Пример 8. Производится последовательное независимое тестирование элементов интегральной схемы. Вероятность обнаружения дефекта у очередного элемента равна р = 0,005. Тестирования продолжаются до первого обнаружения дефекта, после чего прекращаются.

Определить:

1)среднее число испытанных элементов;

2)наиболее вероятное число испытанных элементов;

3)вероятность, что будет испытано не менее 5 элементов;

4)вероятность, что число испытанных элементов будет больше среднего значения.

1. Обозначим Х - число испытанных элементов до первого обнаружения дефекта. Очевидно, по описанию эксперимента, что

Х~ Гео(0,005). Отсюда следует, что mX= 1p = 15 103 = 200.

2.Поскольку P{X = 2} = p q = q p{X = 1} < p{X = 1} dX = 1 - наибо-

леевероятноечислоиспытанных элементов(мода распределения).

3.P{X ≥ 5} = 1 – p{X < 5} = 1 – p1 – p2 – p3 – p4 = 1 – (1 + q + q2 + q3)p =

= 1 – p(1 + q)(1 + q2) = 1 – 0,995 1,005 1,000025 ≈ 0,999975.

=0,995200 ≈ 0,367.

2.5.Случайные величины непрерывного типа и их законы распределения

Определение 1. Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа (СВНТ), если множество EX непрерывно и существует такая неотрицательная, интегрируемая по Риману в бесконечных пределах функция fX(x), называемая плотностью распределения вероятностей, что при x R

Из определения вытекают следующие свойства плотности: 1) fX(x) ≥ 0, x R;

38

+∞

2) нормировка: ∫−∞ f X (t)dt = 1.

Эти свойства являются характеристическими, т.е. любая функция действительного переменного f(x), удовлетворяющая 1) и 2), может являться плотностью распределения вероятностей некоторой гипотетической случайной величины.

Из определения вытекают также следующие специфические для

3. Пусть интервал [x1, x2) не содержит точек разрыва плотности,

тогда для вероятности попадания на интервал справедлива формула:

Действительно, согласно универсальному свойству функции распределения (2.2) имеем:

P{x1 ≤ X < x2} = FX(x2) – FX(x1) = ∫xx12 dFX (x) = = {в силу (2.12)} = ∫xx12 f X (x)dx.

Полученный интеграл геометрически представляет собой площадь под кривой плотности распределения вероятностей на интервале [x1, x2).

Замечание. Свойство 3 остается верным и в общем случае. Пусть, например, интервал [x1, x2) содержит точку разрыва х = с. Тогда имеем следующую цепочку равенств:

39

Определение 2. Дифференциал fX(x)dx называется элементом вероятности.

Числовые характеристики СВНТ

1. Моменты (записываются по аналогии с дискретным случаем, при этом сумма заменяется на интеграл, вероятности pk - на элемент вероятности):

∞

а) начальные: αs = ∫x s f X (x)dx - начальный момент s-го порядка;

−∞

∞

б) центральные: µs = ∫(x − mX )s fX (x)dx - центральный момент s-го

−∞

порядка.

Частные случаи:

mX = α1;

µ0 = 1, µ1 = 0; DX = µ2.

Замечание. Данные характеристики существуют тогда и только тогда, когда определяющие их несобственные интегралы сходятся абсолютно. При этом сохраняет силу формула (2.6):

соответствующая максимуму плотности.

3. Медиана: имеет смысл только для непрерывных случайных величин. hX - точка на оси Oх, для которой вероятность случайной вели-

40

чины оказаться левее равна вероятности оказаться правее, т.е. Р{Х < hX} = = Р{Х> hX}. Отсюдаследует, чтомедианаявляетсякорнем уравнения:

FX (x) = 12 .

Определение 3. Числовые характеристики mX, dX, и hX называются характеристиками положения. Совпадают только в случае симметричного относительно mX распределения.

2.6. Основные классические распределения непрерывного типа и их характеристики

1. Равномерное распределение. Говорят, что X распределена по закону равномерной плотности на отрезке [a,b] (краткое обозначение: X ~ R(a,b)), если плотность распределения вероятностей имеет вид:

0, x [a,b];

f X (x) = 1 , x [a, b].

b − a

График плотности изображен на рис.2.3. fX(x)

1

b − a

Рис.2.3.

Очевидно, что условие нормировки (обязательное требование к

∞

плотности) ∫ f X (x)dx = 1 выполняется.

−∞

Пример 9. Пусть X ~ R(a,b). Вычислить mX, DX и FX(x).

41

Пример моделей экспериментов.

Пример 10. Отсчет времени по секундомеру. Случайная величина

∆ - цена деления секундомера.

Пример 11. Выбор точки наудачу на отрезке [0, l]. Случайная величинаX - координатавыбраннойточкираспределенапозаконуR(0, l).

2. Показательное (экспоненциальное) распределение.

Определение. Говорят, что случайная величина Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону с параметром λ > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид

{0, x ≤ 0;

f X (x) = λ e−λx , x > 0.

Краткое обозначение: X ~ Ex(λ).

Пример 12. Модель отказов радиоаппаратуры, приводящая к показательному распределению. Пусть Х - время безотказной работы радиоаппаратуры. Формализация: пусть известно, что аппаратура проработала х единиц времени без сбоя. Примем, что вероятность отказа радиоаппаратуры за время ∆х, следующее за моментом времени х, пропорциональна ∆х с точностью до членов порядка o(∆х) и не зависит от x. Вычислить плотность распределения вероятностей fX(x).

По условию Р{Х < x + ∆х / Х ≥ x} = λ ∆х + о(∆x).

42

Найдем сначала функцию распределения. Рассмотрим

∆FX(х) =

= FX(х + ∆х) – FX(х) = Р{х ≤ Х < х + ∆х} = {используем

произведение событий} = {по формуле умножения} = P{X > x}Р{Х < х + ∆х / Х ≥ х} = = (1 – FX(x)) (λ∆х + о(∆x) ).

Отсюда получаем:

Переходя к пределу при ∆х→0 и разделяя переменные, получаем дифференциальное уравнение:

F'(x)

1− F(x)

FX (x) = 0 для x ≤ 0 начальное условие FX (0) = 0. Решим полученное уравнение при x > 0:

Примеры экспериментов:

1)время ожидания в очереди (используется в теории массового обслуживания);

2)время поиска чего-либо (например, затонувшего судна).

Характеристики экспоненциального распределения:

а) вычислим основные моменты.