Пример 13. X N(m,σ). Вычислить P{ X − m < kσ}, k = 1,2,3.
Определение. |X – m| называется отклонением от математического ожидания.
P{ |
|
|
0,68, k =1; |
|
X − m |
|
|
|
< k σ}= 2Φ(k) −1 = 0,954, k = 2; |
||
|
|
|
|
|
|
|
0,9972, k = 3. |
На практике часто пользуются правилом трех σ: более 99% "массы" нормального распределения сосредоточено в пределах (mX – 3σX, mX + 3σX). Интеграл вероятности тесно связан с известной специальной функцией, называемой функцией ошибок:
|
2 |
x |
−t |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
erf (x) = |
|
∫e |
|
dt, |
|
Φ(x) = |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
2 |
1 |
+ erf |
2 |
. |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для больших х ( x >>1) используется асимптотическая формула:
|
|
1 |
− |
x2 |
|
1 |
|
1 3 |
|
1 3 5 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
− Φ(x) = |
|
e |
2 1 |
− |
|
+ |
|
|
− |
|
+... , |
|
x 2π |
x2 |
|
x4 |
x6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при х > 4 уже 3 члена ряда дают ошибку ≤ 2 10–7.
Глава 3Случайные векторы
3.1. Основные понятия. Свойства функции распределения
Часто результаты эксперимента описываются несколькими случайными величинами.
Определение. Пусть в данном эксперименте определены n случайных величин: X1(w), X2(w)…Xn(w). Рассматривая их совместно, можно получить вектор X = (X1(w), X2(w)…Xn(w)), для которого определены все интервальные события.
Для каждого такого вектора можно построить многомерную функцию распределения:
FX1, X 2 ...X n (x1, x2...xn )= P{X1 < x1, X 2 < x2...X n < xn}.
47
|
Остановимся подробнее на двумерном случайном векторе и опи- |
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
шем свойства функции распределения. |
|
||||||||
|
Свойства двумерной функции распределения. |
|
|||||||
|
Г(x,y) |
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
Определение. |
F |
|
|
|
|
|||
|
X ,Y |
(x, y) =P{X < x,Y < y}. Геометрический смысл |
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
иллюстрируется на рис.3.1: FX,Y(x,y) есть вероятность попадания в пря- |
|||||||||
мой |
угол |
на |
|
плоскости. |
FX ,Y (x, y) = P{(X ,Y ) Г(x, y)}, |
где |
|||
|
′ |
′ |
′ |
< x, y |
′ |
< y}. |
|
|
|
Г(x, y) ={(x , y ) x |
|
|
|
|
|||||
|
|
Рис.3.1. |
|
|
|
|
|
||
|
1. Функция распределения существует для (x,y) R2, причем |
||||||||
FX ,Y (−∞, y) = FX ,Y (x,−∞) = FX ,Y (−∞,−∞) = 0 . |
|
||||||||
|
2. FX ,Y (x,+∞) = FX (x), FX ,Y (+∞, y) = FY ( y). |
|
|||||||
|
FX ,Y (x,+∞) = P{X < x,Y < +∞} = P{X < x} P{Y < +∞ | X < x} = |
||||||||
=P{X < x} = FX (x). Аналогично: FX ,Y (+∞, y) = FY(y).
3.FX ,Y (+∞,+∞) =1.
4.FX ,Y (x, y) - неубывающая функция по каждой переменной.
Действительно, пусть x2 > x1 {X < x1,y} {X < x2,y} по свойству вероятности получаем результат. 
5. FX ,Y (x, y) непрерывна слева по каждомуy аргументу (см. одно-
мерный случай). |
y2 |
П |
|
y1 |
x |
|
|
х1 |
х2 |
Рис.3.2. |
|
48
6. Вероятность попадания в прямоугольник. Рассмотрим область на плоскости П = {(x,y) x1 ≤ x < x2, y1 ≤ y < y2}. Данный прямоугольник изображен на рис.3.2.
P{(Х,Y) П}= Р{х1 ≤ Х < х2, y1 ≤ Y < y2} = FX,Y(x2, y2) +
(3.1)
+ FX,Y(x1, y1) – FX,Y(x1, y2) – FX,Y(x2, y1).
Рассмотрим события Aij = {X < xi, Y < yj}, i,j = 1,2; C = A12 + A21.
По формуле сложения вероятностей
P(C) = P( A12 + A21) = P( A12 ) + P( A21) − P( A12 A21) =
= P( A12 ) + P( A21) − P( A11).
Учтем, что A22 = П + С, причем ПС = по аксиоме сложения:
Р(А22) = Р(П) + Р(С) Р(П) = Р(А22) – Р(С) = Р(А22) – Р(С) =
=Р(А22) + Р(А11) – Р(А12) – Р(А21). 
3.2.Случайные векторы дискретного типа и их законы распределения
Определение. Случайный вектор (СВ) называется случайным вектором дискретного типа (СВДТ), если множество его возможных значений EX,Y конечно или счетно.
Определение. Закон распределения СВДТ - это таблица вида:
X |
|
|
Y |
|
pi• = P{X = xi} |
|
y1 |
y2 |
. . . |
ym |
|||
|
|
|||||
x1 |
p11 |
p12 |
. . . |
p1m |
p1• |
|
x2 |
p21 |
p22 |
. . . |
p2m |
p2• |
|
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
. . . |
|
xn |
pn1 |
pn2 |
. . . |
pnm |
pn• |
|
p•j = P{Y = yi} |
p•1 |
p•2 |
. . . |
p•m |
1 |
Здесь pij = P{X = xi,Y = yj}, (xi,yj) EX,Y, причем выполняется условие нормировки:
49
∑∑pij =1. i j
Последние строка и столбец таблицы используются для описания закона распределения отдельных компонент. Возникает несколько задач, рассмотренных в следующих примерах.
Пример 1. По известному закону распределения случайного вектора (X,Y) (известна основная таблица) восстановить законы распределения отдельных компонент.
Рассмотрим в качестве гипотез:
|
поформулеполной |
|
|
Hj = {Y = yj} P{X = xi} = |
= |
|
|
|
вероятности |
|
|
= ∑P{Y = y j} P{X = xi |
Y = y j } = ∑P{Y = y j} P{X = xi ,Y = y j} |
= |
|
j |
j |
P{Y = y j} |
|
|
|
||
m
= ∑pij = pi• в последнем столбце записываются pi• = P{X = xi} .
j
Пример 2. По закону распределения отдельных компонент восстановить закон распределения всего вектора (обратная задаче 1).
Задача не имеет однозначного решения. Проиллюстрируем это примером.
Пусть X и Y распределены одинаково согласно таблице:
X |
–1 |
1 |
p |
1/2 |
1/2 |
Y |
–1 |
1 |
p |
1/2 |
1/2 |
Построим следующие две таблицы:
Таблица 1 |
Таблица 2 |
xi\yi |
–1 |
1 |
pi• |
–1 |
1/2 |
0 |
1/2 |
1 |
0 |
1/2 |
1/2 |
p•j |
1/2 |
1/2 |
1 |
xi\yi |
–1 |
1 |
pi• |
–1 |
1/4 |
1/4 |
1/2 |
1 |
1/4 |
1/4 |
1/2 |
p•j |
1/2 |
2 |
1 |
50
То, что эти таблицы описывают абсолютно различные распределения, следует уже из различия спектров возможных значений восстановить совместный закон распределения вектора однозначно нельзя. 
Пример 3. По закону распределения случайного вектора (по из-
вестной таблице) построить функцию распределения FX,Y(x,y).
FX,Y(x,y) = P{(X,Y) Г(х,у)} = ∑∑pij . |
(3.2) |
i |
j |
xi <x |
y j <y |
Пример 4. По заданной функции распределения восстановить таблицу распределения.
Задача решается в следующем порядке.
1)Выявим точки скачка функции распределения восстановим
спектр.
2)Определим вероятность каждого дискрета по формуле прямоугольника. 
Последнее действие иллюстрируется рис.3.3. Вероятность реализации
y |
|
|
|
|
|
дискрета, выделенного овалом, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
равна вероятности попадания в |
|
|
|
|
|
|
выделенный прямоугольник |
|
|
|
|
|
|
(формула (3.1)). |
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|
x |
x |
x |
3.3. Независимость слу- |
|
|
|
|
|
|
|
чайных величин |
|
|
|
|
|
|
Определение. Случайные вели- |
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
чины X, Y называются независимыми, |
Рис.3.3. если
FX,Y(x,y) = FX(x)FY(y), (x,y) R2.
Теорема 3.1. Для независимости компонент СВ дискретного типа необходимо и достаточно, чтобы pij = pi• p•j, i, j из основной таблицы распределения.
Достаточность. Пусть pi j = pi• p• j FX,Y(x,y) = {формула (3.2)} = |
||||
= ∑ |
∑pij = |
∑ Pi• |
∑P•j = FX(x) FY(y). Достаточностьдоказана. |
|
i |
j |
i |
j |
|
(xi ,y j ) Г(x,y) |
|
{X <x } |
{Y<y |
} |
|
|
i |
j |
|
51
Необходимость. Пусть Х и Y - независимые, т.е. по определению FX,Y(x,y) = FX(x) FY(y), для любых x,y R2. Пусть (xi,yj) EX,Y - произвольный дискрет. Выберем столь малые ∆x и ∆y, чтобы прямоугольник
П(xi,yj) с центром в этой точке и вершинами ((xi ± ∆x),(yj ± ∆y)) не содержал никаких других дискретов, кроме этого. Вычислим вероятность реализации данного дискрета по правилу, описанному в примере 4. (Указанный прямоугольник изображен на рис.3.4.)
pij = (по определению) = P{X = xi, Y
=yj} = {по построению} =
=P{X,Y П(xi,yi)} = FX,Y(xi + ∆x, yj + ∆y) + FX,Y(xi – ∆x, yj – ∆y) – FX,Y(xi–∆x, yj+ ∆y)
– – FX,Y(xi + |
∆x , yj – ∆y) = |
|
используем |
|
= FX(xi + ∆x) FY(yj |
|
|
|
независимость |
|
|
+∆y) +
+FX(xi – ∆x) FY(yj – ∆y) – FX(xi – ∆x) FY(yj + ∆y) – FX(xi + ∆x) FY(yj – ∆y) =
Y
yj
∆y 
yj
X
yj ∆y
xi + ∆x xi xi + ∆x
Рис.3.4.
=FY(yj + ∆y)(FX(xi + ∆x) – FX(xi – ∆x)) – FY(yj – ∆y)(FX(xi + ∆x) – FX(xi –∆x)) =
=(FX(xi + ∆x) – FX(xi – ∆x))(FY(yj + ∆y) – FY(yj – ∆y)).
(F |
|
|
(x |
|
+ ∆x) − F |
|
(x |
|
− ∆x) = p |
|
|
(F |
X |
|
i |
|
X |
|
i |
i• |
. |
||
|
( y |
j |
+ ∆y) − F ( y |
j |
− ∆y) = p |
|
|
||||
Y |
|
|
Y |
|
|
• j |
|||||
pij = (FX(xi + ∆x) – FX(xi – ∆x))(FY(yi+ ∆yi) – FY(yi – ∆yi)) = pi• p• j.
Замечание. В теореме 3.1 устанавливается так называемое локальное условие независимости случайных величин X и Y. Согласно этому условию распределение из примера 2, описываемое табл.2, соответствует распределению независимых компонент X и Y.
Пример 5. Один раз подбрасывается игральная кость. Определим следующие случайные величины:
Х - индикатор числа очков, кратных 2 (индикатор четности); Y - индикатор числа очков, кратных 3 (индикатор деления на 3).
1.Описать закон распределения случайного вектора (X, Y).
2.Определить, зависимые или нет компоненты X и Y.
3.Построить функцию распределения вектора (X, Y).
52
1) По определению индикатора EX = {0,1}, EY = {0,1} EX,Y {(0,0); (0,1); (1,0); (1,1)}.
Перейдем кмножествуэлементарных исходовΩ.. Получимтаблицу:
Ω |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
X |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Начнем заполнять основную таблицу. Сначала заполним окаймление таблицы. Во внутренней части таблицы достаточно заполнить одну клетку, тогда остальные заполняются по нормировке. Например,
p0,0 = P{X = 0, Y = 0} = P(1) + P(5) = 16 + 16 = 13 . Далее восстанавливаем по стрелке:
X |
Y |
|
|
|
0 |
1 |
pi• |
||
|
||||
0 |
1/3 |
1/6 |
1/2 |
|
1 |
1/3 |
1/6 |
1/2 |
|
p•j |
2/3 |
1/3 |
1 |
2) Проверим каждую клетку таблицы: если локальное условие независимости выполняется во всех клетках, то X и Y независимы.
pij = pi• p•j для всей таблицы X и Y независимы.
3) Построим функцию распределения. Для этого изобразим на плоскости множество EX,Y (на рис.3.5 отмечено крестиком):
Для фиксированного положения вершины прямого угла FX,Y(x,y) = = P{(x,y) Г(x,y)} = ∑∑Pij . Меняя положение вершины, получаем
i |
j |
(xi , y j ) Г(x, y) |
|
соответствующую сумму и заносим результат в таблицу: |
|
y |
Положение прямого угла |
|
для дискрета [0; 1] |
0 |
x |
|
Рис.3.5. |
53