Ввести событие Аi = {i-е письмо попало к нужному адресату},

i= 1,2,…,n, и использовать формулу (1.5) (см. задачу № 14.221 в [1]).

8)Формула классической вероятности (схема урн).

Пусть выполнены два условия:

1)Ω = {ω1, ω2,…, ωn} (множество Ω - конечное);

2)P(ω1) = P(ω2) = … = P(ωn) (исходы равновероятны). Тогда справедлива формула классической вероятности:

P(A) = BA ,

где A - число элементов А; Ω - число элементов Ω .

В силу конечности Ω система F всех подмножеств из Ω - является алгеброй любое подмножество из Ω - наблюдаемое событие. Тогда, если А = {ωk1, ωk2,…, ωkm} |А| = m.

Так как Ω = ω1 + ω2 + … + ωn (по аксиомам 2,3) 1 = Р(ω1) + + Р(ω2) +...+ Р(ωn) = рn, где p = p(ωk), k = 1,2,...,n p = 1/n P(A) = mn =

Пример 6. Из колоды в 36 карт наудачу извлекается одна карта.

Найти вероятность события С = {появится картинка или карта красной масти}.

Решение осуществляется в таком порядке: логика алгебра правила исчисления вероятности. Ключевым является слово "наудачу", что оправдывает применение схемы классической вероятности C = A + B,

гдеА= {появитсякартинка}, В= {появитсякартакрасноймасти}.

По формуле сложения вероятностей (1.3) P(C) = P(A) + P(B) –

– P(AB) = 1636 + 1836 + 368 = 1813 .

1.4. Схема геометрической вероятности

Распространим классическую схему на случай, когда Ω - непрерывно (континуум). Пустьэксперимент удовлетворяет следующимусловиям:

1)Ω - квадрируемая область (имеет площадь) на плоскости;

2)А Ω - любая квадрируемая подобласть из Ω;

13

3) эксперимент состоит в выборе наудачу точки из Ω (т.е. вероятность попадания в любую подобласть из Ω зависит не от ее расположения, а только от ее размера) справедлива формула геометрической вероятности:

Рис.1.1.

P(A) = SS((ΩA)) .

Заметим, что квадрируемость понимается как площадь в смысле меры Лебега, а не меры Римана.

Обобщение формулы ФГВ на случай евклидова пространства Rn:

P(A) = mes(A) . mes(Ω)

Пример 7. Задача о встрече.

См. задачи 14.148, 14.149 в [2].

Пример 8. Задача Бюффона.

На плоскость, разграниченную параллельными прямыми линиями на расстоянии 2а друг от друга, бросается игла длиной 2l (l<<a). Найти вероятность следующего события А = {игла пересечет какую-либо из параллельных прямых линий}.

Будем описывать положение иглы двумя координатами: ϕ - угол, y -

расстояние от центра иглы до ближайшей прямой. (ϕ,y) - положение иглы по отношению к ближайшей прямой (рис.1.1,а).

Ω = {(ϕ,y )| 0 ≤ ϕ≤ π, 0 ≤ у≤ а},

А = {(ϕ,y )| 0 ≤ у ≤ l sinϕ; 0 ≤ ϕ ≤ π}.

14

Сохраняются также все остальные свойства.

Пример 9. В условиях примера 6 вычислить P(A/B), P(B/A).

ПустьA = {появитсякартинка}, B = {появитсякраснаямасть}.

Из определения следует:

Определение 2. Если (1.7) не выполняется, то события A и B -

зависимые.

Следствие 1. Пусть А и В - события независимые, причем P(A) ≠ 0,

P(B) ≠ 0. Тогда P(A/B) = P(А).

(Для независимых событий условная вероятность выполнения А при условии В от В не зависит.)

Пример 10. Установить, зависимы или нет события А и В из примера 9.

Необходимо проверить, выполняется условие (1.7) или нет.

P(A / B) = 368 = P(A) P(B) = 1636 12 = 368 .

А и В - независимые.

Следствие 2. Если события А и В независимы, то независимы так-

же и следующие пары событий: А и B , A и В, A и B .

Достаточно доказать для пары А и B .

А = А Ω = А(В + B ) = АВ + АB . Из аксиомы 3

P(A) = P(AB) + P(AB) = P(A)P(B) + P(AB).

P(AB) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1− P(B)) = P(A)P(B) .

Следовательно, события А и B независимы.

16

Замечание. Следствие сохраняет силу и для большего числа попарно независимых событий. Понятие независимости обобщается на произвольное число событий следующим образом.

Определение 3. События A1, A2,…,An называются независимыми в совокупности, если для любого подмножества из этих событий{Ak1 , Ak2 ,..., Akm } , m = 2,…,n, выполняется равенство:

P(Ak1 , Ak2 ,..., Akm ) = P(Ak1 )P(Ak2 ) ... P(Akm ) .

Замечание. Попарной независимости недостаточно для независимости в совокупности, что подтверждается следующим примером.

Пример 11 (Бернштейн). Тетраэдр, каждая из трех сторон которого окрашена в один из цветов: красный К, зеленый З, синий С, а четвертая грань имеет все три цвета, наудачу подбрасывается. События: грань, на которую упал тетраэдр, содержит соответственно красный, зеленый или синий цета.

Нетрудно убедиться, что события К, З, С попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

Действительно, так как Р(К) = Р(З) = 24 = 12 , то Р(КЗ) = 14 =

= Р(К) Р(З) и события К и З попарно независимы. Далее имеем:

Р(КЗС) = 14 ≠ Р(К) Р(З) Р(С) = 18 , т.е. события К, З, С не являются независимыми в совокупности.

Следствие 3. Связь независимости с несовместностью. Если А и В несовместны, причемР(А) > 0 иР(В) > 0, тоАиВобязательнозависимы.

Р(АB) = 0, так как АВ = (А и В несовместны). С другой стороны, Р(А) Р(В) > 0 (поусловию) (1.7) невыполняется АиВзависимы.

Пример 12. Доказать, что из независимости двух событий вытекает их совместность.

Так как P(AB) = P(A) P(B) Р(АВ) > 0 AB ≠ AB со-

вместны. Имеются два варианта моделирования эксперимента с учетом не-

зависимости:

1)модель полностью формализована, т.е. {Ω , F, P} построена

независимость событий устанавливается (проверяется) с помощью формулы (1.7);

17