Литература / Феллер_теория вероятностей_I
.pdfВ.Феллер
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Том 1
Перевод второго, переработанного автором издания (перевод первого издания выпущен Издательством иностранной литературы в 1952 г.) содержит систематическое изложение той части теории вероятностей, которая имеет дело с дискретными множествами элементарных событий (конечными и счетными). Такой выбор материала позволил автору без использования сложного аналитического аппарата ввести читателя в круг основных идей теории вероятностей и ее приложений.
Книга служит популярным введением в современную теорию вероятностей, доступным начинающим. Ее смогут читать студенты младших курсов университетов, а также инженеры и научные работники всех специальностей, желающие ознакомиться с основами теории вероятностей.
Особый интерес книга представит для биологов, для которых методы теории
вероятностей являются главными математическими методами. |
|
||
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
||
Предисловие ко второму русскому |
5 |
§ 8. Задачи |
35 |
изданию |
|
Глава II. Элементы |
38 |
Предисловие ко второму изданию |
7 |
комбинаторного анализа |
|
Предисловие к первому изданию |
9 |
§ 1. Предварительные сведения |
38 |
Введение. Природа теории |
11 |
§ 2. Выборки |
40 |
вероятностей |
|
§ 3. Примеры |
42 |
§ 1. Исходные представления |
11 |
§ 4. Соединения |
45 |
§ 2. Способ изложения |
13 |
§ 5. Приложения к задачам о |
49 |
§ 3. «Статистическая» вероятность |
14 |
размещении |
|
§ 4. Резюме |
15 |
§ 6. Гипергеометрическое |
55 |
§ 5. Исторические замечания |
16 |
распределение |
|
Глава 1. Пространства |
17 |
§ 7. Примеры, связанные с |
59 |
элементарных событий |
|
временем ожидания |
|
§ 1. Опытные основания |
17 |
§ 8. Биномиальные коэффициенты |
62 |
§ 2. Примеры |
19 |
§ 9. Формула Стирлинга |
64 |
§ 3. Пространство элементарных |
24 |
§ 10. Примеры и упражнения |
67 |
событий. События |
|
§ 11. Задачи и дополнения |
71 |
§ 4. Отношения между событиями |
25 |
теоретического характера |
|
§ 5. Дискретные пространства |
28 |
§ 12. Задачи и тождества, |
75 |
элементарных событий |
|
связанные с биномиальными |
|
§ 6. Вероятности в дискретных |
30 |
коэффициентами |
|
пространствах элементарных |
|
Глава III. Колебания при игре с |
80 |
событий |
|
бросанием монеты и |
|
§ 7. Основные распределения. |
33 |
случайные блуждания |
|
Основные допущении |
|
§ 1. Основные понятия |
81 |
§ 2. Задачи о расположении |
84 |
§ 3. Случайное блуждание и игра с |
88 |
бросанием монеты |
|
§ 4. Новая формулировка |
90 |
комбинаторных теорем |
|
§ 5. Первый закон арксинуса |
92 |
§ 6. Число возвращений в начало |
97 |
координат |
|
§ 7. Экспериментальные данные |
99 |
§ 8. Различные дополнения |
101 |
Глава IV. Комбинации событий |
104 |
§ 1. Объединение событий |
104 |
§ 2. Приложение к классической |
107 |
задаче о размещении |
|
§ 3. Осуществление m из N |
112 |
событий |
|
§ 4. Приложения к задачам о |
113 |
совпадениях и к задаче |
|
угадывания |
|
§ 5. Различные дополнения |
115 |
§ 6. Задачи |
117 |
Глава V. Условная вероятность. |
120 |
Независимость |
|
§ 1. Условная вероятность |
120 |
§ 2. Вероятности, определяемые |
124 |
через условные вероятности. |
|
Урновые модели |
|
§ 3. Независимость |
131 |
§ 4. Повторные испытания |
134 |
§ 5. Приложения к генетике |
138 |
§ 6. Сцепленные с полом признаки |
142 |
§ 7. Селекция |
145 |
§ 8. Задачи |
146 |
Глава VI. Биномиальное |
152 |
распределение и |
|
распределение Пуассона |
|
§ 1. Испытания Бернулли |
152 |
§ 2. Биномиальное распределение |
154 |
§ 3. Максимальная вероятность в |
157 |
биномиальном распределении |
|
§ 4. Закон больших чисел |
158 |
§ 5. Приближенная формула |
159 |
Пуассона |
|
§ 6. Распределение Пуассона |
163 |
§ 7. Примеры схем, приводящих к |
166 |
распределению Пуассона |
|
§ 8. Время ожидания. |
171 |
Отрицательное биномиальное |
|
распределение |
|
§ 9. Полиномиальное |
174 |
распределение |
|
§ 10. Задачи |
175 |
Глава VII. Нормальное |
181 |
приближение для |
|
биномиального распределения |
|
§ 1. Нормальное распределение |
181 |
§ 2. Предельная теорема Муавра |
185 |
— Лапласа |
|
§ 3. Примеры |
190 |
§ 4. Связь с приближенной |
193 |
формулой Пуассона |
|
§ 5. Большие отклонения |
195 |
§ 6. Задачи |
196 |
Глава VIII. Неограниченные |
200 |
последовательности |
|
испытаний Бернулли |
|
§ 1. Бесконечные |
200 |
последовательности |
|
испытаний |
|
§ 2. Системы игры |
203 |
§ 3. Леммы Бореля — Кантелли |
205 |
§ 4. Усиленный закон больших |
208 |
чисел |
|
§ 5. Закон повторного логарифма |
209 |
§ 6. Интерпретация на языке |
214 |
теории чисел |
|
§ 7. Задачи |
215 |
Глава IX. Случайные величины; |
217 |
математическое ожидание |
|
§ 1. Случайные величины |
217 |
§ 2. Математическое ожидание |
225 |
§ 3. Примеры и приложения |
228 |
§ 4. Дисперсия |
232 |
§ 5. Ковариация. Дисперсия суммы |
235 |
§ 6. Неравенство Чебышева |
239 |
§ 7. Неравенство Колмогорова |
240 |
§ 8. Коэффициент корреляции |
241 |
§ 9. Задачи |
243 |
Глава X. Законы больших чисел |
248 |
§ 1. Одинаково распределенные |
248 |
случайные величины |
|
§ 2. Доказательство закона |
252 |
больших чисел |
|
§ 3. Теория «безобидных» игр |
254 |
§ 4. Петербургская игра |
256 |
§ 5. Случайные величины с |
259 |
различными распределениями |
|
§ 6. Приложения к комбинаторике |
262 |
§ 7. Усиленный закон больших |
264 |
чисел |
|
§ 8. Задачи |
267 |
Глава XI. Целочисленные |
270 |
величины. Производящие |
|
функции |
|
§ 1. Общие положения |
270 |
§ 2. Композиция |
272 |
§ 3. Приложение к задачам о |
276 |
времени первого достижения и |
|
времени первого возвращения |
|
в схеме Бернулли |
|
§ 4. Разложение на простые дроби |
280 |
§ 5. Двойные производящие |
283 |
функции |
|
§ 6. Теорема непрерывности |
284 |
§ 7. Задачи |
287 |
Глава XII. Сложные |
291 |
распределения. Ветвящиеся |
|
процессы |
|
§ 1. Суммы случайного числа |
291 |
величин |
|
§ 2. Сложное распределение |
293 |
Пуассона |
|
§ 3. Безгранично делимые законы |
294 |
§ 4. Примеры ветвящихся |
295 |
процессов |
|
§ 5. Вероятности вырождения в |
297 |
ветвящихся процессах |
|
§ 6. Задачи |
300 |
Глава XIII. Рекуррентные события. |
301 |
Уравнение восстановления |
|
§ 1. Наглядное введение и |
301 |
примеры |
|
§ 2. Определения |
305 |
§ 3. Основные соотношения |
309 |
§ 4. Уравнение восстановления |
314 |
§ 5. Рекуррентные события с |
317 |
запаздыванием |
|
§ 6. Число осуществлении события |
321 |
E |
|
§ 7. Приложения к теории серий |
324 |
успехов |
|
§ 8. Более общие рекуррентные |
328 |
события |
|
§ 9. Особенности времен |
329 |
ожидания с геометрическим |
|
распределением |
|
§ 10. Доказательство теоремы 3§3 |
331 |
§ 11. Задачи. |
333 |
Глава XIV. Случайные блуждания |
336 |
и задачи о разорении |
|
§ 1. Общие понятия |
336 |
§ 2. Задача о разорении игрока |
338 |
§ 3. Средняя продолжительность |
341 |
игры |
|
§ 4. Производящие функции |
344 |
продолжительности игры и |
|
времени первого достижения |
|
§ 5. Явные выражения |
346 |
§ 6. Переход к пределу; процессы |
348 |
диффузии |
|
§ 7. Случайные блуждания на |
352 |
плоскости и в пространстве |
|
§ 8. Обобщенное одномерное |
356 |
случайное блуждание |
|
(последовательный анализ) |
|
§ 9. Задачи |
360 |
Глава. XV. Цепи Маркова |
365 |
§ 1. Определение |
365 |
§ 2. Примеры |
367 |
§ 3. Вероятности перехода за n |
375 |
шагов |
|
§ 4. Замкнутые множества |
377 |
состояний |
|
§ 5. Классификация состояния |
379 |
§ 6. Эргодическое свойство |
384 |
непериодических цепей. |
|
Стационарные распределения |
|
§ 7. Периодические цепи |
388 |
§ 8. Невозвратные состояния |
390 |
§ 9. Задача о тасовании колоды |
395 |
карт |
|
§ 10. Общий марковский процесс |
397 |
§ 11. Различные дополнения |
402 |
§ 12. Задачи |
407 |
Глава XVI. Алгебраический метод |
410 |
изучения конечных цепей |
|
Маркова |
|
§ 1. Общая теория |
410 |
§ 2. Примеры |
414 |
§ 3. Случайное блуждание с |
418 |
отражающими экранами |
|
§ 4. Невозвратные состояния; |
421 |
вероятности поглощения |
|
§ 5. Приложение к времени |
425 |
возвращения |
|
Глава XVII. Простейшие |
427 |
стохастические процессы с |
|
непрерывным временем |
|
§ 1. Общие понятия |
427 |
§ 2. Распределения Пуассона |
430 |
§ 3. Процесс чистого размножения |
432 |
§ 4. Расходящийся процесс |
435 |
размножения |
|
§ 5. Процесс размножения и |
437 |
гибели |
|
§ 6. Показательное время |
442 |
обслуживания |
|
§ 7. Очереди и задачи |
444 |
обслуживания |
|
§ 8. Обратные уравнения |
453 |
(уравнения, «обращенные в |
|
прошлое») |
|
§ 9. Обобщение; уравнения |
455 |
Колмогорова |
|
§ 10. Процессы, уходящие в |
460 |
бесконечность |
|
§ 11. Задачи |
466 |
Ответы к задачам |
470 |
Предметный указатель |
484 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Азартные игры |
— — неблагоприятная 255, 268 |
— — задача о разорении 338 |
— — с бесконечным математическим |
— — с бесконечным математическим |
ожиданием 256 |
ожиданием выигрыша 256 |
Безусловные (полные) вероятности |
— — серии 200, 215, 328 |
121 |
— — система игры 203,340 |
— — — в марковских цепях 376, 402 |
— — три игрока, играющих по |
Бесконечные моменты 271 |
очереди 28, 35 |
— — предельные теоремы для 251, |
Айзинга теория одномерных цепочек |
260, 268, 323 |
55 |
— — при случайном блуждании 98, |
Байеса формула 130 |
102, 352, 374 |
Безгранично делимые распределения |
Биллиард 288 |
294 |
Биномиальное распределение 154 |
«Безобидная игра» 254, 268, 340 |
— — в комбинации с |
распределением Пуассона 177, 292, 300
—— главный член 157, 199
—— дисперсия 233, 236, 274
—— задача о размещении 47, 114
—— интегральные представления для 180, 348, 363
—— как предельная форма гипергеометрического распределения 71,178
—— — условное распределение в пуассоновском процессе 243
—— композиция 179, 264
—— математическое ожидание модуля 247
—— модель Эренфестов 386 Биномиальное распределение,
нормальное приближение для 185
—— отрицательное, см. Отрицательное биномиальное распределение
—— производящая функция 274
—— пуассоновское приближение для 159, 178, 193
—— «хвосты» 158, 180, 198
—— числовые примеры 114, 161,
176
Биномиальные коэффициенты 45, 62
—— интегральные формулы 351, 363
—— тождества для 75, 101, 118 «Благоприятные» случаи 35, 38 Бозе—Эйнштейна статистика 16, 31,
52, 74, 119
Больцмана—Максвелла, см. Максвелла—Больцмана статистика
Бонферрони неравенства 116, 148 Бореля—Кантелли леммы 206, 207 Борьба за существование 434
Бридж, см. Выбор карт, Тасование
—для иллюстрации алгебры событий 27, 36
—распределение карт на руках 46, 70, 106, 117
—— тузов 21, 49, 70 175
—условные вероятности 147 Бросания монеты см. Испытания
Бернулли; Первое достижение; Случайное блуждание; Серии в испытаниях Бернулли
—— как задача о размещении 60
—— — случайное блуждание 88, 336
—— ничьи при 313, 333
—— распределение лидерства 83, 93
—— эмпирические иллюстрации 33, 99
Броуновское движение, см. Диффузия
Буля неравенство 34 b(k,n,p) 154
Вакцин проверка 156 Вероятности поглощения, см.
Продолжительность игры. Вырождение
—— в марковских цепях 391, 408, 421
—— — процессах гибели и размножения 440, 441
—— — — диффузионных 352, 362
—— при случайном блуждании 338, 355, 362
—— — — — обобщенном 356 Ветвящиеся процессы 295. 300 Включение 27 Возвратные состояния 380
Возвращение в начало при испытаниях Бернулли и случайном блуждании 89
—— — в многомерном пространстве
311, 353
—— — как рекуррентное событие
303
—— — предельные теоремы 98, 102
—— — производящая функция 279, 288
—— — с различными вероятностями 394
—— — связь с марковскими цепями
395
—— — число 97, 288, 322
—— — эмпирические иллюстрации
99
—— — n-e 92, 103
Восстановление совокупностей элементов и популяций 308, 319, 334
Восстановления метод в случайном блуждании 362
— уравнение 314, 331 Время возвращения 307, 334, см.
Возвращение в начало, Время ожидания
—— в марковских цепях 380, 425
—— для рекордов 333
—— — серий 324
—жизни 319, 334
—обслуживания показательное 330, 442
—ожидания, см. Время первого достижения, Время возвращения, Возвращение в начало
—— в биллиарде 288
—— — задаче о коллекционировании 60, 117, 230, 245, 288
Время возвращения в комбинаторных задачах 59, 69, 70
—— — марковских цепях 380, 390 408
—— геометрическое 329
—— показательное 442
—— с отрицательным биномиальным распределением 171, 229, 275
—первого достижения в испытаниях Бернулли и при случайном блуждании 89, 303, 337, см.
Продолжительность игры, Время возвращения, Время ожидания
—— — математическое ожидание
276, 341
—— — предельные теоремы 102, 352, 363
—— — производящие функции 276, 333, 344, 362
—— — точные формулы 91, 347,
361 Выбор 40, 238, 245
—время ожидания 59, 118, 229
—карт 106, 113, 117, 237
—повторный 57, 177
—последовательный 356, 360, 373
—при классификации 245
—рандомизированный (случайный) 221
—с возвращением и без возвращения 40, 71, 117, 238
—требуемый объем выборки 156.
193, 197, 250
—элементарные задачи 68, 221 Выборочное среднее 250 Выборочный контроль 56, 175, 177,
244
—— последовательный 356, 360, 373
Выводок насекомых и его выживание 177, 292
Выживание в ветвящихся процессах
295
—— процессах гибели и размножения 439
—генов 124, 177, 297, 394
—фамилии 296
Вылов рыбы 56 Вырождение
—в ветвящихся процессах 297
—— процессах гибели и размножения 439
—генов 124, 297, 394
—рода 296
«Вырожденные» процессы 435, 460 Гамма-функция 78 Гауссовское (нормальное)
распределение 184 Гейгера — Мюллера счетчик, см.
Счетчики Гены и генотипы 21, 121, 149
—— — марковские цепи 374
—— — мутации и выживание 297, 394, 434
—— — наследственность 261 Гемофилия как признак, сцепленный
сполом 126
Геометрическое распределение 173, 243, 349
—— в различных задачах 61, 74, 243, 299
—— — случайных процессах 467
—— для объема семей 147, 296
—— как отрицательное биномиальное распределение 173, 229, 275
—— — предел статистики Бозе — Эйнштейна 74
—— отсутствия последействия 349 442
—— показательное распределение как предел 442
Гипергеометрическое распределение
56, 69, 70, 238
—— двойное 59
—— приближение биномиальным распределением 71, 178
—— — нормальным распределением 197
— — — пуассоновским распределением 178 Гипотез вероятности 130
Гипотезы 121
— статистические, см. Критерии статистические
Граничные точки для стохастических процессов 466
Грозовые разряды, распределение убытков 293, 428
Группировка в марковских цепях 409 Группировки критерий 54 Данные Уэлдона о бросании кости
155
Дважды стохастические матрицы 386 Двойные испытания Бернулли
—производящие функции 283, 300, 335
—— — отрицательного биномиального распределения
290
—— — распределения Пуассона 179, 283
Двойственности принцип 85 Деление клеток 295 Дефекты в материалах 166, 176
—выборочный контроль 175, 177, 244, 356, 373
—некоторые задачи 68, 147
—проверка крови 245
—пуассоновское распределение для числа 162
Дискретные пространства элементарных событий 28
Дисперсия 232
—вычисление по производящей функции 272
—нормального распределения 184
—суммы 235
Дифференциальные уравнения Колмогорова 455
— — — единственность 463
— — |
— обратные 459 |
371, 417 |
— — |
— прямые 458 |
— — — таблицы 51, 109, 111, 114 |
— — — частный случай 431 |
— — — элементарные задачи 39, 67, |
|
Диффузия 348 |
117, 219, 245 |
|
— коэффициент 350 |
— — — эмпирическая |
|
— модель Эренфестов 127, 370, 386, |
интерпретация 20 |
|
407 |
— — — ящики, занятые |
|
— поглощение и первое достижение |
несколькими шарами 43, 47, 72 |
|
351, 362 |
— — разорении 360, см Вероятности |
|
Дни рождения |
поглощения |
|
— — как задача о размещении 20, 72 |
— — сенаторах 46, 56 |
|
— — комбинаторные задачи 69 |
— — снабжении электроэнергией |
|
— — одинаковые 44, 59, 71 |
155 |
|
— — ожидаемое число 230, 244 |
— — телефонных линиях 194, 144, |
|
— — пуассоновское распределение |
468, см Телефон |
|
для 112, 161, 176 |
— — уличном движении 176, 400 |
|
Доминантный ген 122 |
Закон арксинуса 92, 95, 101 |
|
Домино 68 |
— больших чисел |
|
Дополнительные события 25 |
— — — для зависимых случайных |
|
Достоверные рекуррентные события |
величин 268 |
|
307 |
— — — — испытаний Бернулли 158, |
|
Зависимость, см. Независимость |
199 |
|
Задача Банаха о спичечном коробке |
— — — — марковских цепей 403 |
|
173, 231 |
— — — — подстановок 262 |
|
— — — — — вариант 177 |
— — — — рекуррентных событий |
|
— о баллотировке 81, 85 |
321 |
|
— — ключах 60, 68, 147, 244 |
— — — обобщенная формулировка |
|
— — конкуренции 191 |
(для случая бесконечных |
|
— — лифте 21, 44, 71 |
моментов) 256 |
|
— — обуви 69, 117 |
— — — усиленный 264, 269 |
|
— — размещении 20, 49 |
— — — — для испытаний Бернулли |
|
— — — времена ожидания 59, 69, 70, |
208, 215 |
|
229, 288 |
— — — — — цепей Маркова 403 |
|
— — — отрицательное |
— повторного логарифма 209, 215 |
|
биномиальное распределение как |
— — — для марковских цепей 404 |
|
предельная форма распределения |
— — — обобщенный 216 |
|
в 74 |
— следования Лапласа 130 |
|
Задача о размещении» применение |
Замена, см Восстановление, Выбор, |
|
марковских цепей 371, 417 |
Замкнутые множества, Замыкание |
|
— — — пуассоновское |
377 |
|
распределение как предел 58, 110 |
Изюминок распределение 163, 166, |
|
— — — пустые ящики 73, 119, 246, |
176 |
|
Инверсии 262 |
Композиция (свертка) 272 |
Инерции момент 234 |
Контроль за качеством 54, см |
Инициалы 67 |
Выборочным контроль |
Испытания Бернулли, см Закон |
Координатное пространство 136 |
арксинуса, Пари, Биллиард, |
Космические лучи 21, 435 |
Время первого достижения. |
Кости |
Случайные блуждания, Серии в |
— данные Уэлдона 155 |
испытаниях Бернулли |
— и задача о размещении 21 |
— — бесконечная |
— производящие функции 287 |
последовательность 202 |
— равновесие единиц, двоек 304, |
— — интерпретация на языке теории |
314 |
чисел 214 |
— распределение суммы 220, 233, |
— — определение 135 |
249 |
— — сложные 175, 177, 242 |
— серии единиц 200, 215, 325 |
— — с различными вероятностями, |
— элементарные задачи 49, 60, 69, |
дисперсия 236 |
117, 146, 175, 176, 196, 243 406 |
— — — — — определение 224 |
Коэффициент корреляции 241 |
— — — — — пуассоновское |
— обслуживания 448 |
приближение 286 |
Коэффициент простоя 450 |
— повторные 134 |
Крайние распределения 219 |
— — представление через случайные |
Критерии статистические |
величины 223 |
— — группировки 54 |
Канонический вид матриц 410 |
— — однородности 53, 197 |
Карты, см Бридж, Выбор карт, Покер, |
— — порядковые 84, 156 |
Тасование |
— — следования 177 |
Классификация сложная 39 |
— — случайности 53, 68, 69, 73, 84, |
Ковариация 235, 242 |
114 |
Коллекция купонов 21, 60, 117 |
Кровяные тельца 170 |
— — моменты 230, 245, 288 |
— — проверка крови 245 |
Колмогорова дифференциальные |
Лидерства распределение 82, 87, 92, |
уравнения 455 |
159 |
— критерий 265 (обращение 269) |
— — опытные данные 100 |
— неравенство 240 |
Логарифмы, неравенства и степенные |
Колмогорова — Чепмэна уравнение |
ряды 62 |
для случайных процессов 455, |
Ложное заражение 127 |
468 |
Макроскопическое равновесие 384 |
— — — — цепей Маркова 399, 402 |
Максвелла — Больцмана статистика |
Комбинаторные задачи |
16, 32, 52, 72, 119 |
— — использующие центральную |
— — — как предельная форма |
предельную теорему 197, 262 |
статистики Ферми — Дирака 70 |
— — связанные со случайным |
Максимального правдоподобия |
выбором 300 |
оценка 57 |
Максимумы при случайном блуждании (см. Наибольшее наблюдение)
—— — — положение 101
—— — — распределение 361 Марковские процессы 397, 409
—— с непрерывным временем 427, 455
Марковские цепи
—— высоких порядков 405
—— определение 367
—— связанные со случайными процессами 395, 407, 440, 459
—— смесь 409
—— суперпозиция 401 Марковское свойство 331, 398 Математическое ожидание 225
—— отношения 244, 247
—— произведения 227, 235, 241
—— суммы 227
—— условное 228
Матрицы
—каноническое представление 410
—нестохастические 404, 422
—обозначения 151, 367, 375, 414
—общего вида 378, 383, 422
—стохастические 367
—— дважды 387
Метод случайного выбора 221, 300
—усечения 2.52, 258, 260, 266, 269
Многомерное распределение Пуассона 179
Многоярусные лампы 39 Множества
—замкнутые (в марковских цепях) 377
—цилиндрические 137, см. События Молекул длинные цепи 21, 246 Момент инерции 234 Моменты 233
—бесконечные 271
Морзе азбука 68
Мутации 297, 434 Н—обозначения неудачи 152
Наибольшее наблюдение, оценка по
231, 343
Наследственность 138, 261 Невозвратные состояния 380, 390 Недостоверные рекуррентные
события 307 Независимость 131, 222, 247
Немарковские процессы 399, 409 Непересекающиеся события 26 Неправильно набранные телефонные
номера 169 Непрерывности теорема 284 Неприводимые цепи 377 Неразличимость 22, 31, 52
—два типа элементов 47 Несмещенная оценка 247 Несущественные состояния 381 Ничьи
—в биллиарде 288
—— модели случайного блуждания
83
—при бросании нескольких монет
313, 333
—— игре в кости 304, 314 Нормальная плотность и
распределение 181
—— — — оценки 183, 196
Нормальное приближение для биномиального распределения 185, 199
—— — — — большие уклонения 195
—— — гипергеометрического распределения 197
—— — комбинаторных серий 197
—— — марковских цепей 403
—— — перестановок 263, 264 Нормальное приближение для
пуассоновского распределения 193, 197, 250