Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Теория вероятностей и математическая статистика

Файл:

Литература / книга.pdf

Скачиваний:

148

Добавлен:

17.04.2013

Размер:

1.36 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

o o	+∞ +∞
o o	∫	∫(x − mX ) ( y − mY ) f X ,Y (x, y)dxdy =
K X ,Y = M[X Y ] =	∫	∫(x − mX ) ( y − mY ) f X ,Y (x, y)dxdy =
	−∞ −∞
+∞		+∞
= ∫(x − mX ) fX (x)dx		∫( y − mY ) fY ( y)dy = µ1,0 µ0,1 = 0.
−∞		−∞

Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, что демонстрирует следующий пример.

Пример 3. Пусть (X,Y) - случайный вектор дискретного типа с законом распределения, описываемым следующей таблицей.

X		Y
X	–1	0	1
	–1	0	1
–1	1/8	0	1/8
0	0	1/8	0
1	1/8	0	1/8

Показать, что Х и Y - некоррелированы, но не являются независимыми.

Используя формулу K X ,Y = α11 −mX mY , находим: KX,Y = 0. Заметим, что pi, j ≠ pi• p• j ни в одной клетке X и Y - зависимы.

Пример 4. Пусть (X,Y) ~ R (круге радиусом а). Показать, что KX,Y = 0, но X и Y - зависимы.

Решить самостоятельно. См. также аналогичные задачи 14.416, 14.417 и 14.419 в [2].

4.3. Характеристическая функция и ее свойства

Определение. Комплекснозначная функция действительного пе-

ременного t, определяемая равенством	EX (t) = M[ei t X ] ,	называется
характеристической функцией случайной величины Х.
Воспользуемся формулой Эйлера:	ei t X = cos(t X ) + i sin(t X ) .
Договоримся, что свойство линейности	математического	ожидания

распространяется и на комплексные случайные величины.

EX (t) = M[ei tX ] = M[cos(t X ) + i sin(t X )] =

= M[cos(t X )] + i M[sin(t X )].

Теорема 4.3.

∑ei t xk pk , X - СВДТ,
	k	(4.4)
EX (t) =
∫−∞+∞ei t x f X (x)dx,		X - СВНТ.

Для определенности, пусть Х - СВДТ

EX (t) = M[cos(t X )] + i M[sin(t X )] = {по теореме 4.2} =

= ∑cos(t xk ) pk + ∑ i M (sin(t xk ) pk = {по формуле Эйлера} =

= ∑[cos(t xk ) +i sin(t xk )]pk = ∑ei t xk pk , чтоитребовалосьдоказать.

Пример 5. Пусть X ~ Pu(λ). Вычислить характеристическую

функцию EX(t).

По формуле (4.4)

∞

i t k

λk

−λ

∞ (ei t λ)k

−λ

λei t

λ(ei t −1)

EX (t) =

∑

= e

∑

= e

k!e+λ

k =0

Свойства характеристической функции:

1) EX(t) существует для любых распределений, причем |EX(t)| ≤ 1,

EX(t) = 1.

Для определенности, пусть Х ~ СВДТ EX(t) = ∑ei t xk pk .

Оценим по модулю:								k
Оценим по модулю:
	EX (t)			≤ ∑		ei t xk	pk = ∑pk =1 ,	E(0) = ∑pk =1.
		=	∑


			k		k		k	k
			k		k		k	k

2) Пусть Y = aX + b EY(t) = ei t b EX (at).

EY (t) = M[ei t Y ] = M[ei t (aX +b) ] = M[ei t b ei t aX ] =

= ei t b M[ei t aX ] = ei t b EX (at).

3) Пусть Y = X1 + X2 +…+ Xn, где X1, X2,…, Xn независимы в сово-

купности EY (t) = ∏EX k (t).

k =1

EY (t) = M[ei t ( X1 +X 2 +.....X n ) ] = M[∏ei t X k ] =

k =1

= {обобщение теоремы 4.2 на случай n-мерного вектора} =

+∞

= ∫

....∫∏ ei txk

f X1 , X 2 ,..., X n (x1,..., xn )dx = {в силу независимости} =

−∞

k =1

+∞

= ∏ ∫ei t xk f X k (xk )dx = ∏EX k (t).

k =1 −∞

k =1

4) Пусть существуют абсолютные моменты случайной величины Х

+∞

до n-го порядка включительно (т.е. ∫

k f X (x)dx, k =

2,…,n)

−∞

d k EX

(t)

(k)

существуютпроизводные

, k = 1, 2,…,n, причем EX

(0)

= i

αk .

dtk

+∞

Для определенности рассмотрим СВНТ. EX (t) =

∫ei t x f X (x)dx.

−∞

Формально дифференцируя по t как по параметру, получим

+∞

E'X (t) =

∫x ei t x f X (x)dx.

(4.5)

−∞

Проверим абсолютную сходимость интеграла:

+∞

∫

i x ei t x

fX (x)dx =

∫

fX (x)dx = M[

]

- существует по условию

−∞

E'X (t).

+∞

Из (4.5) E'X (о)

= i ∫x f X (x)dx = i α1.

−∞

Продолжая дифференцирование под знаком интеграла, аналогично

устанавливаем,

что существуют

d k EX (t)

для k = 1, 2,…,n, причем

dtk

EX(k) (0) = ik αk .

Пример 6. X ~ N(0,1). Вычислить ЕX(t).

+∞

−x2

∫

ei t x e

(t) =

dx {по свойству 4}

2π

−∞

+∞

−x2

E'X (t) =

∫

x ei t x e

dx =

{возьмем интеграл по частям} =

2π

−∞

U = eitx

dU = iteitxdx

−

+ ∞

−

−eitx e

−∞

dx V

dV = xe

= − e

	i2t +∞	−	x2
	i2t +∞	−	2 dx = i2tEX (t) = −tEX (t)
+	2π ∫−∞	eetx e	2 dx = i2tEX (t) = −tEX (t)
	2π ∫−∞

Решаем дифференциальное уравнение: ln EX (t)

dEX (t)			= −t dt
	EX (t)

		=1
EX (0)

= − t2 +C

−t 2

EX(t) = C1 e 2 . Определяя С1 из начального условия, окончательно

−t 2

находим: E'X (t) = e 2 .

5) Применим операцию комплексного сопряжения, тогда:

EX (t) = EX (−t) = E−X (t).

EX (t) = M[cos(t X ) + i sin(t X )] = M[cos(t x) −i sin(t x)] = = M[cos(t x)] −i M[sin(t x)] = M[e−itx ] = EX (−t) = E− X (t).

Следствие из свойства 5.

Если характеристическая функция действительная, то она обязательно четная.

Пусть EX (t) = EX (t) - (действительная) {из свойства 5}

EX (t) = EX (−t) .

Это свойство используется для отсеивания функций, которые не являются характеристическими.

6) По характеристической функции однозначно восстанавливается закон распределения случайной величины Х .

Согласно определению EX(t) можно интерпретировать как прямое преобразование Фурье от плотности (для СВНТ). Как известно из теории интегралов Фурье, обратное преобразование существует при выполнении некоторых общих условий на функцию EX(t). Например, если Х - СВНТ и EX(t) удовлетворяет условиям Дирихле плотность fX(x) существует, причем

	2π	+∞
		∫
f X (x) =	1		e−i t x EX (t)dt.	(4.6)

−∞

Пример 7. Пусть Х - СВНТ, причем задана характеристическая функция EX (t) = e−t . Найти fX(x).

+∞

−

−i t x

По формуле (4.6) f X (x) =

∫

2π

−∞

1 +∞

et−i t xdt +

e−t−i t xdt =

2π

∫

2π ∫

π(1+ x2 )

2π 1−i

+ i x

−∞

Таким образом, получено, что X распределена по закону Коши.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2211 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Литература

#
17.04.20131.36 Mб148книга.pdf
#
17.04.201321.9 Mб413Феллер_теория вероятностей_I.pdf
#
17.04.201333.75 Mб370Феллер_теория вероятностей_II.pdf