αk = λk αk −1 , k = 1,2… - рекуррентное уравнение.
α0 =1 (нормировка).
mX = α1 = λ1 . Таким образом, λ имеет смысл величины, обратной мате-
матическому ожиданию. Далее, согласно (2.14) |
α |
|
= |
2 |
α = |
2 |
|
|
λ |
λ2 |
|||||
|
|
2 |
|
1 |
|
DX = λ12 σX = λ1 = mX ;
б) вычислим медиану hX для данного распределения. Найдем корень уравнения
|
|
|
FX(x) = |
|
1 ; |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 ; |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
1 – e−λx = |
|
e−λx = |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 ; |
2 |
|
||
|
|
|
− λx = ln |
|
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
hX = − |
ln |
. = |
|
1 |
ln 2 |
≈ 0,693mX . |
||||||
|
2 |
|
|
|||||||||
|
λ |
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|||
2.7. Нормальное распределение
Говорят, что X распределена по нормальному (гауссовскому) закону с параметрами: m R и σ > 0 (краткое обозначение X ~ N(m, σ)), если плотность распределения вероятностей имеет вид:
|
1 |
− |
(x−m)2 |
|
f X (x) = |
2σ2 |
, x R, m - любое, σ > 0. |
||
σ 2π |
e |
|
||
|
|
|
|
1. Вычислим математическое ожидание:
44
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
− |
(x−m)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
mX |
= α1 |
= ∫ |
x |
|
1 |
|
2σ2 |
|
|
|
|
|
= t |
= |
|
|
|
|||||
|
|
σ |
e |
|
|
|
dx = x − m |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
−∞ |
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
σ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||
= σ 2 |
|
−t 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
−t |
2 |
|
|
∫ |
|
−t 2 |
|
|
|||||||
|
(σt 2 + m)e dt = |
|
|
|
e dt + σ |
2 |
te |
|
|
|
= |
|
m π = m. |
|||||||||||
σ 2π |
|
π |
m |
|
|
|
|
dt |
π |
|||||||||||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
||||||||
Первый интеграл - интеграл Пуассона, равный 
π , второй инте-
грал - интеграл от нечетной функции, пределы симметричны интеграл равен 0 mX = m.
2. Рассмотрим центральный момент s-го порядка:
|
|
|
1 |
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
− |
(x−m)2 |
x − m = t |
|
σ |
s +∞ |
|
− |
t 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
µs = |
|
|
|
∫(x |
− m)s |
|
|
|
|
2σ |
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
∫ t s e 2 dt = |
||||||||||||||||||
σ |
|
2π |
e |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
1 |
|
= |
2π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
σ |
dx |
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t s−1 = u, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
+∞ |
|
|
t |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 dt = dv, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
t e |
|
|
|
|
|
σ |
s |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−t s−1 e 2 |
|
+ (s −1) ∫t s−2 e |
|
2 dt = |
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
s−2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
du = (s −1)t |
|
|
dt, |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
v |
= −e |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
σs−2 |
|
|
|
|
|
|
− |
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
s− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= σ |
(s −1) |
t |
e |
2 dt |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µs = σ2 (s −1) µs−2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.15) |
|||||||||||
Выражение (2.15) - рекуррентная формула для центральных моментов с начальными значениями: µ0 = 1, µ1 = 0. Очевидно, что все центральные моменты нечетного порядка равны нулю: µ2k–1 = 0, k = 1,2,…,
µ2 = DX = σ2.
45
Определение. Если X N(0,1), то f X (x) = 1 |
e− |
x2 |
|
2 ; такое распре- |
|||
2π |
|
|
|
делениеназываетсястандартизованнымнормальнымраспределением.
Если X N(0,1) (стандартизованная нормальная), то ее функция
|
x |
t 2 |
|
|
распределения обозначается как FX(x) = Φ(x) = 12π |
∫e− |
|
|
|
2 |
|
и называется |
||
интегралом вероятности. |
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Существуют таблицы функции Φ(x) для x [0,4]; |
для x > 4 с |
|||
хорошей точностью Φ(x) ≈ 1.
Помимо свойств, общих со свойствами любой функции распределения, Φ(x) обладает специальным свойством:
Φ(−x) =1 − Φ(x).
Используяэтосвойство, легкоможнополучитьзначения Φ(x) дляx < 0.
Вероятность попадания на интервал.
Пусть X ~ N(0,1) очевидно, что P{x1 ≤ X < x2} = Φ(x2) – Φ(x1) в силу свойства функции распределения.
Общий случай. Пусть X N(m,σ) используя свойство 3 функции распределения из 2.5, получим:
x2
P{x1 ≤ X ≤ x2} = FX (x2 ) − FX (x1) = σ 12π ∫e x1
− |
(x−m) |
2 |
x − m |
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
σ |
|
|||||
|
2σ2 |
|
dx = |
|
|
= |
|
|
|
|
|
dx = σ dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 −m |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
σ |
− |
x |
|
− m |
x |
− m |
|||||
|
∫ |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
= |
|
e |
2 |
dt = Φ |
|
|
|
− Φ |
1 |
|
. |
|||
2π |
|
|
σ |
|
σ |
|||||||||
|
|
x −m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ
Вычислим вероятность попадания на симметричный относительно математического ожидания интервал:
|
|
|
ε |
|
|
ε |
|
ε |
|
|||
P{ |
X − m |
< ε}= P{m − ε < X < m + ε}= Φ |
|
|
− Φ |
− |
|
|
= 2Φ |
|
|
−1. |
|
|
|
σ |
|
|
σ |
|
σ |
|
|||
46