Воспользоваться формулой (1.10).

Пример 22. Устройство состоит из 200 независимо работаю-

щих элементов. Вероятность "отказа" любого элемента схемы p = 0,01. "Успех" - это отказ. Какое число отказавших элементов наиболее вероятно?

Используем рекуррентную формулу, начиная с Pn,0:

Ответ: наиболее вероятное число отказавших элементов равно

2.

1.8.Обобщения схемы Бернулли

1.Биномиальная схема с неравными вероятностями (два исхода: успех и неудача, но вероятность успеха меняется из опыта в опыт).

24

Положим Ωk = {Ak, Ak ), P(Ak) = pk, P( Ak ) = 1 – pk = qk. По-

Cnm

прежнему P(Bn,m) = ∑P(ωim ) , но в отличие от обычной схемы Бер-

i=1

нулли P(ωim ) зависит от i. Чтобы посчитать эту вероятность,

используем аппарат производящих функций. Определим производящую функцию схемы Бернулли:

n

Ψ(x) = (q + px)n = ∑Cnm pmqn−m xm. m=0

Заметим, что коэффициент при xm равен вероятности Pn,m(p) в схеме Бернулли. Аналогично строится производящая функция обобщенной схемы 1:

причем Pn,m = P(Bn,m).

Нетрудно убедиться, что имеет место формула

Пример 23. Электронная схема состоит из 5 независимо рабо-

тающих элементов с вероятностями отказов, равными соответ-

ственно: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6.

Наблюдаемые события: A = {хотя бы один элемент отказал};

В = {прибор отказал}≡{отказало не менее двух элементов}.

25

Вычислить P(A) и P(B).

Составим производящую функцию Ψ(x) = (q1 + p1x) (q2 + p2x)

(q3 + p3x) (q4 + p4x) (q5 + p5x). Очевидно, что P(A) = 1 – P(B5,0); P(B5,0)

=

= {формула (1.11)} = q1q2q3q4q5 = 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 = 0,0672 P(A) =

0,9328. Так как B = B5,2 + B5,3 + B5,4 + B5,5 содержит много слагаемых, перейдем к противоположному событию:

P(B) = 1 – P( B) ; B = B5,0 + B5,1 P5,1 = {сноваиспользуемформулу(1.11)}

=

= p1q2q3q4q5 + p2q1q3q4q5 + p3q1q2q4q5 +p4q1q2q3q5 + p5q1q2q3q4 =

P( B ) = P(B5,0) + P(B5,1) = 0,2584 + 0,0672 = 0,3256 P(B) = 1 – P( B ) =

=0,6744.

2.Полиномиальная схема.

Ωk = {ω1, ω2,…,ωN}, k = 1...n, n - число проведенных опытов, N -

N

число исходов в каждом из опытов, причем P(ωi) = pi, ∑pi =1 набор

i=1

вероятностей (p1,p2,…,pN) не меняется из опыта в опыт.

Событие Bn,m1 ,m2 ,...,mN =

{в n опытах исход ω1 осуществился m1 раз, исход ω2 осуществился m2 раз,

исход ω3 осуществился m3 раза,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

26

исход ωN осуществился mN раз}, m1 + m2 + … + mN = n.

Это событие состоит из слов длины n, в каждом из которых символ ω1 встречается m1 раз, ω2 - m2 раза и т.д. Каждое такое слово независимо

от расстановки символов имеет вероятность p1m1 p2m2 ... pNmN , при этом выполнены условия:

1)m1 + m2 + … + mN = n;

2)P(ωk) = pk p1 + p2 + … + pN = 1.

Таких слов всего (согласно схеме упорядоченных разбиений):

× p1m1 p2m2 ... pNmN .

Пример 24. Два равносильных шахматиста играют матч из 12 партий (результат последующей не зависит от результата предыдущей). Мно-

жество исходов k-йпартии: Ωk = {первыйвыиграл, второй выиграл, ничья}.

Вероятность того, что выиграет первый шахматист, равна 0,2; второй - 0,2; вероятность ничьи - 0,6. Найдем вероятности событий А = {первый вы-

играл 3 партии, столько же проиграл, остальные - ничья}, В = {первый выиграл матч, т.е. набрал больше очков, чем второй}.

Можно упростить вычисление P(B), используя следующую логику: либо один из игроков выиграл, либо в матче - ничья:

2P(B) + P(ничья в матче) = 1;

Р(ничья в матче) = Р(0,0,12) + Р(1,1,10) + … + Р(6,6,0);

Вычисления дают: Р(ничьявматче) = 0,291574 P(B) = 1−0,2916 ≈ 2

≈ 0,3542.

27