Глава 2 Случайные величины

2.1. Основные понятия, связанные со случайной величиной

Пусть опыт полностью формализован, т.е. Э → {Ω, F, P}. Рассмотрим какую-либо функцию X(ω), ω Ω, отображающую Ω в R (Ω R). При некоторых дополнительных условиях X(ω) называется случайной величиной.

Пример 1. Монета подбрасывается три раза. Определим случайную величину Х - число выпавших гербов. Построим явно эту функцию.

Записывая исходы эксперимента в виде слов из нулей и единиц, получим:

Ω = {111, 011, 101, 110, 100, 010, 001, 000}.

Всего исходов 23 = 8. Закон соответствия ω →X(ω) описывается следующей таблицей:

Обозначим ЕX = {0,1,2,3} множество возможных значений случай-

ной величины X(ω). Множество EX часто называют спектром случайной величины Х.

Пример 2. Наудачу выбирается точка в единичном квадрате. Определим случайную величину Z(ω) - расстояние от точки до начала координат. Выразить явно Z через исходы.

Ω = {(x,y)}| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}; Z(ω) = x2 + y2 , x [0,1], y [0,1];

Ez = [ 0, 2 ] - спектр Z(ω); Z - случайная величина непрерывного типа (в примере 1 X - случайная величина дискретного типа).

Определение. Случайной величиной называется числовая функция X(ω), определенная на множестве Ω, такая, что для любого х из множества действительных чисел R (x R) множество тех ω, для которых выполняется условие X(ω) < x, принадлежит алгебре событий F для

28

данного опыта. (Краткая запись: {ω | X(ω) < x, x R} F; в дальнейшем будем писать сокращенно: {X < x}.)

Замечание 1. Дополнительное условие, фигурирующее в определениислучайнойвеличины, обеспечиваетизмеримость события{X(ω) < x дляx R}. При этом измеримость других интервальных событий будет иметь место автоматически, поскольку F - алгебра.

Действительно, по определению алгебры {X ≥ x} = {X < x} F.

Событие {x1 ≤ X < x2} = {X ≥ x1} {X < x2} F, поскольку представляет произведение и поэтому также является элементом алгебры F.

Замечание 2. Рассматриваемая в примере 1 функция X(ω) является случайной величиной, так как Ω - конечно, а множество всех подмножеств конечного множества образует алгебру. Рассматриваемая в примере 2 функция Z(ω) - случайная величина, если в качестве алгебры событий F рассматривается совокупность всех квадрируемых (по Лебегу) подмножеств из Ω.

Действительно, множество {Z(ω) <z, z R+} представляет собой круг радиусом z > 0, поэтому является квадрируемым множеством.

2.2.Функция распределения случайной величины

иее свойства

Определение 1. Функцией распределения случайной величины X

называется действительная функция действительного переменного, определяемая следующим равенством:

Ясно, что {X < x2} = {X < x1} + {x1 ≤ X ≤ x2} {по аксиоме 3 в

силу несовместимости слагаемых} P{x1 ≤ X ≤ x2} = FX(x2) – FX(x1).

29

Эти свойства универсальны, т.е. не зависят от того, дискретна или непрерывна функция X(ω).

Определение 2. Случайная величина X называется случайной величиной дискретного типа (СВДТ), если множество ее значений EX конечно или счетно.

Определение 3. Случайная величина Х называется случайной величиной непрерывного типа (СВНТ), если множество ее значений EX образует интервалы на действительной оси.

2.3. Закон распределения случайной величины дискретного типа

Определение 1. Законом распределения СВДТ называется таблица,

состоящая из двух строк: в первой строке перечисляются все возможные значения случайной величины, а во второй строке указываются соответствующие вероятности их реализаций. При этом должно выпол-

няться обязательное условие нормировки:

∑P{X = xk } =1 , хk ЕX. k

Пример 3. Описать закон распределения случайной величины Х из примера 1.

Пример 4. Пусть Э - последовательность испытаний по схеме Бернулли. Определить случайную величину Х - число успехов в n опытах посхемеБернулли. Описатьзаконраспределения случайнойвеличиныХ.

Очевидно, что ЕX = {0,1,2,…,n}. Ясно, что событие {X = k} = Bn,k

числовые характеристики

Ключевым понятием является "момент распределения".

Момент распределения

Определение 1. mХ = α1 = ∑x1k pk называется математическим

k

ожиданием. Это среднее значение случайной величины Х по распределению (аналогия с формулой центра тяжести в механике). Часто mХ

называют "центром распределения".

Определение 2.

называется дисперсией. Дисперсия - показатель степени разброса случайной величины.

Определение 3. Величина aХ = µ3 называется асимметрией, где

σ3x

σX = DX - среднеквадратическое отклонение ( σX - эталон разброса).

Если ax = 0, то распределение случайной величины X симметрично относительно математического ожидания.

Определение 4. eХ = µ4 – 3 называется эксцессом. Эксцесс -

σ4X

характеристика островершинности распределения.

32

Преобразуем формулу (2.5):

DX = ∑(xk − mX )2 pk = ∑(xk2 − 2mX xk + m2X ) pk = ∑xk2 pk −

1.Равномерное распределение (дискретное).

ХR(n), n - число дискретов. Таблица распределения в этом случае имеет вид:

mX = 1 ∑n xk - среднее арифметическое. n k =1

2. Биномиальное распределение.

Пусть Х B(n,p). Это значит, что спектр возможных значений

EX = {0,1,2,…,n} и

P{X = k} = Pn,k(p) = Cnk pk qn−k , k EX.

33

Найдем mX и DX:

n

mX = ∑k Cnk pk qn−k .

k =0

Эту сумму можно свернуть двумя способами: 1) с использованием бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона:

n

(q + p)n = ∑Cnk pk qn−k , q иp - произвольныедействительныечисла. (2.7)

k =0

Если q + p = 1, то бином Ньютона дает нормировку и возможность использовать различные операции.

Чтобы вычислить mX, надо (2.7) продифференцировать по p и

Для вычисления дисперсии по формуле (2.6) находим α2:

n

α2 = ∑k 2 Cnk pk qn−k . k =0

Продифференцируем (2.7) дважды по р:

n

[(q + p)n]' = [n(q + p)n–1] = ∑k Cnk pk −1 qn−k ;

k =0

p[np(q + p)n–1]'p = α2 = pn((q + p)n–1 + (n – 1)p(q + p)n–2) =

= (таккакq + p = 1) = np(1 + np – p) = np(q + np) = {q = 1 – p} = n2p2 + npq;

DX = α2 – m2X = n2p2 + npq – n2p2 = npq; DX = npq;

2) c помощью производящей функции.

Производящая функция для биномиального распределения:

n

Ψ(x) = (q + px)n = ∑Pn,k ( p)xk , где Pn,k - биномиальные вероятности.

k =0

mX = Ψ '(x)|x=1 = n(q + px)n–1 p = np(q + 1 – q)n–1 = np;

34

Распределение Пуассона описывает:

-число атомов, распавшихся в единицу времени (радиоактивный распад);

-число независимых вызовов на АТС в единицу времени и т.д.

→λk e−λ при n → ∞, т.е. получаем формулу (2.9). k!

Из теоремы следует, что при выполнении условий n велико, p мало, λ - фиксированная величина, биномиальные вероятности можно аппроксимировать пуассоновскими. Качество аппроксимации гарантируется оценкой [3]:

Так как при малых р успехи становятся маловероятными, то пуассоновское распределение интерпретируется как закон редких явлений.

Пример 7. Система коммутаций на АТС содержит n = 50000 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого за время Т равна p = 2 10–5.

1. Найти среднее (по распределению) число отказавших за время Т элементов и наиболее вероятное число отказавших элементов.

36

2. Какова вероятность, что за время Т откажет не менее 2-х элементов?

Обозначим Х число отказавших за время Т элементов. Согласно условию Х ~ В(50000, p = 2 10–5). При этом np = λ = 5 104 2 10–5 = 1.

1.Согласно (2.8) mХ = np = 1 - среднее число отказавших элементов

≡математическое ожидание. Наиболее вероятное число отказавших элементов (мода dX) удовлетворяет неравенству:

np – q ≤ dX ≤ np + p,

отсюда следует, что dX = 1.

2. Используем аппроксимацию Пуассона:

P{X ≥ 2} = 1 – P{X < 2} = 1 – p0 – p1 = 1 – e–1 – e–1 = 1 – 2 e–1 = 1 – 0,7358 = 0,2642.

4. Геометрическое распределение.

Определение 6. Говорят, что Х распределена по геометрическому за-

конуспараметромр> 0 (запись: Х~ Гео(р)), еслиEX = N, P{X = xk} = qk–1 p.

Это распределение встречается в опытах до 1-го успеха по схеме Бернулли, где X - число проведенных опытов до 1-го успеха (включительно).

Нормировка:

Здесьиспользованаформуласуммычленовгеометрическойпрогрессии:

Дважды дифференцируя (2.10) по q и используя формулу (2.6), находим:

DX = q2 . p

37