных воздействий, каждое из которых вносит свой равномерно малый вклад в общую сумму (ограниченность дисперсий!), является то, что отклонение точки попадания от цели хорошо описывается двумерным нормальным законом распределения.

Другим примером применения центральной предельной теоремы является теория и практика измерений. Всякое измерение неизбежно сопряжено с погрешностями. Реально наблюдаемая погрешность измерения является суммой элементарных погрешностей, вызванных много-

86

численнымифакторами, каждый из которых лишьнезначительно влияет на результат. В силу центральной предельной теоремы результирующая погрешность должна быть приближенно нормальной. Практика подтверждает это положение.

5.3. Следствия ЦПТ для схемы Бернулли

n

Пусть Yn ~B(n,p). Известно, что Yn = ∑Ik , где Ik ~B(l,p) - индика-

k =1

тор успеха в n опытах по схеме Бернулли. Легко видеть, что последовательность I1,I2,… удовлетворяет условиям ЦПТ. Отсюда следует, что стандартизованная сумма

Возникает вопрос: какая ошибка при этом совершается? Уточнение ЦПТ для конечных n приводит к следующей оценке абсолютной ошибки при замене FZn(x) на Ф(x) при конечных n (известной в литературе как неравенство Берри-Эссена [3]):

третьего порядка).

87

ВВЕДЕНИЕ В ТЕМУ"МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА"

Математическая статистика - раздел высшей математики, родственный теории вероятностей, разрабатывающий методы систематизации, обработки и анализа экспериментальных данных с целью получения объективных выводов о свойствах измеряемой случайной величины. Решаемые в рамках математической статистики задачи основываются на правилах и методах теории вероятностей, но имеют свою специфику и методологию. В некотором смысле математическая статистика решает задачи, обратные задачам теории вероятностей: она уточняет (или выявляет) структурувероятностныхмоделейреальных экспериментов.

Прежде чем ознакомиться с основными задачами математической статистики, дадим определение нескольких важных понятий, относящихся к выборке.

Определение 1. Генеральной совокупностью (генеральной случай-

ной величиной) называется исследуемая случайная величина (Х - ГСВ).

Определение 2. Выборка из генеральной совокупности объема n -

это n измеренных значений случайной величины Х, записанных в порядке поступления этих измерений (обозначается x1, x2, x3,…, xn).

Определение 3. Выборка апостериори - выборка после того, как она получена; ряд конкретных чисел x1, x2,…,xn.

Определение 4. Выборка априори - n случайных величин, одинаково распределенных и независимых в совокупности.

Определение 5. Выборочный вектор (X1,…,Xn) - n-мерный вектор,

у которого все компоненты одинаково распределены и независимы. Основные задачи математической статистики:

1)предварительная обработка выборки;

2)задача оценивания по выборке неизвестных характеристик генерального, включающая:

- точечное оценивание; - интервальное оценивание;

3)корреляционный и регрессионный анализ - исследование стохастической зависимости между случайными величинами;

4)проверка статистических гипотез;

5)дисперсионный анализ - исследование влияния отдельных факторов на результат эксперимента.

89